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圆锥曲线与方程 单元检测(a卷) word版含答案


第二章

圆锥曲线与方程(A)

1.椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值是( ) 1 1 A. B. C.2 D.4 4 2 2 2 x y 1 2.设椭圆 2+ 2=1 (m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同,离心率为 ,则此椭圆的方程为( ) m n 2 2 2 2 2 x y x y A. + =1 B. + =1 12 16 16 12 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 48 64 64 48 x2 y2 3.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上,则 a b 双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A . - =1 B. - =1 36 108 9 27 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 108 36 27 9 x2 y2 4.P 是长轴在 x 轴上的椭圆 2+ 2=1 上的点,F1、F2 分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为 c,则|PF1|· |PF2| a b 的最大值与最小值之差一定是( ) A.1 B.a2 C.b2 D.c2 5.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为( ) x2 y2 y2 x2 A. - =1 B. - =1 4 4 4 4 2 2 y x x2 y2 C. - =1 D. - =1 4 8 8 4

x2 y2 6.设 a>1,则双曲线 2 - =1 的离心率 e 的取值范围是( a (a ? 1)2

)

A.( 2,2) B.( 2, 5) C.(2,5) D.(2, 5) 7.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与到直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( ) A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线

8. 设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点, A、 B、 C 为该抛物线上三点, 若 FA + FB + FC =0, 则| FA |+| FB |+| FC | 等于( ) A.9 B.6 C.4 D.3 x2 y2 9.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双曲线的右支有且只有一 a b 个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞) 2 10.若动圆圆心在抛物线 y =8x 上,且动圆恒与直线 x+2=0 相切,则动圆必过定点( ) A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2) 11.抛物线 y=x2 上到直线 2x-y=4 距离最近的点的坐标是( ) 3 5 3 9 ? ? A.? B.(1,1) C.? D.(2,4) ?2,4? ?2,4? 2 2 12.已知椭圆 x sin α-y cos α=1 (0≤α<2π)的焦点在 y 轴上,则 α 的取值范围是( )

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3 ? A.? ?4π,π?

π 3 ? B.? ?4,4π?

π ? C.? ?2,π?

π 3 ? D.? ?2,4π?

13.椭圆的两个焦点为 F1、F2,短轴的一个端点为 A,且三角形 F1AF2 是顶角为 120° 的等腰三角形,则此椭圆 的离心率为________. 14.点 P(8,1)平分双曲线 x2-4y2=4 的一条弦,则这条弦所在直线的方程是______________. b ? x2 y2 ,0 15.设椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,线段 F1F2 被点? 2 ?分成 3∶1 的两段,则此椭圆的 ? a b 离心率为________. x2 y2 16.对于曲线 C: + =1,给出下面四个命题: 4-k k-1 ①曲线 C 不可能表示椭圆; ②当 1<k<4 时,曲线 C 表示椭圆; ③若曲线 C 表示双曲线,则 k<1 或 k>4; 5 ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k< . 2 其中所有正确命题的序号为________. x2 y2 17.已知点 M 在椭圆 + =1 上,MP′垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为 P′,并且 M 为线段 PP′的中点,求 36 9 P 点的轨迹方程.

x2 y2 18.双曲线 C 与椭圆 + =1 有相同的焦点,直线 y= 3x 为 C 的一条渐近线.求双曲线 C 的方程. 8 4

19.直线 y=kx-2 交抛物线 y2=8x 于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标等于 2,求弦 AB 的长.

x2 y2 20.已知点 P(3,4)是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)上的一点,F1、F2 为椭圆的两焦点,若 PF1⊥PF2,试求: a b (1)椭圆的方程; (2)△PF1F2 的面积.

5 21.已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,且|AB|= p,求 AB 所在的直线方程. 2

22.在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,- 3)、(0, 3)的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C,直线 y=kx +1 与 C 交于 A、B 两点. (1)写出 C 的方程; (2)若 OA ⊥ OB ,求 k 的值.

