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2013届高三第二次月考数学(文)试题及答案

2013 届高三第二次月考数学(文)试题

一、选择题(本大题共 9 小题,每小题 5 分,满分 45 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合 A={x|sinx<0,0≤x≤2π},B={x|cosx>0, 0≤x≤2π},则 A∩B= A. ( 0 , C. ( ? ,
?
)
) ,? ) 2 3? ,2? ) D. ( 2

B. (

?

2 3?
2

2.复数 Z 为复数 1 ? i 的共轭复数,则 (1 ? i) Z = A. 2 i D. ? 2 3.条件 A:“ ? ? B. ? 2 i
?
4

C.2

”是结论 B:“ tan ? ? 1 ”的

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图的程序框图,则输出的 ? 是 A. ? 4 B. ? 2 C. 0 D. ? 2 或 0 5.正四棱锥的底面边长为 6,侧棱长为 5,则下面是该棱锥的侧视图的是

6.经过抛物线 y ? 4 x 焦点且渐近线方程为 x ? y ? 0 的双曲线方程是
2

A. x ? y ? 4
2 2

B. x ? y ? 2
2 2

C. x ? y ? 1
2 2

D. x ? y ? ? 1
2 2

7.函数 f ( x ) ? A sin ( ? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? | ? 如图示,则将 y ? f ( x ) 的图象向右平移 图象解析式为 A.y= sin 2 x B.y= sin(2 x ?
2

?
2

) 的部分图象

y

1
O

1 1? 12

?
6

个单位后,得到的

?
6

x

?
6

)

C.y= sin(2 x ?

2? 3

)

D.y= sin(2 x ?

?
6

)

8.若对任意正数 x ,均有 a ? 1 ? x ,则实数 a 的取值范围是 A. [-1,1] B.(-1,1) C. ? ? 1 ? x , 1 ? x ?
? ?

D. ( ? 1 ? x , 1 ? x )

9.某三角形的三边长分别是 2、3、4,则该三角形的面积是 A.
3 15 4

B.

3 4

C.

3 15 2

D.

15 2

1

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分)
10.右图是姚明在六场篮球比赛中所得分数的茎叶图,则他在这六场 比赛中所得分的极差是 ;中位数是 。 11.在直角坐标系 xo y 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系,则圆 ? ? 2 ? co s ? ? 3 ? 0 标准方程是__________.
2

12.在△ ABC 中,∠C 为直角, A B =(x,0), A C =(-1,y),则动点 P(x,y)的轨迹方程是_____. 13.对于函数 f(x),在使 f(x)≥M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最大值称为 f(x)的"下 确界",则函数 f ( x ) ? 1 ? 4 x ?
1 5 ? 4x
2

??? ?

????

, x ? (?? ,
x

5 4

) 的"下确界"等于_________.

14.设集合 A={x| y ? lg x },B={x| x ? 2 },求,则 A∩B=______. 15.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩 上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的 实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作 a1 ? 1 ,第2 个 五 角 形 数 记 作 a 2 ? 5 , 第 3 个 五 角 形 数 记 作 a3 ? 12 , 第 4 个 五 角 形 数 记 作
a 4 ? 2 2 ,……,若按此规律继续下去,则 a 5 ?

,若 a n ? 145 ,则 n ?



三、解答题(本大题6个小题,共75分)
16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 co s 2
x 2 ? 3 sin x .

(1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; (2)若 ? 为第二象限角,且 f (? ?
?
3 )? 1 3

,求

co s 2 ? 1 ? co s 2 ? ? sin 2 ?

的值.

2

17. (本小题满分12分) 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生, 将他们的期中考试数学成绩 (满分 100 分, 成绩均为不低于 40 分的整数) 分成六段: [40,50), [50,60),… , [90,100],后得到如图 4 的频率分布 直方图. ⑴ 求图中实数 a 的值; ⑵ 若该校高一年级共有学生 640 人, 试估 计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分 的人数; ⑶ 若从数学成绩在[40,50)与 [90,100]两 个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这 两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的 概率.

18. (本小题满分12分) 如图 5 所示, 在三棱锥 P-ABC 中,A B ? B C ?
6 ,

平面 PAC⊥平面 ABC,PD ? AC 于点 D , AD=1, CD=3,PD=2. ⑴ 求三棱锥 P—ABC 的体积; ⑵ 证明△ PBC 为直角三角形.

19. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f(x)的最小值为 ? 4 , 且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}. ⑴ 求函数 f(x)的解析式; ⑵ 求函数 g ( x ) ?
f

?x?
x

? 4 ln x 的零点个数.

