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松江区2014届高三数学一模试卷(理科


松江区 2013 学年度第一学期高三期末考试 数学(理科)试卷
(满分 150 分,完卷时间 120 分钟)
2014.1

一、填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若函数 f ( x) ? 2.若 4 ? 2
x x?1

1 1 ( x ? 1) 的反函数为 f ?1 ( x) ,则 f ?1 ( ) ? . x ?1 2

? 0 ,则 x ? .

3.某射击选手连续射击 5 枪命中的环数分别为:9.7 ,9.9 ,10.1 ,10.2 ,10.1 , 则这组数据的方差为. 4.如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 1 ,则 AC ? DB ? . 5.已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 S n .若 a1 ? 1 , a3 ? 5 , S n ? 64 ,则 n ? . 6.将直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 绕着点 P(1, 2) 按逆时针方向旋转 45? 后得 到直线 l 2 ,则 l 2 的方程为. 7.执行如图所示的程序框图,输出的 S =. 8.记 a n为(1 ? x)
n ?1

???? ??? ?

的展开式中含 x n?1 项的系数,则

lim(
n ??

1 1 1 ? ?? ? ) ? . a1 a2 an
2 2 2

9.若圆 x ? y ? R ( R ? 0) 和曲线

| x| | y| ? ? 1 恰有六个公共点,则 3 4

R 的值是. 10. {1, 2,3, 4,5} 中随机选取一个数 a , {1, 2,3} 中随机选取一个数 b , 从 从
则关于 x 的方程 x ? 2ax ? b ? 0 有两个虚根的概率是.
2 2

11.对于任意实数 x , x 表示不小于 x 的最小整数,如 1.2 ? 2, ?0.2 ? 0 .定义在 R 上的函数

f ( x) ? x ? 2 x ,若集合 A ? ? y y ? f (x ), ?1 ? x ? 0? ,则集合 A 中所有元素的和为.
12.设 F1 , F2 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, P 是 C 上一点,若 PF1 ? PF2 ? 6a , a 2 b2
?

且 ?PF1 F2 的最小内角为 30 ,则 C 的渐近线方程为. 13. 已知函数 f ( x) ? log a 1 ? x ( a ? 0, a ? 1) , x1 ? x2 ? x3 ? x4 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) , 若 且 则

1 1 1 1 ? ? ? ?. x1 x2 x3 x4

14.设集合 A ? {1, 2,3,?, n} ,若 B ? ? 且 B ? A ,记 G ( B) 为 B 中元素的最大值与最小值之和,则对所 有的 B , G ( B) 的平均值=. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸相应编号 上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.

1/3

15.某市共有 400 所学校,现要用系统抽样的方法抽取 20 所学校作为样本,调查学生课外阅读的情况.把 这 400 所学校编上 1~400 的号码,再从 1~20 中随机抽取一个号码,如果此时抽得的号码是 6,则在编号为 21 到 40 的学校中,应抽取的学校的编号为() A .25 B.26 C.27 D.以上都不是
a b ? b a

16.已知 0 ? a ? b ,且 a ? b ? 1,则下列不等式中,正确的是() A. log 2 a ? 0 17.已知函数 f ( x) ? A. [k? ? B. 2
a ?b

1 ? 2
m

C. log 2 a ? log 2 b ? ?2 的图像关于直线 x ?

D. 2

?

1 2

2sin x

?
8

cos 2 x cos x

对称,则 f ( x) 的单调递增区间为()

3? ? ? 3? , k? ? ] (k ? Z ) B. [k? ? , k? ? ] (k ? Z ) 8 8 8 8 3? ? ? 3? , 2 k? ? ] ( k ? Z ) ] (k ? Z ) C. [2k? ? D. [2k? ? , 2k? ? 4 4 4 4 18.已知实数 a ? 0, b ? 0 ,对于定义在 R 上的函数 f (x) ,有下述命题: ()
①“ f (x) 是奇函数”的充要条件是“函数 f ( x ? a) 的图像关于点 A(a,0) 对称” ; ②“ f (x) 是偶函数”的充要条件是“函数 f ( x ? a) 的图像关于直线 x ? a 对称” ; ③“ 2a 是 f ( x) 的一个周期”的充要条件是“对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? a) ? ? f ( x) ” ; ④“函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图像关于 y 轴对称”的充要条件是“ a ? b ” 其中正确命题的序号是() A.①② B.②③ C.①④ D.③④

三. 解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题, 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必 要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分
2 2 已知集合 A ? {x x ? 1 ? 1} , B ? {x x ? 4ax ? 3a ? 0, a ? 0}

(1)当 a ? 1 时,求集合 A ? B ; ⑵若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分

x2 ? y 2 ? 1的左焦点 F1 的直线 l 交椭圆于 A 、 B 两点. 2 ???? ???? ⑴求 AO ? AF1 的范围; ??? ??? ? ? ⑵若 OA ? OB ,求直线 l 的方程.
过椭圆

