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浙江省台州市路桥区蓬街私立中学2016-2017学年高二下学期数学学案:三角函数图象性质微专题学生版 精品

三角函数的图象专题 高二数学组 【学习目标】 1.会“五点法”作图; 2.掌握图象变换; 3.会根据图象求解析式 y ? A sin(?x ? ? ) 【典型例题】 题型一、 “五点法”作图: 例 1.作出函数 y=2sin( 列
x ? ? 2 3

班级______姓名________组号

x ? ? )在上的图象: 2 3
表 : 作图:

x y

题型二、图象变换 例 2(1)将函数 y ? sin 2 x 的图象向 (2) 要得到 y ? sin( 2 x ? __个单位后得到 y ? sin( 2 x ?

? ) 的图象, 只需将函数 y ? sin 2 x 的图象向 3
__,再

? ) 的图象, 3
__个单位。

(3)将函数 y=sinx 的图象先 例 3. 已 知 函 数 f ( x) ? sin(? x ?

得到 y ? sin( 2 x ? ) 的图象。

?
4

? 3

)( x ? R,? ? 0) 的 最 小 正 周 期 为 ? , 为 了 得 到 函 数


g ( x) ? cos? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象(
A. 向左平移

? 个单位长度 8 ? 个单位长度 4

B. 向右平移

? 个单位长度 8 ? 个单位长度 4

C. 向左平移

D. 向右平移

题型三、根据函数图象求解析式

例 4、 (1)函数 y=Asin( ? x+ ? )的部分图象如图,若 A>0,

? >0,| ? |< ? ,求 y=f (x) 的解析式;

π π (2)(2013 四川理)函数 f(x)=2sin(ω x+φ )(ω >0,- <φ < )的 2 2 部分图象如图所示,则 ω ,φ 的值分别是( π A.2,- 3 π B.2,- 6 π C.4,- 6 ) π D.4, 3 -

1.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 析式是( )

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解 4

(A) y ? cos 2 x (C) y ? 1 ? sin( 2 x ?

(B) y ? 1 ? cos 2 x

?
4
x 3

)

(D) y ? 1 ? cos 2 x

2.为了得到函数 y ? 2sin( ? 有的点 ( A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移 )

?
6

), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2sin x, x ? R 的图像上所

?
? ?

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3
1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)

?
6

3.将函数 y ? sin x 的图象向左 平移 ? (0 ? ? ? 2? ) 个单位后,得到函数 y ? sin( x ? .. 图象,则 ? 等于( A. ) B.

?
6

)的

? 6

5? 6

C.

7? 6


D.

11? 4.已知 a 是实 6

数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是( ...

π 5.函数 f(x)=sin(ω x+φ )(其中|φ |< )的图象如图所示,为 2 了得到

g(x)=sin ω x 的图象,则只要将 f(x)的图象
π A.向右平移 个单位 6 π C.向左平移 个单位 6 π B.向右平移 个单位 12 π D.向左平移 个单位 12

(

)

6.已知函数 f ( x) ? sin ?x ,则如图所示的部分图象对应的 函数解析式可以是( ) A. y ? f (2 x ? ) C. y ? f (2 x ? 1)

y 1

1 2

B. y ? f ( D. y ? f (

x 1 ? ) 2 2 x ? 1) 2

o -1

1 1 2

x

π 7. 若函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< )在一个周期内的图 2 象如图 → → 所示,M,N 分别是这段图象的最高点与最低点,且OM·ON=0,则 A·ω 等于 ( )

A.

π 6

B.

7π 12

C.

7π 6

D.

7π 3

**8.(2013 江西文)如图,已知 l1⊥l2,圆心在 l1 上、半径为 1 m 的圆 O 在 t=0 时与 l2 相切于点 A,圆 O 沿 l1 以 1 m/s 的速度匀速向上移动, 圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x, 令 y=cos x, 则 y 与时间 t(0≤t≤1, 单位:s)的函数 y=f(t)的图像大致为( )

*9. 若 将 函 数 y ? tan( ?x ?

