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一道“统计与概率”高考试题的微型分析——以2013年安徽理科试卷第21题为例


第3 3 卷第 2期

2 0 1 4年 2月  

数学教学研究 

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道“ 统计与概率” 高考试题的微型分析 
— —

以2 0 1 3 年 安徽理科 试卷第 2 1 题为例 
蒋会 兵  ,雷 思琪 
( 1 . 西北 师范大学 教育学院 ,甘肃 兰州 7 3 0 0 7 0;  

2 . 云南会泽县马路乡中学 ,云南 曲靖


6 5 5 0 0 0 )  

要: 试题 分析和研 究是教师教 学过程 中必不可 少的教 学活动. 本文以2 0 1 3年安 徽理 科试卷 第 

2 1 题 为例 , 从试题的背景 、 立意、 解法、 推广 、 导向五个方 面进行微 型分析 , 旨在为教 师在教 学过程 中  
提 供 一种 对 具 体 某 一道 试 题 进 行 “ 微型” 分析的视 角, 以提 高对 试 题 的 认 识 高 度 和 理 解 深度 , 从 而使  

教师在指 导学生数 学学 习过程 中能够做到 全面、 精 准、 高效.   关键词 : 高考试题 ; 统计与概 率; 微 型分析  中图分类号 : G 4 2 4 . 7 9  

.   高考试题是命 题组专家依据考纲、 紧密  学生人数为 X 结合教材、 科学设计 的具有稳定 结构 的典型  ( I ) 求该系学生 甲收到李老师或张老师  试题{ ¨ . 好的高考试题 不仅体现在对基本知  所发活动通知信息的概率 ;   ( Ⅱ) 求使 P ( X—m) 取得最 大值的整数 玑  识、 基本技能和基本思想方法等方面的考查 ,   而且更多的体现在对实际教学工作 的导向等  本试题考查的是高中统计与概率部分的  方面. 因此 , 笔 者认 为教 师在 教 学 和指 导学 生  内容 , 2 0 1 3 年安 徽理科试卷一共有 2 l 道试  复习之前必须深度剖析高考试卷 , 深人分析  题, 本题是最后一个题 , 分值为 1 3 分. 主要涉  每道试题所蕴含教育教学价值 , 提高学生分  及计数原理和概率方面 的基本知识 , 考查 了   析试题 、 解答试题 的能力. 本文 以 2 0 1 3 年安  分类讨论思想、 逻辑推理能力、 运算能力、 以   及运用数学知识分析和解决问题的能力L 2 ] .   徽理科 试 卷 第 2 1题 为 例 , 主要 从 试 题 的 背 
景、 立意、 解法 、 推广、 导 向 五个 方 面进行 微 型  1 试 题 背景分 析 

分析 , 旨在为教师在教学过程中提供一种对  具体试题进行“ 微 型” 分析 的视角 , 使教师在  指导学生进行高考试题分析 的过程 中能够做  到全面、 精准 、 高效.   试题 某高校数学系计划在周六和周 日   各举行一次主题不同 的心理测试活动, 分别  由李老师和张老师负责 , 已知该系共有  位  学生 , 每次活动均需该系 k 位学生参加 (  和  志都是固定 的正整数) , 假设李老师和张老师  分别将各 自活动通知的信息独立 、 随机地发 

高考试题在试卷中都是 以一定的情景状  态呈现 出来的, 这些情 景状态称为试题 的背  景. 将数 学 知 识 融 人 到 实 际 的背 景 中进 行 考  查, 有利于学生对数学知识 的理解 , 更能体现  出学以致用的教育理念. 将 学生身边熟悉 的   情景状态引入到试题 的设计 中, 不仅提高学  生对 试 题 的 理解 , 而 且 将 学 生所 学 的 知识 与  生活实际等联系到一起使学生理解数学的实  用性 , 消除数学是枯 燥、 乏味 的不 良影响 , 能  提高对数学学习的兴趣. 通过对高考试题背 

给该系 k 位学生 , 且所发信息都能收到, 记该  景的呈现方式的统计分析 , 可以将高考统计  系收到李老师或张老师所发活动通知信息的  与概率的试题背 景分 为: 生 活背景 、 教育背 
收稿 日期 : 2 0 1 3 - 1 2 - 2 0  

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数 学教学研究 

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景、 商业 背景 、 体育 背景 、 数 学背景 等 [ 3 ] .  

试题 的立 意对 提高 学生解 题 水 平 和培 养学 生  教 师 在 分析 试 卷  本 题是一 道 教 育 背 景 下 的 记 者 试 题 , 将  数 学 能 力有 着 重 要 的意 义 , 古典概型、 计数原理 , 分类讨论思想等基本知  的过程 中应 该 重 视 对 试 卷 中 试 题 立 意 的分    识和 基本 技 能融 人 其 中. 本 题 看 上 去是 一 个  析 .