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分

2/3

如图,相距 200 海里的 A、B 两地分别有救援 A 船和 B 船.在接到求救信息后,A 船能立即出发,B 船因港口原因需 2 小时后才能出发,两船的航速都是 30 海里/小时.在同时收到求救信息后,A 船早于 B 船到达的区域称为 A 区,否则称为 B 区.若在 A 地北偏东 45? 方向,距 A 地 150 2 海里处的 M 点有一 艘遇险船正以 10 海里/小时的速度向正北方向漂移. ⑴求 A 区与 B 区边界线(即 A、B 两船能同时到达的点的轨迹)方程; ⑵问: ①应派哪艘船前往救援? ②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇? (精确到 0.1 小时)

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 6 分 已知函数 f ( x) ? x ? ( x ? 1) | x ? a | .
2

⑴若 a ? ?1 ,解方程 f ( x) ? 1 ; ⑵若函数 f ( x) 在 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围; ⑶是否存在实数 a ,使不等式 f ( x) ? 2 x ? 3 对一切实数 x ? R 恒成立?若存在,求出 a 的取值范围,若不 存在,请说明理由.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 对于数列 { An } : A1 , A2 , A3 ,?, An ,若不改变 A1 ,仅改变 A2 , A3 ,?, An 中部分项的符号,得到的新数 列 {an } 称为数列 { An } 的一个生成数列.如仅改变数列 1, 2,3, 4,5 的第二、三项的符号可以得到一个生成数 列 1, ?2, ?3, 4,5 . 已知数列 {an } 为数列 { ⑴写出 S 3 的所有可能值; ⑵若生成数列 {an } 满足: S3n ?
?

1 }(n ? N ? ) 的生成数列, S n 为数列 {an } 的前 n 项和. n 2 1 1 (1 ? n ) ,求 {an } 的通项公式; 7 8 2m ? 1 , m ? N ? , m ? 2n ?1} . n 2

⑶证明:对于给定的 n ? N , S n 的所有可能值组成的集合为: {x | x ?

3/3

松江区 2013 学年度第一学期高三期末考试 数学(理科)试卷参考答案
2014.1

一、填空题 1. 3 8.2 2.13.0.032

3 4. ? 5.8 2

6. y ? 2 7.102 13.2 14. n ? 1

1 9.3 10. 11.-4 12. y ? ? 2 x 5 二、选择题 15.B 16. C 17.A 18.A

三、解答题 19.解:(1)由 x ? 1 ? 1 ,得 0 ? x ? 2 ,所以 A ? [0, 2] ?? 2 分 当 a ? 1 时, B ? {x x 2 ? 4 x ? 3 ? 0} ? x 1 ? x ? 3 ,????????? 4 分 ∴ A ? B ? [1, 2] ????????? 6 分 (2) ? a ? 0 ,∴ B ? ?a,3a ?,?????????7 分 若 A ? B ? B ,则 B ? A ,????????? 8 分 ∴?

?

?

?a ? 0 2 即 a ? [0, ] ?????????12 分 3 ?3a ? 2

2 , b ? 1, c ? 1 ∴ F1 (?1,0) ,?????1 分 ???? ???? 设 A( x1 , y1 ) ,则 AO ? AF1 ? x12 ? x1 ? y12 ????????? 3 分
20.解: (1)易知 a ?
2

x 2 ∵ 1 ? y1 ? 1 2 ???? ???? 1 2 1 1 2 2 2 ∴ AO ? AF1 ? x1 ? x1 ? y1 ? x1 ? x1 ? 1 ? ( x1 ? 1) ? ??????5 分 2 2 2 ???? ???? 1 ∵ x1 ? [? 2 , 2 ] ∴ AO ? AF1 ? [ , 2 ? 2] ,????????? 6 分 2 (2)设 A 、 B 两点的坐标为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ??? ??? 1 ? ? 2 2 ) 、 B(?1, ? ) ,此时 OA ? OB ? ? 0 ??8 分 ①当 l 平行于 y 轴时,点 A( ?1, 2 2 2 ②当 l 不平行于 y 轴时,设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 方程为 y ? k ( x ? 1) , ? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 ??????? 9 分 2 ? ? y ?1 ? 2 4k 2 2k 2 ? 2 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ??????? 11 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ??? ??? ? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? k 2

2k 2 ? 2 4k 2 ?k 2 ? ? k 2 ? 0 得 k 2 ? 2 , k ? ? 2 ???? 13 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 故所求的直线方程为 y ? ? 2( x ? 1) ???? 14 分 PA PB ? ? 2 ,即 PA ? PB ? 60 , 21.解:⑴设点 P 为边界线上的点,由题意知 30 30 即动点 P 到两定点 A 、 B 的距离之差为常数,
= (1 ? k ) ?
2