?
4

)(? ? 0) 的 图 像 向 右 平 移
)

? 个单位长度后,与函数 6

y ? tan( ?x ?
(A)

?
6

) 的图像重合,则 ? 的最小值为 (

1 6

(B)

1 4

(C)

1 3

(D)

1 2

10.不等式 1 ? 3 tan x ? 0 的解集是 *11.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象与直线 y=b(0<b<A)的三个相邻交 点的横坐标分别是 2,4,8,则 f(x)的单调递增区间是______________.

12.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 图象上一个最低点为 M (

?
2

)的周期为 ? ,且

2? , ?2) . 3

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
12

] ,求 f ( x) 的值域.

(Ⅲ)画出 x ? [0, ? ] 上的图象。

13.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( x ? R, A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ?

?
2

) 的图象如图所示,P 是图象

的最高点,Q 为图象与 x 轴的交点,O 为原点。 且 OQ ? 2 , OP ? (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 1 个单位后得到 函数 y ? g ( x) 的图象,当 x ? ?0,2? 时, 求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值. o

5 13 , PQ ? 。 2 2

y P Q x

三角函数的性质专题一

-------------周期性、奇偶性、对称性 青田中学 刘荣军 13587182218 【学习目标】 1. 会判断三角函数的周期性,会求周期; 2.会判断三角函数的奇偶性; 3.会求三角函数对称中心与对称轴; 4.会根据三角函数性质求参数值或范围; 【典型例题】 题型一、求周期 例 1. (1)函数 y ? sin( (2) 函数 y ?| sin(

1 ? x ? ) 的周期是 2 4



1 ? x ? ) | 的周期是 2 4

; ;

(3) 函数 y ? sin 2 x ? | sin 2 x | 的周期是

例 2. 函数 f(x)= sin ?x ? cos ?x 对任意的 x∈R 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立, 则|x2-x1| 的最小值为________. 题型二、判奇偶性 例 3、 (1)下列函数是奇函数是( A. y ? sin( 2 x ? ) C. y ? sin x ? cos x D. y ? sin x cos x

? ) 2

B. y ? x sin x

(2)(2013 浙江) 已知函数 f(x)=Acos(ω x+φ )(A>0,ω >0, φ ∈R),则“f(x)是奇函数” 是 π “φ = ”的( 2 ) B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件

题型三、求对称轴、对称中心 例 4、 (1)函数 y ? sin( 2 x ?

? ) 的对称轴是 3

;对称中心是



? π? (2) 将函数 y=cos?x- ?的图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向 3? ?
π 左平移 个单位,所得函数图象的一条对称轴是 6 π A.x= 4 π B.x= 6 C.x=π ( )

π D.x= 2

题型四、根据性质求参数值与参数范围 π 例 5. (1)(2013 山东理)将函数 y=sin(2x+φ )的图象沿 x 轴向左平移 个单位后,得到 8 一个偶函数的图象,则 φ 的一个可能取值为( A. 3π 4 B. π 4 C.0 π D.- 4 )

(2)如果函数 y ? 3 cos(2 x ? ? ) 的图象关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 ? 的最小值( ) ? 3 ?
C.

A.

? 6

B.

? 4

? 3
) D.

D.

? 2

(3)已知函数 y ? tan ? x 在 ( ? A. 0 ? ? ? 1

? ?

, ) 内是减函数,则( 2 2
C.

B. ?1 ? ? ? 0

??0

? ? ?1

1.(2013 北京) “φ =π ”是“曲线 y=sin(2x+φ )过坐标原点”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

).

2.(2013 湖北理)将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R) 的图象向左平移 m(m>0)个单位长度 后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( π A. 12 B. π 6 π C. 3 D. 5π 6 ) )

3.已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?
2

)( x ? R ) ,下面结论错误 的是( ..

