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2011高考试题(文科)极坐标与参数方程


2011 年高考试题解析数学(文科)分项版
18 选修系列:坐标系与参数方程
一、填空题: 1.(2011 年高考广东卷文科 14)(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为
5 ? ? x ? 5 cos ? ?x ? t2 ? ? ) 和? (0≤? ? 4 ? y ? sin ? ?y ? t ?

(t∈R) ,它们的交点坐标为



3.(2011 年高考陕西卷文科 15)

C. (坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xoy 中,以
? x ? 3 ? co s ? ? y ? sin ?

原点为极点, 轴的正半轴为极轴建极坐标系, x 设点 A,B 分别在曲线 C 1 : ? 为参数)和曲线 C 2 : ? ? 1 上,则 A B 的最小值为________. 【答案】1

(?

【解析】 :由 ?
?

? x ? 3 ? cos ? y ? sin ?

得圆心为 C 1 (3, 0 ), r1 ? 1 ,由 ? ? 1 得圆心为 C 2 (0, 0), r1 ? 1 ,由

平几知识知当 A、 B 为 C 1C 2 连线与两圆的交点时 A B 的最小值,则 A B 的最小值为
| C 1C 2 | ? 2 ? | 3 ? 0 | ? 2 ? 3 ? 2 ? 1

二、解答题: 4.(2011 年高考江苏卷 21)选修 4- 4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xO y 中,求过椭圆 ?
? x ? 5 cos ? ? y ? 3 sin ?

( ? 为参数)的右焦点且与直线

? x ? 4 ? 2t ( t 为参数)平行的直线的普通方程。 ? ?y ? 3?t

解 : Ⅰ) 设动 点 P ( x, y ) , 则依 题 意: M ( , (

x y

2 2

) , 因 为 点 M 在 曲 线 C1 上 , 所 以

?x ? 2 ? 2 cos ? ? x ? 4 cos ? ? 即? ? ? y ? 4 ? 4 sin ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ?2 ?

所以,曲线 C 2 的参数方程为 ?

? x ? 4 cos ? ? y ? 4 ? 4 sin ?

( ? 为参数)

(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? 曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8 sin ? ,它们与射线 ? ?
? 1 ? 4 sin ?
3 ? 2 3 , ? 2 ? 8 sin

?
3

交于 A、B 两点的极径分别是

?
3

? 4 3 ,因此, AB ? ? 1 ? ? 2 ? 2 3

点评:本题考查坐标系与参数方程的有关内容,求解时既可以化成直角坐标方程求解,也可 以直接求解(关键要掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系) 6.(2011 年高考辽宁卷文科 23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?
? x ? a cos ? , ? y ? b sin ? , ? x ? cos ? , ? y ? sin ? ,

( ? 为参数)曲线 C2 的参数方

程为 ?

( a ? b ? 0 , ? 为参数)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标
π 2

系中, 射线 l: = ? 与 C1, 2 各 有一个交点.当 ? =0 时, θ C 这两个交点间的距离为 2, ? = 当 时,这两个交点重合。 (I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 ? =
π 4

时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 ? =-

π 4

时,l 与 C1,

C2 的交点为 A2,B 2,求四边形 A1A2B2B1 的面积。

故四边形与 A1 A2B2B1 的面积为

? 2 x '? 2 x ? ? x '? x ?
2

?

3 5




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