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江苏省盐城市2017届高三上学期期中考试数学试题Word版含答案.doc


盐城市 2017 届高三年级第一学期期中考试 数 学 试 题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟)

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1.函数 y ? 2sin ? ? x ?

? ?

??
?

? 的最小正周期是 2?
? ?






2.设向量 a ? (2, ?6) , b ? (?1, m) ,若 a // b ,则实数 m ?
2 3.命题 p : ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 1 ? 0 是

?





命题(选填“真”或“假”) . ▲ ▲ ▲ . . .

4.已知集合 A ? ?1,2,3,4? , B ? ? y | y ? 3x ? 2, x ? A? ,则 A ? B = 5.函数 f ? x ? ? a x?1 ? 3 ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象所经过的定点为 6.在等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ? 1, a3 ? a4 ? 2 ,则 a9 ? a10 ? 7 .若函数 f ( x) ? ▲ .

1 3 x ? x 2 ? ax ? 3a 在区间 [1, 2] 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 3

8.已知 sin ? ?

? 4 2 ,且 ? 为钝角,则 cos ? 2 9





B : sin C? 9 .在 ?ABC 中,已知 sin A : sin
▲ .

3 : 5 :, 7 则此三角形 的最大内角的 大小为

10.已知 f ? x ? 为奇函数,当 x ? 0 时, f ? x? ? e ? x ,则曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 1 处的切
x 2

线斜率 为 ▲ .

? 1 , x ? a, ? 11.若函数 f ( x) ? ? x 在区间 (??, a) 上单调递减,在 (a, ??) 上单调递增, ? ?| x ? 1|, x ? a
则实数 a 的取值范围是 ▲ .

12.在数列 ?an ? 中, a1 ? ?2101 ,且当 2 ? n ? 100 时, an ? 2a102?n ? 3? 2n 恒成立,则数列

?an ? 的前 100 项和 S100 ?
??? ? ????



. ,B ? (

13. 在 ?ABC 中, 已知 AC ? 4 ,C ? 则 AB ? AD = ▲ .

?
4

? ?

, ), 点 D 在边 BC 上, 且 AD ? BD ? 3 , 4 2

14. 设 函 数 f ? x ? ? kx2 ? kx , g ? x ? ? ?

x ? 1, ? ?ln x, ,若使得不等式 3 2 ? x ? a ? 1 x ? ax , 0 ? x ? 1, ? ? ? ?

f ? x? ? g ? x? 对 一 切 正 实 数 x 恒 成 立 的 实 数 k 存 在 且 唯 一 , 则 实 数 a 的 值 为
▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 设 p :实数 x 满足 x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0 ,其中 a ? 0 ; q :实数 x 满足 (1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

x?3 ? 0. x?2

16. (本小题满分14分) 设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 为常数,且 A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? )的部分图 象如图所示.

(1)求 A, ? , ? 的值; (2)设 ? 为锐角,且 f (? ) ? ?

3 ? 3 ,求 f (? ? ) 的值. 5 6

17. (本小题满分14分) 如图,在四边形 ABCD 中, AC ? 4 , BA ? BC ? 12 , E 为 AC 的中点.

????

??? ? ??? ?

12 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC ; 13 ??? ? ???? ??? ? ??? ? (2)若 BE ? 2ED ,求 DA ? DC 的值.
(1)若 cos ?ABC ?

18. (本小题满分16分) 如图所示,有一块矩形空地 ABCD , AB ? 2 km, BC = 4 km,根据周边环境及地形 实际,当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区 AEFG ,筝形的顶点 A, E , F , G 为 商业区的四个入口, 其中入口 F 在边 BC 上 (不包含顶点) , 入口 E , G 分别在边 AB, AD 上,且满足点 A, F 恰好关于直线 EG 对称,矩形内筝形外的区域均为绿化区. (1)请确定入口 F 的选址范围; (2)设商业区的面积为 S1 ,绿化区的面积为 S2 ,商业区的环境舒适度指数为 入口 F 如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大?