A.函数 f ( x) 的最小正周期为 2? C.函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? 0 对称

B. 函数 f ( x) 在区间 ? 0, D.函数 f ( x) 是奇函数

? ?? 上是增函数 ? 2? ?

π ?π ? 4. 已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ ) (ω >0)的图象关于直线 x= 对称,且 f? ?=0,则 3 ?12? ω 的最小值为 A.2 B.4 ( ) C.6 D.8

5.已知 f(x)=sin x,x∈R,g(x)的图象与 f(x)的图象关于点 ? 足 f(x)≤g(x)的 x 的范围是 ( C.? ) D.?

?? ? ,0 ? 对称,则在区间上满 ?4 ?

?π 3π ? A.? , ? 4 ? ?4
6.若函数

B.?

?3π ,7π ? ? 4 ? ? 4

?π ,3π ? ? 2 ? ?2

?3π ,3π ? ? 2 ? ? 4


f ( x) ? sin(2 x ? ? )(? ? ?0, ? ?) 是偶函数,则 ? ?
2

7.(2013 江西理)函数 y=sin 2x+2 3sin x 的最小正周期 T 为________. 8.关于函数 f(x)=sin 2x-cos 2x 有下列命题: π ?π ? ①y=f(x)的周期为 π ;②x= 是 y=f(x)的一条对称轴;③? ,0?是 y=f(x)的一 8 4 ? ? π 个对称中心;④将 y=f(x)的图象向左平移 个单位,可得到 y= 2sin 2x 的图象,其 4 中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上). 9. 已知函数 f(x)=sin ω x·cos ω x+ 3cos ω x-
2

3 (ω >0),直线 x=x1,x=x2 是 y= 2 π 4

f(x)图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为 .
(1)求 f(x)的表达式; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后, 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原 8 来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,若关于 x 的方程 g(x)+k=0 在区 间上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围.

10 . 已 知 函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 是 R 上 的偶 函 数 , 其图 象 关于 点

M(

3? ? , 0) 对称,且在区间 [0, ] 上是单调函数,求 ?和? 的值。 4 2

**10.(2013 福建)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0,0<φ <π )的周期为 π ,图象的一个 π 对称中心为( , 0), 将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 4 再将所得到的图象向右平移 π 个单位长度后得到函数 g(x)的图象. 2

(1)求函数 f(x)与 g(x)的解析式; π π (2)是否存在 x0∈( , ),使得 f(x0),g(x0),f(x0)·g(x0)按照某种顺序成等差数列? 6 4 并说明理由;

三角函数的性质专题二 ------------单调性、值域、最值 青田中学 刘荣军 13587182218 【学习目标】 1.掌握三角函数的单调性,会求单调区间; 2.会求三角函数的值域与最值; 3.会运用三角函数的图象性质解决三角方程与三角不等式问题; 4.体验数形结合、转化与化归思想 题型一、求单调区间 例 1、 (1)函数 y ? cos( 2 x ? (2) 函数 y ? sin(

? ) 的单调递增区间是 4



? ? 2 x ) 的单调递增区间是 4



π? ? *例 2. (2013 安徽)已知函数 f(x)=4cos ω x·sin?ω x+ ?(ω >0)的最小正周期为 π . 4? ? (1)求 ω 的值;

? π? (2)讨论 f(x)在区间?0, ?上的单调性. 2? ?

题型二、求值域、最值 例 3.若函数 f ( x ) ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) +1

(1)求 f ( x) 的最小值以及取到最小值时 x 的值; (2)当 x ? 时,求 f ( x) 的值域;

例 4(1) 函数 y ? cos x ? sin x 的值域是
2

。 .

(2)若 x ? (0,

?

) ,则 2 tan x ? tan( ? x) 的最小值为 2 2
, 。

?