简单熟悉的活动设计问题 , 但事件构成复杂 ,   如果没 有对试 题 所处 的情 景状 态 有清 晰 的理  解和分析 , 冒然解题 , 就会求错概率 , 错解该  问题. 在解答该题第 l 问时, 记事件 A: “ 学生  甲收到李老师所发信息” , 事件 B: “ 学生 甲收  到张老师所发信息” , 事件 A, B相互独立, 所  以A 与 B 相互独立. 由于 P( A) = P( B) 一 
 ̄ t - - k +1  


3 试 题解 法分 析  试题 的解法 是指 在解 题过 程 中所 使 用 的  方法 、 手段 、 技 巧等有 助 于解 决该 问题 的途  径. 分 析试 题 的解 法 主 要 是 对 于一 道 试题 从  不同的角度去分析和解答 , 寻求 多种不同的   解答 方法 , 进 而提高 解题 的速 度 和 准确率 . 在  试题 解 答 过 程 中 既 有一 般 的通 性 通 法 , 又有  巧妙 简洁 的简单 方 法. 因此 , 通 过对 试题 解 法  的分析, 从不 同的方法 中选择适合考生能力  范围 的方法进行解答 , 可 以在解题过程 中达  到事半功倍 的效果. 在分析解法的过程 中也  培 养 了学生 分 析 问题 和 解 决 问题 的能 力 , 同  时也 训 练 了学 生 思 维 的发 散 性 、 灵 活性 以及  对 数 学 问题 的探 究 意 识 , 从 而 促 进 学 生解 题  能力 的 提高 . 本 题 第 ]问求 学 生 甲收 到李 老  师或张老师所发 活动通知信息 的概率 , 可以   有两种途径 : 一种是正面求解 , 即分别求 出学   生甲收到李老师所发信息 的概率 , 学生 甲收  到张老师所发信息的概率和学生甲同时收到  李老师和张老师所发信息 的概率 , 最后求出   他们 的和概率 ; 另一种是反面求解 , 即记事件  A: “ 学生甲只收到李老师所发信息” , 记事件  B: “ 学生 甲只收 到 张 老 师所 发 信 息 ” , 求 出事  件 A, B 的概 率 , 在求 出事 件 A 与 B 的概 率 ,   最后 通 过  , 豆 的积 事 件 的对 立 事 件 概 率 求  出该 问题 的解. 第 1种方 法 是 学 生 容 易想 到 

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通 过对 试 题 背景 下 的 事件 构 

成 的分 析 , 使 学生 联 系 自身 的生 活实 际 , 对 所  涉及 的 问题 有 清 晰 的 理解 , 从 而 将 问题 轻 松  解决. 因此 , 教师在 教学 过 程 中应 该重 视 对试 

题所处的情景状态 的分析 , 从而培养学生在  实际问题情景中解决数学问题 的能力.   2 试 题立 意分 析  高考试题是 具有选 拔 和检测功 能 的测  试. 因此, 立意 自然就成为高考试题命制 的中   心. 高考数学试题主要是 以能力立意为取向,   将数学的基本知识、 基本技能和基本思想方  法 等融 人 到 适 宜 的试 题 背 景 中 , 然后设计 出   道完整的试题考查学生是否具备一定 的数  学 能 力. 本题 的设 计 对 考 生 来 说 具有 较 高 的  能力要求. 首先, 试题中较为复杂的事件构成  和分类讨论思想方法的设计考查 了考生的逻  的方法, 但是分 析起 来 比较 复杂 , 运 算量较  辑推理能力, 通过试题 中复杂 问题 的分析和  大. 第2 种方法巧妙且计算量小 、 思路清 晰.   解答从而检测出考生是否具有清晰的逻辑推  但不容易想到. 通过这样 的分析 , 可 以使学生  理能力. 其次 , 本题 中没有给 出具体 的数 据,   尝试用不 同的方法进行求解 , 也可以鼓励学  而是字母运 算. 在计算 、 化 简过程 中计算 量  生思考、 探究 , 尝试使 用其他 的解答方法, 培  大, 这就要求考 生具有 较强 的运算 能力. 最  养学 生 的解 题 能力 .   后, 本题重点考查 的是考生运用数学知识分  4 试题 推广 分 析  析和解决 问题的能力. 该题在统计 与概率 的   道高质量的高考试题的价值不仅在于  基础知识 、 基本思想方法和基本能力 的交汇  试题本 身所呈现 的特征 , 更重要的是将试题 
一 一

处命题 . 要求考生具备较强的综合能力. 分析  进行引申、 变式 、 推广和拓展所带来价值 , 即  

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将试题 的背 景条 件或者 是 问题 改 变 以后试 题  题 的重要 特点 ; 在能 力立 意方 面 , 试题 综 合考 

所 呈现 的重 要价 值 . 分 析 试 题 的推 广有 利 于  查 了考 生 各 方 面 的 能力 , 体 现 出 了重 视 学生  教 师在 教 学过 程 中丰 富 试题 的类 型 , 也 利 于  能 力全 面 发 展 的新 课 程 理 念. 在 解 法 方 面试  学 生理 解 和强 化 基 本 知识 和基 本 技 能 , 即在  题摒 弃 以往 给 出具 体 数 据 求 其分 布 列 、 期 望 