S2 ,则 S1

19. (本小题满分16分) 设函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? a ? R? . (1)若直线 y ? 3x ? 1 是函数 f ? x ? 图象的一条切线,求实数 a 的值;
2 (2)若函数 f ? x ? 在 ? ,求实数 a 的 ?1, e ? ? 上的最大值为 1 ? ae ( e 为自然对数的底数)

值;
2 2 (3)若关于 x 的方程 ln 2 x ? x ? 3t ? x ? x ? t ? ln ? x ? t ? 有且仅有唯一的实数根,

?

?

求实数 t 的取值范围.

20. (本小题满分16分) 若数列 ?an ? 中的项都满足 a2n?1 ? a2n ? a2n?1 ( n ? N ) ,则称 ?an ? 为“阶梯数列”.
*

(1)设数列 ?bn ? 是“阶梯数列”,且 b1 ? 1 , b2 n?1 ? 9b2 n?1 ( n ? N ) ,求 b2016 ;
*

(2)设数列 ?cn ? 是“阶梯数列”,其前 n 项和为 Sn ,求证: ?Sn ? 中存在连续三项成等 差数列,但不存在连续四项成等差数列; ( 3 )设数列 ?dn ? 是 “ 阶梯数列 ” ,且 d1 ? 1 , d2n?1 ? d2n?1 ? 2 ( n ? N ) ,记数列
*

? 1 ? ? 1 ? ? 的前 n 项和为 Tn . 问是否存在实数 t ,使得 ? t ? Tn ? ? t ? ? dn dn?2 ? ? Tn
?

? ? ? 0 对任意 ?

的 n ? N 恒成立?若存在,请求出实数 t 的取值范围;若不存在,请说明理由.

数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.2 2. 3 3. 真 4. ?1, 4? 5. ?1, 4 ? 6. 16 7.

a?3
8.

1 3
14. 2

9. 120?

10.

1 ?2 e

11. [?1, 0]

12. ?4

13. 6

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.解: (1)由 x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0 ,得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 , 又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a , 当 a ? 1 时 ,1< x ? 3 , 即

p 为 真 时 实 数 x 的 取 值 范 围 是

1? x ? 3.
q
为 真

…………………2 分 时

x?3 ?0 x?2







( x ? 2)( x ? 3) ? 0





2 ? x ? 3,

…………………4 分

即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . 若

p?q













x













1? x ? 3.

…………………7 分

(2) p 是 q 的必要不充分条件,等价于 q ? p 且 p 设 B?A;

? ? q,
B ? {x | 2 ? x ? 3}
, 则

A ? {x | a ? x ? 3a}

,

…………………10 分

?0 ? a ? 2, ? 则 ?3a ? 3, ? a ? 2与3a ? 3不同时取等号 ?
1? a ? 2.
16 . ………………14 分 解 : ( 1

, 所 以 实 数 a 的 取 值 范 围 是













A? 3 ,
最 小 正 周 期

……………2 分

4 ? 7? ? ? T? ? ? ? ?? 3 ? 12 6 ?



?? ?

2? ? 2, T

……………4分

? f ( x) ? 3sin(2x ? ?) ,
由f?

? ? 7? ? ? 7? ? ? ? ? 3 ,得 2 ? ? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z , 2 ? 12 ? ? 12 ?
5? ? 2 k? 3


?? ? ? ?? ?

k ?Z
……………7分



?0 ? ? ? ?



?
3

.

(2)由 f (? ) ? 3 sin(2? ?

?
3

) ??

3 ? 3 3 ,得 sin(2? ? ) ? ? , 5 3 5

? ? ? ? 4? ?? ? (0, ) ,? 2? ? ? ? , 2 3 ?3 3

? ? ? 4? ? ? ,又 sin(2? ? 3 ) ? 0 ,所以 2? ? ? ? ? , 3 ? 3 ?

? ?, ?

? ? 4 ? cos(2? ? ) ? ? 1 ? sin 2 (2? ? ) ? ? , 3 3 5
……10分

………

? ? ?? ? ? f (? ? ) ? 3 sin 2? ? 3 sin ?(2? ? ) ? ? 6 3 3? ?