(3)函数 y ? sin x ? | sin x | 的值域为

(4)函数 y ? cos x ? sin x ? sin x cos x 的值域是 (5)函数 y ? ? cos x ? a cos x ?
2

a 1 ? 的最大值为 1,求 a 的值。 2 2

题型三、三角方程与不等式等综合问题 例 5.函数 f ( x) ? 3 sin x ? cos x, x ? R ,若实数 f ( x) ? 1 ,则 x 的取值范围是 .

π? ? 例 6.已知 f(x)=2sin?2x- ?-m 在 x∈上有两个不同的零点,则 m 的取值范围为 6? ?

.

例 7.若函数 f ( x ) ? 2 sin( (1)若方程 f (x)+b=0 在[

? , ? ]上有解,求 b 的取值范围; 2 ? (2)将 y=f (x)的图象向左平移 个单位后,再向下平移 1 个单位得到函数 y=g (x)的图 6
象, 1) 若 y=g ( ? x)的图象在(-2 ? ,0)上单调递增,求 ? 的取值范围 2) 若方程 g ( ? x)=2 在(0,2 ? )上至少存在三个根,求 ? 的取值范围

? ? 2 x ) +1 3

1.函数 y ? sin( ?2 x ? A. ?? C. ?

?
6

) 的单调递增区间是( C
B. ? D. ?

)

? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ?(k ? Z ) 3 ? 6 ?

5? ?? ? ? 2k? , ? 2k? ?(k ? Z ) 6 ?6 ?

5? ?? ? ? k? , ? k? ?(k ? Z ) . 6 ?3 ?

5? ?? ? ? k? , ? k? ?(k ? Z ) 6 ?6 ?

2.函数 f ( x) ? A. ? ?

6 cos x ? 2 sin x 取得最大值时, x 的可能取值是( C )
B. ?

?
2

C.

?

?
6

D. 2? .

3. 定义在 R 上的偶函数 f ( x) , 满足 f ( x ? 2) ? f ( x ) , 且 f ( x) 在 ? ?3, ?2? 上是减函数 , 又

? , ? 是锐角三角形的两个内角,则 ( A )
A. f (sin ? ) ? f (cos ? ) C. f (sin ? ) ? f (cos ? ) B. f (cos ? ) ? f (cos ? ) D. f (sin ? ) ? f (sin ? )

4.已知函数 f(x)=sin x+cos x,g(x)=sin x-cos x,有下列四个命题: π ①将 f(x)的图象向右平移 个单位可得到 g(x)的图象; 2 ②y=f(x)g(x)是偶函数;

? π π? ③f(x)与 g(x)均在区间?- , ?上单调递增; ? 4 4?
④y=

f x 的最小正周期为 2π . g x
C ) C.3 D.4

其中真命题的个数是 ( A.1 B.2

5.已知 sin x ? sin y ? A. ? , ? 12 3

2 2 2 ,则 ? sin y ? cos x 的取值范围是( A ) 3 3

? 1 7? ? ?

B.

? 7? ?? 1, 3 ? ? ?

C.

?1 ? ?12 ,1? ? ?

D. ? , ? 12 9 ;

? 1 7? ? ?

6.函数 f ( x) ? cos( 2 x ?

?

? ? ?? ) ? 3 在 ?? , ? 上的单调递减区间 4 ? 2 2?

7.已知函数 f ( x) ? sin x ? tan x .项数为 27 的等差数列 ?an ? 满足 a n ? ? ?

? ? ?? , ? ,且公差 ? 2 2?

d ? 0 .若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a27 ) ? 0 ,则当 k =___________时, f (ak ) ? 0
8.定义在区间 ? 0 ,

? ?

??

? 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P,过点 P 作 PP1 2?

⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_______▲_____。

9. (2012·北京)已知函数 f(x)= (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间.

x-cos x sin x

x

.

π? ? 2 10. (2013 天津)15.已知函数 f(x)=- 2sin ?2x+ ?+6sin xcos x-2cos x+1,x∈R. 4

?

?

(1)求 f(x)的最小正周期;

? π? (2)求 f(x)在区间?0, ?上的最大值和最小值. 2? ?

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