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高中数学人教大纲版课时教案(广西专用):正切函数的图象和性质

第三十四教时

教材:正切函数的图象和性质

目的:学会画出正切函数的图象,并掌握正切函数的性质。

过程:

一、课题:正切函数的图象和性质。

二、正切函数 y ? tan x 的图象。
1.首先考虑定义域: x ? k? ? ? ?k ? z?
2
2.为了研究方便,再考虑一下它的周期:

?

tan?x

??

?

?

sin?x cos?x

??? ???

?

? sin x ? cos x

?

tan

x?? ?

x

?

R, 且x

?

k?

?

? 2

,

k

?

z ?? ?

? y ? tan x?? x ? R,且x ? k? ? ? , k ? z ?? 的周期为T ? ? (最小正周期)

?

2

?

3.因此我们可选择 ?? ? ? , ? ?? 的区间作出它的图象。
? 2 2?

y

??

?
x

2

2

根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数
y ? tan x x ? R ,且 x ? ? ? k? ?k ? z?的图象,称“正切曲线”
2
y

? 3?

?? ??

2

2

0? 2

?

3? x

2

三、正切函数的性质 引导学生观察,共同获得:

1、

定义域:

??x ?

|

x

?

? 2

?

k?

,

k

?

z?? ?



2、 值域:R

观察:当 x 从小于 k? ? ? ?k ? z?, x ???k? ? ? 时, tan x ????

2

2

当 x 从大于 ? ? k? ?k ? z?, x ??? ? ? k? 时, tan x ????? 。

2

2

3、 周期性:T ? ?

4、 奇偶性: tan?? x? ? ? tan x 奇函数。

5、 单调性:在开区间 ?? ? ? ? k? , ? ? k? ??k ? z 内,函数单调递增。

?2

2?

四、例题:

例一、 比较 tan?? ? 13? ?? 与 tan?? ? 17? ?? 的大小。

? 4?

? 5?

解:? tan?? ? 13? ?? ? ? tan ? , tan?? ? 17? ?? ? ? tan 2? ,

? 4?

4

? 5?

5

又: 0 ? ? ? 2? , y ? tan x在??0, ? ?? 内单调递增,

45

? 2?

? tan ? ? tan 2? ,? ? tan ? ? ? tan 2? ,即tan?? ? 13 ? ?? ? tan?? ? 17 ? ?? 。

4

5

4

5

?4? ?5?

例二、 讨论函数 y ? tan?? x ? ? ?? 的性质。
? 4?

略解:定义域:

??x ?

|

x

?

R且 x

?

k?

?

? 4

,

k

?

z

? ? ?

值域:R

非奇非偶函数

在 ?? k? ? 3? , k? ? ? ?? 上是增函数。

?

4

4?

图象可看作是 y ? tan x 的图象向左平移 ? 单位。
4
五、小结: y ? tan x, x ? R且x ? k? ? ? , k ? z 的图象,性质。
2

六、作业:P71 练习 1,2,3,4,6

P72 习题 4.10 1,2,3,4