? ? ? ?? ? ? 3 ?sin(2? ? ) cos ? cos(2? ? )sin ? 3 3 3 3? ?
? 3 1 4 3 ? 12 ? 3 3 ? 3? ? ? ? ? ? 5 2 5 2 ? ? ? 10 . ? ?
……14分 17.解: (1)? cos ?ABC ? ………

12 , ?ABC ? ? 0, ? ? , 13
2

5 ? 12 ? ? sin ?ABC ? 1 ? ? ? ? , ……………2 分 ? 13 ? 13 ??? ? ??? ? 12 ? BA ? BC ? 12 ? BA ? BC cos ?ABC ? BA ? BC , 13

? BA ? BC ? 13,
? S?ABC ? 1 1 5 5 BA ? BC sin ?ABC ? ? 13 ? ? . 2 2 13 2

……………4 分 ……………7 分

(2)以E为原点,AC所在直线为 x 轴,建立如图所示平面直角坐标系,

则A(-2,0),C(2,0),设D ? x, y ? ,由 BE ? 2 ED ,可得 B(?2 x, ?2 y) , 则 BA ? BC ? 12 ? (2x ? 2,2 y) ? (2x ? 2,2 y) ? 4x2 ? 4 ? 4 y 2 ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

? x2 ? y 2 ? 4,
…11分
2 2 ∴ DA ? DC ? ? ?2 ? x, ? y ? ? ? 2 ? x, ? y ? ? x ? y ? 4 ? 0 .

…………

??? ? ????

…………

…14分 18. 解: (1) 以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴, 建立如图所示平面直角坐标系, 则 A? 0,0? , 设 F ? 2, 2a ? ( 0 ? 2a ? 4 ) ,则 AF 的中点为 ?1, a ? ,斜率为 a , 而 EG ? AF ,故 EG 的斜率为 ? 则 EG 的方程为 y ? a ? ? 令 x ? 0 ,得 yG ? a ?

1 , a

1 ? x ? 1? , a
……………2 分 ……………4 分

1 ; a

令 y ? 0 ,得 xE ? 1 ? a2 ;

?2 ? 3 ? a ? 2 ? 3 ?0 ? yG ? 4 ? ? 由 ?0 ? xE ? 2 BF ,得 ?0 ? a ? 1 , ?0<BF <4 ?0 ? a ? 2 ? ?

?2 ? 3 ? a ? 1,
即 入 口 F 的 选 址 需 满 足 BF 的 长 度 范 围 是 [4 ? 2 3, 2] ( 单 位 : km). ……………6 分

(2)因为 S1 ? 2S?AEG ? AE ? AG ? ? a ?

? ?

1? 1 2 3 ? ?1 ? a ? ? a ? 2a ? , a? a



























S2 S ABCD ? S1 S ABCD 8 ? ? ? 1 ? ? 1, S1 S1 S1 S1
所以要使

……………9 分

S2 最大,只需 S1 最小. S1



1 S1 ? f ? a ? ? a 3 ? 2a ? , a ? [2 ? 3,1], a
分 则
2 2 1 3a 4 ? 2a 2 ? 1 ? 3a ? 1?? a ? 1? f ? ? a ? ? 3a ? 2 ? 2 ? ? ? a a2 a2 2

……………10

?

3a ? 1

??


3a ? 1 ? a 2 ? 1? a2

?



令 (舍) ,

f ? ? a? ? 0





a?

3 3

a??

3 3

……………12 分

a, f ? ? a ? , f ? a ? 的情况如下表:

a
f ? ? a? f ?a?

2? 3

? 3? 2 ? 3, ? ? ? 3 ? ? ?

3 3
0 极

? 3 ? ? ? 3 ,1? ? ? ?

1

?


?




故当 a ? 大. ……16 分

2 3 3 km 时,该商业区的环境舒适度指数最 ,即入口 F 满足 BF ? 3 3

19.解: (1)? f ? x ? ? ?ax ? ln x ,? f ? ? x ? ? 设 切 点 横 坐

1 ?a, x
标 为

x0





?1 ? ? a ? 3, ? x0 ??ax ? ln x ? 3x ? 1, 0 0 ?

………………2 分
0





a





l x0 ? n

,0



x0 ? 1





a ? ?2.
(2) f ? ? x ? ?

