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2012年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟4

2012 年全国高中数学联赛预赛模拟 4
一、填空题(本大题共 10 个小题,每小题 6 分,共 60 分)
B1 A2

9.如图,在平行四边形 ABCD 中, A B ? x , B C ? 1 ,对角线 AC 与 BD 的夹角 ? B O C ? 4 5 ? ,记直线 AB 与 CD
A1

的距离为 h ( x ) .求 h ( x ) 的表达式,并写出 x 的取值范围.
F1 F2

D

C

1.如图,正六边形 A1 B1 C 1 D 1 E 1 F1 的边长为 1,它的 6 条对角线又围成一个正六边形
B2 E2

O A B

A 2 B 2 C 2 D 2 E 2 F 2 ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是
aj ai 3 2

.

C2 C1

D2

E1

2.已知正整数 a 1 , a 2 , ? , a 1 0 满足: 3.若 ta n ? ? ta n ? ? ta n ? ? 则 tan ? ? ? ? ? ? ? ?
17 6

?

,1 ? i ? j ? 1 0 ,则 a 1 0 的最小可能值是
4 5

.

D1

10.给定实数 a ? 1 ,求函数 f ( x ) ? , co t ? co t ? ? c o t ? c o t ? ? c o t ? c o t ? ? ?
17 5

( a ? s in x )( 4 ? s in x ) 1 ? s in x

的最小值.

, cot ? ? cot ? ? cot ? ? ? .



4.若关于 x 的方程 lg ? kx ? ? 2 lg ? x ? 1 ? 仅有一个实数解,则实数 k 的取值范围是 5.如图, ? A E F 是边长为 x 的正方形 A B C D 的内接三角形, 已知 ? A E F ? 9 0 ? , A E ? a , E F ? b , a ? b ,则 x ? 6.方程 2 ? 3 ? 3
m n n ?1

.

A

D

.
F

11.正实数 x , y , z 满足 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 4 ,求证: (1) x y ? y z ? z x ?
4 3

?2

m

? 1 3 的非负整数解 ? m , n ? ?

.

B

E

C



(2) x ? y ? z ? 2 .

7.一个口袋里有 5 个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的,依次从中摸出 5 个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .(用数字作答) 8.数列 ? a n ? 定义如下: a 1 ? 1, a 2 ? 2 , a n ? 2 ? 则正整数 m 的最小值为 .
2 ? n ? 1? n?2 a n ?1 ? n n?2 a n , n ? 1, 2 , ? .若 a m ? 2 ?
2011 2012



2 9.抛物线 y ? 2 x 上两点 A ? x1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? 关于直线 y ? x ? m 对称,若 2 x1 x 2 ? ? 1 ,则 2 m 的值为

12. 给定整数 n ( ? 3) , f ( n ) 为集合 ?1, 2 , ? , 2 ? 1? 的满足如下两个条件的子集 A 的元素个数的最小值: 记
n

10.函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的定义域和值域都是 R ,且都有反函数,则函数 y ? f 反函数是 二、解答题(本大题共 5 个小题,每小题 20 分,共 100 分)

?1

?g ? f
?1

? x ??? 的

(a) 1 ? A , 2 ? 1 ? A ;
n

(b) A 中的元素(除 1 外)均为 A 中的另两个(可以相同)元素的和. (1)求 f (3) 的值;

9.三角形 A B C 中, A B ? A C , M 是 B C 的中点, D 、 E 、 F 分别是 B C , C A , A B 边上的点,且 A E ? A F ,

△ A E F 的外接 圆 交 线 段 A D 于 P , 若点 P 满足: P D ? P E ? P F
2

A

(2)求证: f (1 0 0 ) ? 1 0 8 .

证明: ? B P M ? ? C P D
F P E

B

M
(图一)

D

C

1

2012 年全国高中数学联赛预赛模拟 4
一、填空题(本大题共 10 个小题,每小题 6 分,共 60 分) 1、
9 3 4

参考答案:

? B T C ? 1 8 0 ? ? B P C ? ? P B G ... ③
o

由② 得 5、
2

BT CT

?

PB PC

?

PB BG

... ?

4 ○

4 由 ③、○ 得

? P B G ∽ ? BTC

2、92
2 5

3、11

4、 ? ? ? , 0 ? ? ? 4 ?

a

2

a ? (a ? b)

2

所以, ? B P G ? ? T B C ? ? T P C , 即 ? BPM= ? CPD . ???????20 分

6、 ? 3, 0 ? , ? 2, 2 ?

7、

8、4025

9、3

10、 y ? f

?1

? ?
g

f

? x ??