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第二章

圆锥曲线与方程(A)

1 1 1.A [由题意可得 2 =2× 2,解得 m= .] m 4 2.B [∵y2=8x 的焦点为(2,0), x2 y2 ∴ 2+ 2=1 的右焦点为(2,0),∴m>n 且 c=2. m n 1 2 又 e= = ,∴m=4. 2 m ∵c2=m2-n2=4,∴n2=12. x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1.] 16 12 3.B [抛物线 y2=24x 的准线方程为 x=-6,故双曲线中 c=6.① x2 y2 b 由双曲线 2- 2=1 的一条渐近线方程为 y= 3x,知 = 3,② a b a 且 c2=a2+b2.③ 由①②③解得 a2=9,b2=27. x2 y2 故双曲线的方程为 - =1,故选 B.] 9 27 4.D [由椭圆的几何性质得|PF1|∈[a-c,a+c], |PF1|+|PF2|=2a, |PF1|+|PF2|?2 2 所以|PF1|· |PF2|≤? 2 ? ? =a , 当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号. |PF1|· |PF2|=|PF1|(2a-|PF1|) =-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2 ≥-c2+a2=b2, 所以|PF1|· |PF2|的最大值与最小值之差为 a2-b2=c2.] 5.B [由于双曲线的顶点坐标为(0,2),可知 a=2, y2 x2 且双曲线的标准方程为 - 2=1. 4 b 根据题意 2a+2b= 2· 2c,即 a+b= 2c. 又 a2+b2=c2,且 a=2, ∴解上述两个方程,得 b2=4. y2 x2 ∴符合题意的双曲线方程为 - =1.] 4 4 x2 y2 6.B [∵双曲线方程为 2- =1, a ?a+1?2 2a2+2a+1. c 1 2 ?1+1?2+1. ∴e= = 2+ 2+ = ?a ? a a a 1 1 又∵a>1,∴0< <1.∴1< +1<2. a a 1 ?2 ∴1<? ?1+a? <4.∴ 2<e< 5.] 7.D [∵ABCD—A1B1C1D1 是正方体, ∴D1C1⊥侧面 BCC1B1. ∴D1C1⊥PC1.∴PC1 为 P 到直线 D1C1 的距离. ∵P 到直线 BC 与到直线 C1D1 的距离相等, ∴PC1 等于 P 到直线 BC 的距离. 由圆锥曲线的定义知,动点 P 的轨迹所在的曲线是抛物线.] ∴c=

8.B [设 A、B、C 三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),F(1,0), ∵ FA + FB + FC =0,∴x1+x2+x3=3. 又由抛物线定义知| FA |+| FB |+| FC | =x1+1+x2+1+x3+1=6.] 9.C [

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如图所示, 要使过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点, 则该直线的斜率小于等于 b 渐近线的斜率 , a 2 2 b c2 a +b 2 ∴ ≥ 3,离心率 e = 2= 2 ≥4, a a a ∴e≥2.] 10.B [根据抛物线的定义可得.] ?2x-y+c=0 ? 11.B [设与直线 2x-y=4 平行且与抛物线相切的直线为 2x-y+c=0 (c≠-4),由? 2 ?y=x ? 得 x2-2x-c=0.① 由 Δ=4+4c=0 得 c=-1,代入①式得 x=1. ∴y=1,∴所求点的坐标为(1,1).] x2 y2 12.D [椭圆方程化为 + =1. 1 1 - sin α cos α 1 1 ∵椭圆焦点在 y 轴上,∴- > >0. cos α sin α π 3π 又∵0≤α<2π,∴ <α< .] 2 4 3 13. 2 c 3 解析 由已知得∠AF1F2=30° ,故 cos 30° = ,从而 e= . a 2 14.2x-y-15=0 2 2 2 解析 设弦的两个端点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x2 1-4y1=4,x2-4y2=4, 两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0. 因为线段 AB 的中点为 P(8,1), 所以 x1+x2=16,y1+y2=2. y1-y2 x1+x2 所以 = =2. x1-x2 4?y1+y2? 所以直线 AB 的方程为 y-1=2(x-8), 代入 x2-4y2=4 满足 Δ>0. 即 2x-y-15=0. 2 15. 2 b +c 2 b 3 解析 由题意,得 =3? +c=3c- b?b=c, b 2 2 c- 2 c c2 c2 1 2 因此 e= = = = . 2= 2 a a 2 2 b +c2

