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名师导学2018届高三数学理二轮复习课件:专题2第5讲平面向量及其应用 精品_图文

第5讲 平面向量及其应用 1.考题展望 高考对平面向量的考查主要体现在:第一,考查平面 向量的概念及平面向量的和、差、数乘和数量积的运算, 主要以选择题、填空题的形式考查,向量与平面几何相结 合是命题的一个亮点;第二,考查平面向量与其他知识的 综合应用,主要以解答题的形式考查. 平面向量具有代数与几何形式的“双重性”, 是中学 数学知识网络的重要交汇点,平面向量与三角函数、解析 几何的综合是近几年高考的热点,要予以足够的重视. 2.高考真题 考题 1(2015 全国Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点, → =3CD → ,则( BC ) 1→ 4→ → B.AD= AB- AC 3 3 4→ 1→ → D.AD= AB- AC 3 3 1→ 4→ → A.AD=- AB+ AC 3 3 4→ 1→ → C.AD= AB+ AC 3 3 【解析】选 A. → ,AC → 为基底利用向量的加减运算和平面向量基 以AB 本定理求解. 1→ → 1 → → → → → → AD=AC+CD=AC+ BC=AC+ (AC-AB) 3 3 4→ 1→ 1→ 4→ = AC- AB=- AB+ AC.故选 A. 3 3 3 3 【命题立意】本题主要考查平面向量加减法运算与平 面向量基本定理,考查转化思想. 考题 2(2015 重庆)若非零向量 a,b 满足|a|= 且(a-b)⊥(3a+2b),则 a 与 b 的夹角为( π A. 4 π B. 2 3π C. 4 D. π ) 2 2 |b|, 3 【解析】选 A. 根据两向量垂直和向量数量积的公式求解. 由(a-b)⊥(3a+2b)得(a-b)· (3a+2b)=0,即 3a2- 2 2 a· b-2b =0.又∵ |a|= |b|,设〈a,b〉=θ,即 3|a|2 3 8 2 2 2 2 2 -|a|· |b|·cos θ-2|b| =0,∴ |b| - |b| ·cos θ- 3 3 π 2 2 2|b| =0.∴ cos θ= .又∵ 0≤θ≤π,∴ θ= . 2 4 2 【命题立意】本题主要考查平面向量的数量积、平面 向量的夹角,考查运算求解能力. 考题 3(2015 浙江)已知 e1,e2 是空间单位向量,e1?e2 1 5 = ,若空间向量 b 满足 b· e1=2,b· e2= ,且对于任意 x, 2 2 y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),则 x0=________,y0=________,|b|=________. 【解析】1 2 2 2 由题意得 x=x0,y=y0 时,|b-(xe1+ye2)|取得最小值 1, 把|b-(xe1+ye2)|平方, 转化为|b|2+x2+y2+xy-4x-5y, 把 x2+y2+xy-4x-5y 看成关于 x 的二次函数,利用二次 函数的性质确定最值及取最值的条件. 对于任意 x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)| =1(x0,y0∈R),说明当 x=x0,y=y0 时,|b-(xe1+ye2)| 取得最小值 1. |b-(xe1+ye2)|2=|b|2+(xe1+ye2)2-2b· (xe1+ye2)=|b|2+x2 +y2+xy-4x-5y,要使|b|2+x2+y2+xy-4x-5y 取得最 小值, 需要把 x2+y2+xy-4x-5y 看成关于 x 的二次函数, 即 f(x)=x2+(y-4)x+y2-5y,其图象是开口向上的抛物 y y 线,对称轴方程为 x=2- ,所以当 x=2- 时,f(x)取得 2 2 3 最小值,代入化简得 f(x)= (y-2)2-7,显然当 y=2 时, 4 y f(x)min=-7, 此时 x=2- =1, 所以 x0=1, y0=2.此时|b|2 2 -7=1,可得|b|=2 2. 【命题立意】本题主要考查向量的数量积运算、向量 的模及代数运算、二次函数的图象与性质,考查转化化归 思想、抽象概括能力及运算求解能力,试题难度:难. 平面向量 (1)向量加法的法则:三角形法则与平行四边形法则. (2)向量减法的法则:三角形法则. (3)实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λa,规定: |λa|=|λ|· |a|. (4)向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一 个实数 λ,使得 b=λa,即 b∥a ? b=λa(a≠0). (5)平面向量的基本定理:如果 e1,e2 是同一平面内的 两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有 且仅有一对实数 λ1,λ 2,使 a=λ1e1+λ2e2,其中不共线的 向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (6)已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ,则 a 和 b 的数量积 a· b=|a|· |b|· cos θ . (7)设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: ①a± b=(x1±x2,y1±y2); ②λ a=(λx1,λ y1); ③a· b=x1x2+y1y2; 2 ④|a|= x2 + y 1 1; ⑤a⊥b a?b=0 x1x2+y1y2=0; ⑥a∥b x1y2-x2y1=0. 1.平面向量的概念与线性运算 例1(1)如图, A、 B 分别是射线 OM、 ON 上的两点,给出下列向量. 1→ 1→ → → ①OA+2OB;② OA+ OB;③ 2 3 3→ 1→ 3→ 1→ OA+ OB;④ OA- OB.这四个向 4 3 4 5 量中以 O 为起点,终点在阴影区域内的是( A.①② B.①③ C.②③ D.②④ ) 【解析】选 B. 由向量的平行四边形法则利用尺规作图,可得终 点在阴影部分的是①③,故选 B. (2)如右图所示,A,B,C 是圆 O 上的三点,CO 的延长线与线段 AB → = x OA →+ 交