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椭圆基础练习题及其完整答案


解析几何——椭圆精炼专题
一、 选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中有只 有一项是符合题目要求的. ) 1.椭圆 2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 的焦距是( A.2 ) C. 2 5 D. 2( 3 ? 2 )

B. 2( 3 ? 2 )

2.F1、F2 是定点,|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则点 M 的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 5 3 3.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0) ,且椭圆过点 ( ,? ) ,则椭圆方程是 ( 2 2 2 2 2 2 y2 x2 y2 x2 A. y ? x ? 1 B. C. D. x ? y ? 1 ? ?1 ? ?1 10 6 4 8 8 4 10 6 4.方程 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是( A. (0,??) B. (0,2) C. (1,+∞) )



D. (0,1)

5. 过椭圆 4 x 2 ? 2 y 2 ? 1的一个焦点 F1 的直线与椭圆交于 A 、 B 两点,则 A 、 B 与椭圆 的另一焦点 F2 构成 ?ABF2 ,那么 ?ABF2 的周长是( A. 2 2 B. 2 ) C. 2 D. 1 1 6.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为 ,长轴长为 12,则椭圆方程为( 3 2 2 2 2 x y x y x2 y2 ? ?1 或 ? ?1 ? ?1 A. B. 144 128 128 144 6 4



x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 C. 36 32 32 36
7. 已知 k <4,则曲线 A. 相同的短轴 长轴

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 D. 4 6 6 4
) D. 相同的

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 有( ? ? 1和 9?k 4?k 9 4
B. 相同的焦点

C. 相同的离心率

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 、 F2 ,P 为椭圆上的一点,已知 PF1 ? PF2 ,则△ F1 PF2 的 8.椭圆 25 9
面积为( ) A.9 B.12 C.10 D.8 2 2 x y 9. 椭圆 点 若线段 PF 的中点在 y 轴上, 那么 PF1 ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2 , P 在椭圆上, 1 12 3 是 PF2 的( ) A.4 倍
2 2

B.5 倍

C.7 倍

D.3 倍

10.椭圆 4x ? 9 y ? 144内有一点 P(3,2)过点 P 的弦恰好以 P 为中点,那么这弦所在 直线的方程为( )

A. 3x ? 2 y ? 12 ? 0 C. 4 x ? 9 y ? 144 ? 0 11.椭圆

B. 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D. 9 x ? 4 y ? 144 ? 0 ( D. 10 )

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是 16 4

A.3

B. 11
2

C. 2 2

12.过点 M(-2,0)的直线 M 与椭圆

x ? y 2 ? 1 交于 P1,P2,线段 P1P2 的中点为 P,设 2 直线 M 的斜率为 k1( k1 ? 0 ) ,直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 的值为( )

A.2

B.-2

C.

1 2

D.-

1 2


二、 填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上. )

1 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m ? 13.椭圆 2 4 m
14.设 P 是椭圆 为

x2 ? y 2 ? 1上的一点, F1 , F2 是椭圆的两个焦点,则 PF1 PF2 的最大值 4
. .

;最小值为
1 2

15.直线 y=x- 被椭圆 x2+4y2=4 截得的弦长为

16. 已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25及点A(1,0), Q 为圆上一点, 的垂直平分线交 CQ 于 M, AQ 则点 M 的轨迹方程为 . 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. ) 17.已知三角形 ABC 的两顶点为 B(?2, 0), C (2, 0) ,它的周长为 10 ,求顶点 A 轨迹方程.

18.椭圆的一个顶点为 A(2,0) ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程.

19.点 P 到定点 F(2,0)的距离和它到定直线 x=8 的距离的比为 1:2,求点 P 的轨迹方

程,并指出轨迹是什么图形.

20. 中心在原点, 一焦点为 F1 (0, 5 求此椭圆的方程.

2

) 的椭圆被直线 y=3x-2 截得的弦的中点横坐标是 1 ,
2

21.已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和 Q,且 OP ⊥OQ,|PQ|=

10 ,求椭圆方程 2

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2 2 22. 椭圆 x ? y ? 1 ?a > b > 0? 与直线 x ? y ? 1 交于 P 、Q 两点, OP ? OQ , 且 其中 O 2 2 a b 为坐标原点.