………………4 分

1 1 1 ? a,1 ? x ? e 2 , 2 ? ? 1, x e x 1 1, e 2 ? 1, e 2 ? ①当 a ? 2 时, f ? ? x ? ? 0 在 ? 上恒成立, f ? x ? 在 ? ? ? ? ? 上单调递增, e 1 1 f max ? x ? ? f ? e 2 ? ? 2 ? ae 2 ? 1 ? ae a? 2 ? 2 则 , 得 , e ?e e
………………5 分
2 2 ②当 a ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 在 ? ?1, e ? ? 上恒成立, f ? x ? 在 ? ?1, e ? ? 上单调递减,



去;

则 去; ③当

fmax ? x ? ? f ?1? ? ?a ? 1 ? ae
………………6 分





a?

1 ?1 e ?1

,



? ? 1 1 1 ? f ?? x? ? 0 ? f ?? x? ? 0 2 ? a ? 1 时,由 ? ,得 1 ? x ? ;由 ? ,得 ? x ? e , 2 2 2 e a a ? ? ?1 ? x ? e ?1 ? x ? e

故 f ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增,在 ? , e ? 上单调递减, a a
2

? 1? ? ?

?1 ?

? ?



?1? f max ? x ? ? f ? ? ? ?1 ? ln a ? 1 ? ae ?a?
e, ?l na ? ………………8 分 0





a ?2

设 g ? a ? ? ae ? 2 ? ln a, a ? ?

1 ?1 ? ?1 ? ,1? ,则 g ? ? a ? ? e ? , a ? ? 2 ,1? 2 a ?e ? ?e ?

当 a ??

1 ? 1 1? , ? 时, g ? ? a ? ? e ? ? 0 , g ? a ? 单调递减, 2 a ?e e?

当 a ? ? ,1? 时 g ? ? a ? ? e ?

?1 ? ?e ?

1 ? 0 , g ? a ? 单调递增, a 1 . e


故 g min ? a ? ? g ? ? ? 0 ,? ae ? 2 ? ln a ? 0 的解为 a ? 综 上

?1? ?e?

①②③ …………………10 分

1 a? . e
2 2 (3)方程 ln 2 x ? x ? 3t ? x ? x ? t ? ln ? x ? t ? 可化为

?

?

ln ? 2 x 2 ? x ? 3t ? ?


1 1 2 x 2 ? x ? 3t ? ? ln ? x ? t ? ? ? x ? t ? , ? 2 2 1 h ? x ? ? ln x ? x , 故 原 方 程 2
…………………12分







h ? 2 x 2 ? x ? 3t ? ? h ? x ? t ? ,

? 2 x 2 ? x ? 3t ? x ? t 由 (2) 可知 h ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增, 故? 有且仅有唯一实数根, ?x ? t ? 0
即 方 程 x ? x ?t ? 0 ( ※ ) 在
2

?t, ???

上 有 且 仅 有 唯 一 实 数

根,

…………………13分

①当 ? ? 4t ? 1 ? 0 ,即 t ? ? ②当 ? ? 0 , 即t ? ?

1 1 1 时,方程(※)的实数根为 x ? ? ? ,满足题意; 4 2 4

1 时, 方程 (※) 有两个不等实数根, 记为 x1 , x2 , 不妨设 x1 ? t , x2 ? t , 4

2 Ⅰ)若 x1 ? t , x2 ? t , 代入方程(※)得 t ? 2t ? 0 ,得 t ? 0 或 t ? 2 ,

当 t ? 0 时方程(※)的两根为 0,1 ,符合题意; 当 t ? 2 时方程(※)的两根为 2, ?1 ,不合题意,舍去; Ⅱ)若 x1 ? t , x2 ? t , 设 ? ? x ? ? x2 ? x ? t ,则 ? ? t ? ? 0 ,得 0 ? t ? 2 ; 综 合 ①② , 实 数

t













0?t ?2



1 t?? . 4

…………………16 分

20.解: (1)? b2 n?1 ? 9b2 n?1 , b1 ? 1 ,??b2n?1? 是以 b1 ? 1 为首项 9 为公比的等比数列,

?b2n?1 ? b1 ? 9n?1 ? 32n?2 ,?b2015 ? 32014 ,
∵ 数 列

?bn ?

