16.③④ 5 解析 ①错误,当 k=2 时,方程表示椭圆;②错误,因为 k= 时,方程表示圆;验证可得③④正确. 2 x2 y2 x2 y2 0 0 17.解 设 P 点的坐标为(x,y),M 点的坐标为(x0,y0).∵点 M 在椭圆 + =1 上,∴ + =1. 36 9 36 9 ∵M 是线段 PP′的中点, x =x, x =x ? ? 2 2 ?0 ?0 x0 y0 ∴? 把? y y 代入36+ 9 =1, ? ? ?y0=2, ?y0=2 x2 y2 得 + =1,即 x2+y2=36. 36 36 ∴P 点的轨迹方程为 x2+y2=36. x2 y2 18.解 设双曲线方程为 2- 2=1. a b x2 y2 由椭圆 + =1,求得两焦点为(-2,0),(2,0), 8 4 ∴对于双曲线 C:c=2. 又 y= 3x 为双曲线 C 的一条渐近线, b ∴ = 3,解得 a2=1,b2=3, a y2 2 ∴双曲线 C 的方程为 x - =1. 3 19.解 将 y=kx-2 代入 y2=8x 中变形整理得: k2x2-(4k+8)x+4=0, ? ?k≠0 由? ,得 k>-1 且 k≠0. k+8?2-16k2>0 ?? 4 ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 4k+8 由题意得:x1+x2= 2 =4?k2=k+2?k2-k-2=0. k 解得:k=2 或 k=-1(舍去), 由弦长公式得: 64k+64 192 |AB|= 1+k2· = 5× =2 15. k2 4 20.解 (1)令 F1(-c,0),F2(c,0), 则 b2=a2-c2.因为 PF1⊥PF2, 4 4 所以 kPF1· kPF2=-1,即 · =-1, 3+c 3-c x2 y2 解得 c=5,所以设椭圆方程为 2+ 2 =1. a a -25 9 16 因为点 P(3,4)在椭圆上,所以 2+ 2 =1. a a -25 解得 a2=45 或 a2=5. 又因为 a>c,所以 a2=5 舍去. x2 y2 故所求椭圆方程为 + =1. 45 20 (2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6 5,① 又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,② ①2-②得 2|PF1|· |PF2|=80, 1 所以 S△PF1F2= |PF1|· |PF2|=20. 2

p 21.解 焦点 F( ,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 5 若 AB⊥Ox,则|AB|=2p< p,不合题意. 2 所以直线 AB 的斜率存在,设为 k, p 则直线 AB 的方程为 y=k(x- ),k≠0. 2 p ? ?y=k?x-2?, 由? 消去 x,

?y2=2px ?

整理得 ky2-2py-kp2=0. 2p 由韦达定理得,y1+y2= ,y1y2=-p2. k ∴|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 1 = ?1 + 2? ·? y1-y2?2 k 1 = 1+ 2· ?y1+y2?2-4y1y2 k 1 5 =2p(1+ 2)= p. k 2 p p 解得 k=± 2.∴AB 所在的直线方程为 y=2(x- )或 y=-2(x- ). 2 2 22.解 (1)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0,- 3)、(0, 3)为焦点,长半轴为 2 的椭 圆,它的短半轴 b= 22-? 3?2=1, y2 故曲线 C 的方程为 x2+ =1. 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), y2 ? ?x2+ 4 =1, 联立方程?

? ?y=kx+1.

消去 y 并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0. 其中 Δ=4k2+12(k2+4)>0 恒成立. 2k 3 故 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 . k +4 k +4 → → 若OA⊥OB,即 x1x2+y1y2=0. 而 y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1, 3 3k2 2k2 于是 x1x2+y1y2=- 2 - 2 - 2 +1=0, k +4 k +4 k +4 1 化简得-4k2+1=0,所以 k=± . 2


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