(1)求

1 1 ? 2 的值; 2 a b
3 ≤ e ≤ 2 ,求椭圆长轴的取值范围. 3 2

(2)若椭圆的离心率 e 满足

椭 圆 练 习 题 参考答案
题号 答案 1 A 2 C 3 D 14、 4 4 D , 1 5 A 15、 6 7 8 9 10 B 11 D
2

12

13、 或 3

16 3

2 38 5

4 16、 x ? 4 y ? 1 25 21

2

17、

x2 y2 ? ? 1 (x ? ?3) 9 5
18、解:(1)当 A(2,0)为长轴端点时,a=2 , b=1,

椭圆的标准方程为: (2)当 为短轴端点时,

; , ,

椭圆的标准方程为:

; |PF| 1 = ,所以 d 2 (x-2)2-y2 = |x-8|

19.解:设 P(x,y) ,根据题意,|PF|= (x-2)2-y2 ,d=|x-8|,因为

1 x2 y2 .化简,得 3x2+4y2=48,整理,得 + =1,所以,点 P 的轨迹是椭圆。 2 16 12 y2 x2 20. 解:解法一:根据题意,设椭圆的方程为 2 + 2 =1,设交点坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2) a a -50 将椭圆方程与直线 y=3x-2 联立,消去 y,得: (3x-2)2 x2 + 2 =1,化简,整理,得: 2 a a -50

(10a2-450)x2+(600-12a2)x+(-a4+54a2-200)=0, 1 10a2-450 所以,x1,x2 为这个方程的两根,因为相交线段中点横坐标为 ,所以 x1+x2=— = -1, 2 600-12a2 y2 x2 解得,a2=75.于是,因为 c=5 2 ,所以,b2=25,所以椭圆的方程为 + =1. 75 25 解法二:设椭圆:
x2 a
2

?

y2 b2

,则 ? 1 (a>b>0)

a2-b2=50…①

又设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,弦 AB 中点(x0,y0) ∵x0= ,∴y0= -2=-
1 2 3 2 1 2

? y2 x2 ? 1 ? 1 ?1 2 2 2 2 2 2 2 由 ? a 2 b 2 ? y1 ? y2 ? ? x1 ? x2 ? k AB ? y1 ? y2 ? ? a2 ? x0 ? 3 ? a 2 ? 3b2 …② ? 2 2 x1 ? x2 y0 a b b ? y2 ? x2 ? 1 ? 2 b2 ?a

解①,②得:a2=75,b2=25,椭圆为:

y 2 x2 ? 75 25

=1

21. 解

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?y ? x ? 1 设 椭 圆 方 程 为 mx2+ny2=1(m > 0,n > 0) , P(x1,y1),Q(x2,y2) 由 ? 2 得 2 ?mx ? ny ? 1

(m+n)x2+2nx+n-1=0, Δ=4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0,由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0,

4(m ? n ? mn) 10 2 2(n ? 1) 2n ?( ) , 将 m+n=2, 代 入 得 +1=0,∴m+n=2 ①又 2 ? m?n 2 m?n m?n 3 m· n= ② 4 x2 3 2 1 3 3 1 3 1 由①、②式得 m= ,n= 或 m= ,n= 故椭圆方程为 + y =1 或 x2+ y2=1 2 2 2 2 2 2 2 2

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22、 (1)设 P( x1 , y1 ), P( x 2 , y 2 ) ,由 OP ⊥ OQ ? x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ? y1 ? 1 ? x1 , y 2 ? 1 ? x 2 , 代入上式得: 1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0 ① 又将 y ? 1 ? x代入 2x
2a 2 x2 y2 ? 2 ? 1 ? (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 ,? ? ? 0,? x1 ? x 2 ? 2 , a ? b2 a2 b a 2 (1 ? b 2 ) 代入①化简得 1 ? 1 ? 2 . x1 x 2 ? 2 a ? b2 a2 b2 a2 c2 b2 1 b2 1 1 b2 2 (2) ? e 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? , 又由(1)知 b 2 ? 2 3 2 2 a 3 2a ? 1 a a a
? 1 1 2 5 3 5 6 ,∴长轴 2a ∈ [ 5, 6 ]. ? ? ? ? a2 ? ? ?a? 2 2a 2 ? 1 3 4 2 2 2


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