4/3

∴点 P 的轨迹是双曲线中的一支。???????? 3 分 由 2c ? 200, 2a ? 60 得 a ? 30 , b ? 100 ? 30 ? 9100
2 2 2

x2 y2 ? ? 1 ( x ? 0 )??????? 6 分 900 9100 ⑵① M 点的坐标为 M (50,150) , A 点的坐标为 A(?100, 0) , B 点的坐标为 B(100,0) ,∴
∴方程为

MA ? 150 2 ? 212.1 , MB ? 502 ? 1502 ? 158.1 , MA ? MB ?? 212.1 ? 158.1 ? 54 ? 60 , ∴点 M
在 A 区,又遇险船向正北方向漂移, ,即遇险船始终在 A 区内,∴应派 A 船前往救援????8 分 ② 设 经 t 小 时 后 , A 救 援 船 在 点 N 处 与 遇 险 船 相 遇 。 在 ?AMN 中 , AM ? 1 5 0 MN ? 10t , AN ? 30t , ?AMN ? 135? ??????? 9 分 ∴ (30t ) ? (10t ) ? (150 2) ? 2 ?10t ?150 2 cos135?
2 2 2

, 2

整理得 4t ? 15t ? 225 ? 0 ,
2

15 ? 15 17 15 ? 15 17 ? 9.606 或 t ? (舍)??????? 13 分 8 8 ∴A 救援船需 9.6 小时后才能与遇险船相遇.???????14 分 2 22.解: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ? ( x ? 1) | x ? 1| , 故有,
解得 t ?

? 2 x 2 ? 1, x ? ?1 f ( x) ? ? , ???????2 分 x ? ?1 ? 1, 2 当 x ? ?1 时,由 f ( x) ? 1 ,有 2 x ? 1 ? 1 ,解得 x ? 1 或 x ? ?1 ???????3 分 当 x ? ?1 时, f ( x) ? 1 恒成立???????4 分 ∴方程的解集为 {x | x ? ?1或x ? 1} ???????5 分
(2) f ( x ) ? ?

? 2 x 2 ? (a ? 1) x ? a, x ? a ?(a ? 1) x ? a, x?a

,

???????7 分

若 f ( x) 在 R 上单调递增,则有

? a ?1 ?a 1 ? ,解得, a ? ???????9 分 ? 4 3 ? a ?1 ? 0 ? 1 ∴当 a ? 时, f ( x) 在 R 上单调递增?????10 分 3 (3)设 g ( x) ? f ( x) ? (2 x ? 3)
x?a ? (a ? 1) x ? a ? 3, 不等式 f ( x) ? 2 x ? 3 对一切实数 x ? R 恒成立,等价于不等式 g ( x) ? 0 对一切实数 x ? R 恒成立. 2 2 ? 0 ,取 x0 ? ①若 a ? 1 ,则 1 ? a ? 0 ,即 ,此时 x0 ? (??, a) 1? a 1? a 2 2 g ( x0 ) ? g ( ) ? (a ? 1) ? ? a ? 3 ? 1? a ? 0 , 1? a 1? a 2 即对任意的 a ? 1 ,总能找到 x0 ? ,使得 g ( x0 ) ? 0 , 1? a ∴不存在 a ? 1 ,使得 g ( x) ? 0 恒成立.???????12 分
②若 a ? 1 , g ( x ) ? ? 则 g ( x) ? ?

?2 x 2 ? (a ? 3) x ? a ? 3, x ? a

???????11 分

? 2 x 2 ? 4 x ? 4, x ? 1 ? 2, x ?1

, g ( x) 值域 [2, ??) ,

所以 g ( x) ? 0 恒成立.???????13 分

5/3

③若 a ? 1 , 当 x ? (??, a) 时, g ( x) 单调递减,其值域为 (a ? 2a ? 3, ??) ,
2

由于 a ? 2a ? 3 ? (a ? 1) ? 2 ? 2 ,所以 g ( x) ? 0 成立.
2 2

当 x ? [a, ??) 时,由 a ? 1 ,知 a ?

a?3 a?3 , g ( x) 在 x ? 处取最小值, 4 4

a?3 (a ? 3) 2 ) ? a ?3? ? 0 ,得 ?3 ? a ? 5 ,又 a ? 1 ,所以 ?3 ? a ? 1 ??15 分 令 g( 4 8 综上, a ?[?3,1] . ???????16 分 1 1 ? 23. (1)由已知, a1 ? , | an |? n (n ? N , n ? 2) , 2 2 1 1 ∴ a2 ? ? , a3 ? ? ??????????????2 分 4 8 1 1 1 7 1 1 1 5 1 1 1 3 1 1 1 1 由于 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? 2 4 8 8 2 4 8 8 2 4 8 8 2 4 8 8 1 3 5 7 ∴ S 3 可能值为 , , , .???????4 分 8 8 8 8

(2)∵ S3n ?