3

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x 的图象是曲线 C,点 An ( a n , f (a n ))( n ? N ) 是曲线 C 上的一系列
*

点,曲线 C 在点 A n 处的切线与 y 轴交于点 B n (0, b n ) ,若数列 { b n } 是公差为 2 的等差 数列,且 f ( a1 ) ? 3 . ⑴ 分别求出数列 { a n } 与数列 { b n } 的通项公式; ⑵ 设 O 为坐标原点, S n 表示 ? O A n B n 的面积,求数列 { S n } 的前 n 项和 T n .

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?
1 2 a x ? x , a ? R.
2

⑴ 求函数 f(x)的单调区间; ⑵ 是否存在实数 a ,使得函数 f(x)的极值大于 0 ?若存在,求 a 的取值范围;若不存在, 说明理由.

4

数学(文科)参考答案
一、选择题:本题主要考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 45 分。 二、填空题:本题主要考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 30 分。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。

17. (本小题满分12分) (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于 1, 所以 10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ? a ? 0.025 ? 0.01) ? 1 .解得 a ? 0.03 . (2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率为 1 ? 10 ? (0.005 ? 0.01) ? 0.85 . 由于该校高一年级共有学生 640 人, 利用样本估计总体的思想, 可估计该校高一年级数 学成绩不低于 60 分的人数约为 640 ? 0.85 ? 544 人. (3)解:成绩在 ? 4 0, 5 0 ? 分数段内的人数为 40 ? 0.05 ? 2 人,分别记为 A , B .……6 分 成绩在 ? 9 0,1 0 0 ? 分数段内的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人,分别记为 C , D , E , F . 7 分 若从数学成绩在 ? 4 0, 5 0 ? 与 ? 9 0,1 0 0 ? 两个分数段内的学生中随机选取两名学生, 则所有 的基本事件有: ? A , B ? , ? A , C ? ,。。 ? D , F ? , ? E , F ? 共 15 种.…9 分 。。 如果两名学生的数学成绩都在 ? 4 0, 5 0 ? 分数段内或都在 ? 9 0,1 0 0 ? 分数段内, 那么这两名 学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 ? 4 0, 5 0 ? 分数段内,另一

5

个成绩在 ? 9 0,1 0 0 ? 分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10. 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 M ,则事件 M 包含的基本 事件有:

? A , B ? , ? C , D ? , ? C , E ? , ? C , F ? , ? D , E ? , ? D , F ? , ? E , F ? 共 7 种.
7 15

所以所求概率为 P ? M ? ? 18. (本小题满分12分)

.…

(2)证法 1:因为 P D ? AC ,所以△ P C D 为直角三角形. 因为 P D ? 2 , C D ? 3 , 所以 P C ?
PD ? CD
2 2

?

2 ?3 ?
2 2

1 3 .……7 分

连接 B D ,在 R t △ B D E 中,
o 因为 ? B E D ? 9 0 , B E ?

2 , DE ? 1 ,

所以 B D ?

BE ? DE
2

2

?

?

2

?

2

?1 ?
2

3 .…………9 分

由(1)知 P D ? 平面 ABC ,又 B D ? 平面 ABC , 所以 P D ? BD .
o 在 R t △ P B D 中,因为 ? P D B ? 9 0 , P D ? 2 , B D ?

3,

所以 P B ?

PD ? BD
2

2

?

2 ?
2

? 3?

2

?

7 .…
13 ,

在 ? PBC 中,因为 B C ?

6 , PB ?

7 , PC ?

2 2 2 所以 B C ? P B ? P C .所以 ? PBC 为直角三角形.

o 证法 2:连接 B D ,在 R t △ B D E 中,因为 ? B E D ? 9 0 , B E ?

2 , DE ? 1 ,

6

所以 B D ?

BE ? DE
2

2

?

?

2

?

2

?1 ?
2

3 .………7分
3,

P

在△ B C D 中, C D ? 3 , B C ?

6 , BD ?