?

12.解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得
OB ? OC
2 2

?

1 2

( AB ? BC ) ?
2 2
2 2 2

1 2

( x ? 1) .
2



二、解答题(本大题共 5 个小题,每小题 20 分,共 100 分) 11、证明:在圆 ? A E F 中,由于弦 A E ? A F , 故圆周角 ? A P E ? ? A P F ? 因此, P 、 D 、 B 、 F 与 P 、 D 、 C 、 E 分别共圆, 于是
? P D B ? ? P F A ? ? P E C , ???????5 分
C1

1 2

?1 8 0

0

? A ? ? ?ABC ? ?ACB ,

在△OBC 中,由余弦定理 B C ? O B ? O C ? 2 O B ? O C co s ? B O C , 所以 由①,②得
OB ? OC ?
2 2

A

2O B ? O C ? 1 ,
x ?1
2

② ③

OB ?OC ?



设点 P 在边 B C , C A , A B 上的射影分别为 A1 、 B 1 、 C 1 ,则

I

P

B1

2
1 2

2
x ?1
2

△ P D A1 ∽△ P E B 1 ∽△ P F C 1 ,故由 P D 2 ? P E ? P F 得, P A12 ? P B1 ? P C 1 ? ? ○ 1 B 设△ A B C 的内心为 I , 今证 B , I , P , C 四点共圆:
0 0

所以
A1 D
(图二)

S ABCD ? 4 S ?OBC ? 4 ?

O B ? O C s in ? B O C ?

2OB ?OC ?



C

AB ? h(x) ?
x ?1
2

2

,所以

h(x) ?

x ?1
2



由③可得, x ? 1 ? 0 ,故 x ? 1 .
2

连 A1 B1 , A1 C 1 , 因 P A1 B C 1 , P A1 C B1 分别共圆,则 ? A1 P C 1 ? 1 8 0 ? ? A B C ? 1 8 0 ? ? A C B ? ? A1 P B1 , 又由○, 1
P A1 P B1 ? P C1 P A1
2 2

2

2x
1 2 x ?1
2

, 所以△ P B 1 A1 ∽△ P A1 C 1

因此 ? P B1 A1 ? ? P A1 C 1 ,

因为 O B ? O C ? 2 O B ? O C ,结合②,③可得

( x ? 1) ? 2 ?
2



2
2

2

而 ? P B1 A1 ? ? P C A1 , ? P A1C 1 ? ? P B C 1 , 所以 ? P C A1 ? ? P B C 1 ,
? P B C 1 ? ? P B I ? ? IB A , ? IC B ? C 2
0

因为 ? P C A1 ? ? P C I ? ? IC B ,

解得(结合 x ? 1 )

1? x ?

2 ?1.

综上所述, h ( x ) ?
3( a ? 1)

x ?1 2x

,1 ? x ?

2 ?1.

?

B 2

? ? IB A , 故得 ? P C I ? ? P B I ,因此 B 、 I 、 P 、 C 四点共圆,

13.解 f ( x ) ? 当1 ? a ?
7 3

( a ? s in x )( 4 ? s in x ) 1 ? s in x

? 1 ? s in x ?

于是 ? B P C ? ? B IC ? 9 0 ?
0

A 2

A
?????10 分

1 ? s in x

?a?2. 3( a ? 1) 1 ? s in x ? a ? 2 ? 2 3( a ? 1) ? a ? 2 ,

? 180 ? B ,

时, 0 ?

3( a ? 1) ? 2 ,此时 f ( x ) ? 1 ? s in x ?

延长 AM 交 ? ABC 的外接圆于 O , 则 AO 为该外接圆的直径, 于是 O B ? A B , O C ? A C , 且 O B ? O I ? O C , 因此, 点 O 是 B IP C 所在圆的圆心, 从而 A B , A C 为⊙O 的切线. 延长 AD 交⊙O 于 T, 则 ? ACP ∽ ? ATC ,所以
AB AP ? BT PB AC AP ? CT PC

且当 sin x ?
I
P

3( a ? 1) ? 1 ? ? ? ? 1, 1 ? ? 时不等式等号成立,故 f m in ( x ) ? 2 3( a ? 1) ? a ? 2 .

当a ?

7 3

时, 3( a ? 1) ? 2 ,此时“双钩”函数 y ? t ?
3( a ? 1) 2 ?a?2 ? 5 ( a ? 1) 2

3( a ? 1) t

, 又由 ? ABP ∽ ? ATB ,得 ??????15 分

B
G

M

D

在? 0,

3( a ? 1) ? 内是递减,故此时 ?