∴ b2016 =b2015 =32014 .

…………………3 分

(2)由数列 ?cn ? 是“阶梯数列”得 c2n?1 ? c2n ,故 S2n?1 ? S2n?2 ? S2n ? S2n?1 , ∴ 列;

?Sn ?

中 存 在 连 续 三 项 ……………5 分

S2n?2 , S2n?1, S2n ? n ? 2? 成 等 差 数

(注:给出具体三项也可) 假设 ?Sn ? 中存在连续四项 Sk , Sk ?1 , Sk ?2 , Sk ?3 , 成等差数列,

则 Sk ?1 ? Sk ? Sk ?2 ? Sk ?1 ? Sk ?3 ? Sk ?2 ,即 ck ?1 ? ck ?2 ? ck ?3 , 当 k ? 2m ?1, m ? N * 时, c2m ? c2m?1 ? c2 m?2 ,① 当 k ? 2m, m ? N * 时, c2m?1 ? c2m?2 ? c2m?3 ,② 由数列 ?cn ? 是“阶梯数列”得 c2m ? c2 m?1 ? c2m?2 ? c2 m?3 ,③ ①② 与 ③ 都 矛 盾 , 故 假 设 不 成 立 , 即 ?Sn ? 中 不 存 在 连 续 四 项 成 等 差 数 列. …………………8 分 (3)∵ d2n?1 ? d2n?1 ? 2 , d1 ? 1 ,??d2n?1? 是以 d1 ? 1 为首项 2 为公差的等差数列,

?d2n?1 ? d1 ? ? n ?1? ? 2 ? 2n ?1 ,又数列 ?dn ? 是“阶梯数列”,故 d2n? 1 ?d 2 n ? 2n ? 1 ,
? 1 1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ?, d2k d2k ?2 d2k ?1d2k ?1 ? 2k ? 1?? 2k ? 1? 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 ?
……………

……10 分
* ①当 n ? 2k k ? N 时,

?

?

? 1 ? ? 1 ? ? 1 1 ? 1 1 Tn ? T2 k ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? d1d3 d 2 d 4 ? ? d3 d 5 d 4 d 6 ? ? d 2 k ?1d 2 k ?1 d 2 k d 2 k ? 2 ? ? 1 ? 1 1 ? 2? ? ?? ? ? d 2 k ?1d 2 k ?1 ? ? d1d3 d3 d5

1 ?1 1 1 1 1 1 ? 1 ?2 ? ? 2? ? ? ? ? ??? ? ? ? ,1? ? ? 1? 2 ?1 3 3 5 2k ? 1 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? 3 ?

,

??

1 ? 3 ? ? ?? , ?1? , Tn ? 2 ?



? t ? Tn ? ? t ?
?

?

1? ??0 Tn ?









??

1 ? t ? Tn Tn







,

??1 ? t ?

2 . …………………13 分 3

* ②当 n ? 2k ? 1 k ? N 时,

?

?

Tn ? T2 k ?1 ? T2 k ?

1 1 1? 1 1 ? ? T2 k ? ? T2 k ? ? ? ? d2k d2k ?2 d2 k ?1d2 k ?1 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 ?

? 1?

1 1 1 ?1 ? ? ? ? ,1? ,?? ? ? ?3, ?1? , Tn 4k ? 2 4 k ? 2 ? 3 ?



? t ? Tn ? ? t ?
?

?

1? ??0 Tn ?









??

1 ? t ? Tn Tn







,

1 ??1 ? t ? . 3
综 上 ①②,

…………………15 分 存 在 满 足 条 件 的 实 数 t …………………16 分 , 其 取 值 范 围 是

? 1? ?1, ? . ? ? 3?

? 2k ? n n 为正偶数, n ? 2k , k ? N ?, ? 2k ? 1 , ? n ?1 , ? ? 注: Tn ? ? 也可写成 Tn ? ? 2 2 ? 4k ? 2k ? 1 , n ? 2k ? 1, k ? N ?, ? n ? n ? 1 , n 为正奇数. ? ? ? ? 2k ? 1?? 2k ? 1? ? n ? n ? 2?


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