所以 B C 2 ? B D 2 ? C D 2 ,所以 B C ? B D .…………9分
A 由(1)知 P D ? 平面 ABC , D 因为 B C ? 平面 ABC , 所以 B C ? P D . 因为 B D ? P D ? D ,所以 B C ? 平面 P B D . B

E

C

因为 P B ? 平面 P B D ,所以 B C ? P B .所以 ? PBC 为直角三角形. 19. (本小题满分12分) 解: ? f(x) 是二次函数, 且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为 ? x ? 1 ? x ? 3, x ? R ? , (1)
? f

?x? ?

a ( x ? 1)( x ? 3) ? a x ? 2 a x ? 3 a , 且 a ? 0 . ·················3 分 ··········· ······ ·········· ······
2

2 因 a ? 0, f ? x ? ? a ? ( x ? 1) ? 4 ? ? ? 4 ,且 f ? 1 ? ? ? 4 a ,? f ( x ) m in ? ? 4 a ? ? 4, a ? 1 . 5 分 ? ?

故函数 f ? x ? 的解析式为 f ? x ? ? x ? 2 x ? 3 .
2

(2)
? g ?( x ) ? 1 ? 3 x
2

? g (x) ?

x ? 2x ? 3
2

? 4 ln x ? x ?

3 x

? 4 ln x ? 2 ( x ? 0 )

,

x

?

4 x

?

( x ? 1)( x ? 3) x
1
2

.

x , g ? ( x ), g ( x ) 的取值变化情况如下:

x
g ?( x ) g ( x)

(0, 1)

(1, 3)

3

(3, ? ? )
?

?

0

?

0

单调增加

极大值

单调减少

极小值

单调增加

当 0 ? x ? 3 时, g ? x ? ? g ? 1 ? ? ? 4 ? 0 ; 又 g ?e
5

??e

5

?

3 e
5

? 20 ? 2 ? 2 ? 1 ? 22 ? 9 ? 0 .
5

故函数 g ( x ) 只有 1 个零点,且零点 x 0 ? (3, e ).
5

20. (本小题满分 13 分)

7

(2)因 Sn=S△ OAB=
3 5

| a n | ? | bn | 2
7

?

1 2

? 2n ? e
2 n ?1

2 n ?1

? ne
2

2 n ?1

? T n ? e ? 2 e ? 3 e ? ? ? ne

? e Tn ? e ? 2 e ? 3e ? ? ? n e
5 7 9

n ?2

3

两式相减得? (1 ? e )T n ? e ? e ? e ? ? ? e
2 3 5 7

2 n ?1

? ne

2n?3

=e (
2 n ?3

3

1? e

2n 2

1? e
?e
3

) ? ne

2n?3



ne

2n?5

? ( n ? 1) e 1? e
2

2n?3

?e

3

所以 T n ?

ne

2 n?5

? ( n ? 1) e (1 ? e )
2 2

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识, 考查函数与方程、分类与整合、 化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ? ? ? . f ? ? x ? ? ① 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ?
1? x x
'

1 x

? ax ? 1 ? ?

ax ? x ? 1
2

.

x

,∵ x ? 0 , ∴ f ? x ? ? 0

∴ 函数 f ? x ? 单调递增区间为 ? 0, ? ? ? . ② 当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 得 ?
ax ? x ? 1
2

? 0 , ∵x>0∴ a x ? x ? 1 ? 0 .
2

∴△=1+4a.

x

(ⅰ)当 ? ? 0 ,即 a ? ?

1 4

2 时,得 a x ? x ? 1 ? 0 ,故 f ? ? x ? ? 0 ,

∴ 函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ? ? ? . (ⅱ)当 ? ? 0 ,即 a ? ?
1 4
1? 1 ? 4a 2a 1? 1 ? 4a 2a
8

2 时,方程 a x ? x ? 1 ? 0 的两个实根分别为

x1 ?

, x2 ?

.

若?

1 4

? a ? 0 ,则 x1 ? 0, x 2 ? 0 ,此时,当 x ? ? 0, ? ? ? 时, f ? ? x ? ? 0 .

∴函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ? ? ? , 若 a ? 0 ,则 x1 ? 0, x 2 ? 0 , 此时,当 x ? ? 0, x 2 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? ? x 2 , ? ? ? 时, f ? ? x ? ? 0, ∴函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ?
? ? 1? ? 1 ? 1 ? 4a 1 ? 4a ? , ?? ? ,单调递减区间为 ? ? ? 2a 2a ? ? ? ? 1? ? ?. ? ?

综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ?
?1? ? ? 1 ? 4a 2a ? , ?? ? ; ? ?

1 ? 4a ? ? ,单调递减区间 ? 2a ?

为?

当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ? ? ? ,无单调递减区间.

轴x ?

1 2a

? 0 ,则只需 ? (1) ? 0 ,即 a ? 1 ? 1 ? 0 解得 a ? 2 ,而 a ? 0 ,

故实数 a 的取值范围为 ? 0, 2 ? .

9

10


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