C

,

因 AB ? AC , 故

BT PB

?

CT PC

O T

f m in ( x ) ? f (1) ? 2 ?



... ②

延长 P M 到 G ,使 G M ? P M ,则 B P C G 为平行四边形,
(图三)

2

7 ? 2 3( a ? 1) ? a ? 2 , 1 ? a ? ; ? 3 综上所述, f m in ( x ) ? ? ? 7 ? 5 ( a ? 1) , a ? . ? 2 3 ?

所以 B ? ?1, 2 , ? , 2 ???????(14 分)
2
k ?1

2n

? 1? ,且 B ? f ( n ) ? n ? 1 .而
k n k n

( 2 ? 1) ? 2 ( 2 ? 1) ? 2 ( 2 ? 1), k ? 0,1, ? , n ? 1 ,
n

2

2n

? 1 ? 2 ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) ,
n n n

14.证 (1)记 t ? 于是
2

xy ? yz ? zx 3

,由平均不等式 x y z ?
3 2

?

3

( x y )( y z )( z x )

?

3 2

3

? xy ? yz ? zx ? 2 ? ? ? . 3 ? ?

从而 B 满足(a)(b) , ,于是 由①,②得 反复利用②,③可得

f (2n) ? B ? f (n) ? n ? 1 .

4 ? 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 9 t ? 3 t ,
2 3

所以 ,从而

? 3t ? 2 ? ? 3t

2

? 3t ? 2 ? ? 0 ,

f ( 2 n ? 1) ? f ( n ) ? n ? 3 .



而 3 t ? 3 t ? 2 ? 0 ,所以 3 t ? 2 ? 0 ,即 t ? (2)又因为
2

xy ? yz ? zx ?
2

4 3

. 故
x? y? z ? 2.

f (1 0 0 ) ? f (5 0 ) ? 5 0 ? 1 ? f ( 2 5) ? 2 5 ? 1 ? 5 1 ? f (1 2 ) ? 1 2 ? 3 ? 7 7 ? f (6 ) ? 6 ? 1 ? 9 2 ? f (3) ? 3 ? 1 ? 9 9 ? 1 0 8 .

( x ? y ? z ) ? 3( xy ? yz ? zx ) ,所以 ( x ? y ? z ) ? 4 ,
3

15.解 (1)设集合 A ? ?1, 2 , ? , 2 ? 1? ,且 A 满足(a)(b) , .则 1 ? A , 7 ? A . 由于 ?1, m , 7 ? ? m ? 2 , 3, ? , 6 ? 不满足(b) ,故 A ? 3 . 又 ?1, 2, 3, 7 ? , ?1, 2, 4, 7 ? , ?1, 2, 5, 7 ? , ?1, 2, 6, 7 ? , ?1, 3, 4, 7 ? , ?1, 3, 5, 7 ? , ?1, 3, 6, 7 ? , ,故 ?1, 4 , 5, 7 ? , ?1, 4 , 6 , 7 ? , ?1, 5, 6 , 7 ? 都不满足 (b)
A ? 4.

而集合 ?1, 2 , 4 , 6 , 7 ? 满足(a)(b) , ,所以 f (3) ? 5 . (2)首先证明 f ( n ? 1) ? f ( n ) ? 2, n ? 3, 4, ? .
n



事实上,若 A ? ?1, 2 , ? , 2 ? 1? ,满足(a)(b) , ,且 A 的元素个数为 f ( n ) . 令 B ? A ? ?2 又2
n ?1
n ?1

? 2, 2
n

n ?1

? 1? ,由于 2

n ?1

? 2 ? 2 ? 1 ,故 B ? f ( n ) ? 2 .
n

? 2 ? 2 ( 2 ? 1), 2

n ?1

? 1 ? 1 ? (2

n ?1

? 2 ) ,所以,集合 B ? ?1, 2 , ? , 2

n ?1

? 1? ,且 B 满足(a)(b) , .

从而

f ( n ? 1) ? B ? f ( n ) ? 2 .

其次证明: f ( 2 n ) ? f ( n ) ? n ? 1, n ? 3, 4, ? .
n



事实上,设 A ? ?1, 2 , ? , 2 ? 1? 满足(a)(b) , ,且 A 的元素个数为 f ( n ) .令
B ? A ? ? 2 ( 2 ? 1), 2 ( 2 ? 1), ? , 2 ( 2 ? 1), 2
n 2 n n n 2n

? 1? ,

由于

2 ( 2 ? 1) ? 2 ( 2 ? 1) ? ? ? 2 ( 2 ? 1) ? 2
n 2 n n n

2n

?1,
3