不同的条件下解决同一类 型的问题 , 达到真  正的举一反三, 以不变应万变的解题策略.   本题第 2 问可以将条件中的字母改为具  体的数据 , 然后将问题 ( Ⅱ) 改为求 x分布列  与期望 E( x) . 这样可 以使学生通过训练、 熟  悉求 解 这 一类 型 问题 的方 法 和 技 巧 , 也 使 得  解题 过程 中 的运 算要 求进 一 步 降 低 , 更 能适  应不 同能 力考 生 , 这 一 类 问题 也是 高 考 统计   与概率试题 中的典型题型. 本题还 可以改变 

的 出题 习惯 , 而是 给 出字母 , 这 样 就使 得试 题  有 了独 特 的 解 法 , 并 且将 分类 讨 论 思 想 与运 

算能力 同时考查. 在试题 的推广方面无论是  条件和问题都可以进行拓展和延伸. 因此 , 教  师在试卷的分析和命制的过程中都应该充分  考虑 到 试题 的导 向性 功 能 , 通 过 研 制好 的试  题为教 学服 务 , 达 到 以题促 教 的教学 目的[ 5 ] .  
6 结束语 

试题分析和研究是教师教学过程 中必不 


可少 的教学活动 , 教师教学过程 中可以选择  些背景新颖 、 立 意鲜 明、 解法多样、 推广灵  活、 导向明显的试题进行分析. 通过分析试题  的背景 , 启示在教学中将易 出的试题背景作  为重 要 的教 学 材 料 , 适 时 将 相 关 的知 识 融 人  其中, 让 学 生 进行 练 习 ; 通过试题立意分析,   可有 针对 性 的培 养 学 生 各 方 面 的能 力 , 促 进  学生能力的发展. 分析试题 的解法 , 为学生提  供多种解题方式 , 培养学生 的思维能力和解  的推广 , 通过对试题 的进一步变式和延伸 , 深  题 能力 ; 通 过试 题 的变 式 、 推广, 培 养 学 生 的  度挖掘试 题 的各 种价 值 和功 能.   问题 意识 和创 新 意 识 , 加 强 学 生对 问题 本 质  5 试题 导 向分析  的理解 . 分 析试题 的导 向功 能 , 把握 试 题 的考  试题的价值不在于其考查的内容有多么   查意图和命题趋势 , 使教学有明晰的方向感.   参考文献  重要 , 而在于它在高考试卷中所起到的示范  1 ] 梅磊. 例谈研究高考数学试题的几种视角E J ] .   作用和导 向功能. 高考试题在高考 中必须体  [ 高 中数学教与学 , 2 0 1 3 , ( 1 O ) : 6 1 — 6 3 .   现高中新课程的各种理念 , 关注教学 、 关注学  E 2 3 天利 全国考命题研 究 中心. 2 0 1 3 全 国各省市 高   生 能力 的发 展. 通 过 试题 的命 制 来 体 现 出高  考试卷真 题 汇编数 学( 理 科) E M] . 拉 萨: 西藏  考的特点和动向, 使试题不仅仅是“ 高考指挥  人 民 出版 社 , 2 01 3 .   棒” , 更 重 要 是 通 过 试 题 的 呈 现 来 为 教 学 服  E 3 3 张定强 , 蒋会 兵. 高考 试卷 中“ 统 计与 概 率” 部  务, 为学生 的发展 服务 , 从 而 最大 限度 的发 挥  分的分析 与思考—— 以 2 0 1 2年理科试 卷为例  试题在高考中的积极作用.   [ J ] . 数 学通报 , 2 0 1 3 , ( 1 1 ) : 5 1 — 5 4 .   通过对试题 背景、 立意 、 解 法、 推广 的分  E 4 3 史嘉, 王茂松. 试题 赏析, 赏析什么[ J ] . 高中数  学教 与学, 2 o l 3 , ( 1 1 ) : 5 6 — 5 9 。   析, 可以感悟到试题的导向作用, 试题在背景  E 5 3 蔡明. 小题 亦精彩一 一 记浙江高考理科 第1 5   的选取方面以实际生活中熟悉 的情景状态为  题[ J ] . 数 学教 学研 究, 2 0 1 3 , 3 2 ( 2 ) : 4 1 — 4 3 .   背景, 将数学知识与生活实 际紧密联系在一  起, 充分体现 出统计与概率是来源于实际问  

试题背景将其它知识同统计与概率融合在一  起进行考查 , 达到会一题通一类 的效果. 试题  的推广在教学 中起着 重要 的作用, 很多试题  看上去是平淡无奇, 但 当改变某一条件和问  题时 常 常 会 出现 意想 不 到 结 论. 这 样 有 利 于  丰 富学 生 的题 库 , 更 能 培 养 学 生 的创 新 意识  和探究 能力 , 使 学 生从“ 变” 的现 象 中发 现“ 不  变” 的本质, 从“ 不变” 的本质中探究“ 变” 的规  律[ 4 ] . 因此 , 教师 在教 学过 程 中应 该 重视 试题 


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