1 1 (1 ? n ) , 7 8 1 1 1 (1 ? ) ? ,???????5 分 7 8 8 1 1 1 1 1 (1 ? n ) ? (1 ? n?1 ) ? n ??6 分 7 8 7 8 8

当 n ? 1 时, a1 ? a2 ? a3 ? S3 ?

当 n ? 2 时, a3n ?2 ? a3n ?1 ? a3n ? S3n ? S3n ?3 ?

∵ {an } 是 ?

?1? (n ? N ? ) 的生成数列 n ? ?2 ?

∴ a3n ? 2 ? ?

1 2
3n ? 2

; a3n ?1 ? ?

1 2
3 n ?1

; a3n ? ?

1 ; 23 n

∴ a3n ?2 ? a3n ?1 ? a3n ? ? 在以上各种组合中, 当且仅当 a3n ?2 ?

1 2
3n ? 2

?

1 2
3 n ?1

?

1 1 1 ? n (?4 ? 2 ? 1) ? n (n ? N ? ), ??8 分 3n 2 8 8

4 2 1 , a3n ?1 ? ? n , a3n ? ? n (n ? N ? ) 时,才成立。?????9 分 n 8 8 8

? 1 ? 2n , n ? 3k ? 2 ? ∴ an ? ? , k ? N ? ??????10 分 1 ? ? , n ? 3k ? 2 ? 2n ?
(3)证法一:用数学归纳法证明:

6/3

1 ,命题成立。????????????11 分 2 ②假设 n ? k (k ? 1) 时命题成立,即 S k 所有可能值集合为: 2m ? 1 {x | x ? , m ? N ? , m ? 2k ?1} 2k 2m ? 1 由假设, S k = (m ? N ? , m ? 2k ?1 ) ????????????13 分 k 2 2k ?1 Sk ? 1 1 1 1 1 1 1 则当 n ? k ? 1 , Sk ?1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? k ? k ?1 ? Sk ? k ?1 ? 2 2 2 2 2 2 2k ?1 2k ?1 Sk ? 1 2(2m ? 1) ? 1 (m ? N ? , m ? 2k ?1 ) ????????????15 分 Sk ?1 ? ? k ?1 k ?1 2 2 2 ? (2m ? 1) ? 1 2 ? (2m) ? 1 (m ? N ? , m ? 2k ?1 ) 即 Sk ?1 ? 或 Sk ?1 ? k ?1 k ?1 2 2 2m ? 1 ? k 即 Sk ?1 ? k ?1 (m ? N , m ? 2 ) ∴ n ? k ? 1 时,命题成立??17 分 2 2m ? 1 ? 由①②, n ? N , S n 所有可能值集合为 {x | x ? , m ? N ? , m ? 2n?1} 。??18 分 n 2
① n ? 1 时, S1 ? 证法二:

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 共有 2n?1 种情形。 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n 2 2 2 2 2 2 2 2 n 1 2 ?1 即 n ? Sn ? ????????????12 分 2 2n 2n ?1 ? 2n ?1 ? 2n ?3 ? ? ? 1 1 x 2n ? 1 n?1 又 Sn ? ,分子必是奇数,满足条件 n ? n ? 的奇数 x 共有 2 n n 2 2 2 2 Sn ?
个。????????????14 分 设数列 {an } 与数列 {bn } 为两个生成数列,数列 {an } 的前 n 项和 S n ,数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ,从第二项 开始比较两个数列,设第一个不相等的项为第 k 项。 由于 | ak |?| bk |?

1 ,不妨设 ak ? 0, bk ? 0 ,则 2k 1 1 1 1 ? 2 ? ( k ?1 ? k ? 2 ? ? ? n ) k 2 2 2 2

Sn ? Tn ? (ak ? ak ?1 ? ? ? an ) ? (bk ? bk ?1 ? ? ? bn ) ? 2 ? ? 2?

1 1 1 1 ? 2 ? ( k ? n ) ? n?1 ? 0 k 2 2 2 2 所以,只有当数列 {an } 与数列 {bn } 的前 n 项完全相同时,才有 Sn ? Tn 。?????16 分 1 1 1 1 n?1 ∴ Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n 共有 2 种情形,其值各不相同。 2 2 2 2 1 3 5 2n ? 1 n?1 ∴ S n 可能值必恰为 n , n , n ,? , ,共 2 个。 2 2 2 2n 2k ? 1 , k ? N ? , k ? 2n?1} ??????????18 分 即 S n 所有可能值集合为 {x | x ? n 2

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