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河南省洛阳市2013届高三“一练”考试数学试题(word版) 理数

河南洛阳市 2012—2013 学年度高三年级统一考试

数学(理)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,考试时间 120 分钟。共 150 分。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的。 1.设复数 z ? ?1 ? i(i 为虚数单位) 的共轭复数为 z, 则| ? z) ? z | = ,z (1 A. 10 2. 已知集合 A ? {x | 集合 C 的个数为 A.1 B.2 C. 2 D.1

x?2 ? 0, x ? N }, B ? {x | x ? 2, x ? Z }, 则满足条件 A ? C ? B 的 x
B.2 C.4 D.3

3.如果函数 y ? 3sin(2 x ? ? ) 的图象关于直线 x ?

?
6

对称,则 ? 的最小值为

? 5 ? C. 3
A.

? 4 ? D. 2
B.

4.执行右面的程序框的,任意输入 一次x(0 ? x ? 1)与y(0 ? y ? 1) , 则能输出的对(x,y)的概率为

1 4 2 C. 3
A. 5.若函数 f ( x) ? A.1

1 3 3 D. 4
B.

2? ? k ? 2?? (k 为常数)在定义域内为奇函数,则 k 的值为 2? ? k ? 2??
B.—1 C. ?1 D.0

6.在△ABC 中,D 为 BC 边的中点, AD ? ? AB ? ? AC, 则?? 的最大值为 A.1 B.

??? ?

??? ?

??? ?
1 3

1 2

C.

D.

1 4

7.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为

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A. 64 ? 32? C. 256 ? 64?

B. 64 ? 64? D. 256 ? 128?

8.已知 F 是抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,过点 F1 的直线与抛物 线交于 A,B 两点,且|AF|=3|BF|,则线段 AB 的中点到该抛物线 准线的距离为

5 3 10 C. 3
A. 9.函数 f ( x) ? 2sin (
2

B.

8 3

D.10

?
4

? x) ? 3 cos 2 x(
B.3

?
4

?x?

?
2

) 的最大值为
D. 2 ? 3

A.2

C. 2 ? 3

10.已知三棱锥 S—ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SA⊥平面 ABC, SA ? 2 3, AB=1, AC=2, ∠BAC=60°,则球 O 的表面积为 A. 4? B. 12?

C. 16?

D. 64?

11.已知 x1 , x2是函数f ( x) ? e? x ? | ln x | 的两个零点,则 A.

1 ? x1 x2 ? 1 e

B. 1 ? x1 x2 ? e

C. 1 ? x1 x2 ? 10

D.e ? x1 x2 ? 10

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点,过 F1 引圆 x2 ? y 2 ? 9 的切线 F1P 交 12.设 F1,F2 分别为双曲线 9 16
双曲线的右支于点 P,T 为切点,M 为线段 F1P 的中点,O 为坐标原点,则|MO|—|MT| 等于 A.4 B.3 C.2 D.1

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题;本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

? x ? y ? 3, ? 13.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 则2x ? 3 y 的最小值为 ?2 x ? y ? 3 ?
14.曲线 y ?



4 在点(0, 2) 处的切线方程为 e ?1
x



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15. (2 x ?

1
3

x

)n 的展开式中各项系数之和为 729,则该展开式中 x 2 的系数为



16. 在△ABC 中, A, C 的对边分别为 a, c,2b cos B ? a cos C ? cos A, 且b2 ? 3ac , 角 B, b, 则角 A 的大小为 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an }满足a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n (n ? N * ). (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? n ? an , 求数列 bn }的前n项和Sn . { 18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,平面 PAB⊥平面 ABCD,AD//BC,∠ABC=90°,PA=PB=3, BC=1,AB=2,AD=3,O 是 AB 的中点。 (1)证明:CD⊥平面 POC; (2)求二面角 C—PD—O 的余弦值的大小。

19. (本小题满分 12 分) 随着建设资源节约型、 环境友好型社会的宣传与实践, 低碳绿色的出行方式越来越 受到追捧, 全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮, 据不完全统计, 已有北京、 株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建设成公共自行车租赁系统,某市公共自行车实 行 60 分钟内免费租用,60 分钟以上至 120 分钟(含) ,收取 1 元租车服务费,120 分 钟以上至 180 分钟(含) ,收取 2 元租车服务费,超过 180 分钟以上的时间,按每小时 3 元计费(不足一小时的按一小时计) ,租车费用实行分段合计。现有甲,乙两人相互 独立到租车点租车上班(各租一车一次) ,设甲,乙不超过 1 小时还车的概率分别为

1 1 1 1 , ,1 小时以上且不超过 2 小时还车的概率分别为 , , 2 小时以上且不超过 3 小时还 2 4 4 3 1 1 车的概率分别为 , ,两人租车时间均不会超过 4 小时。 8 3
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率。 (2)设甲一周内有四天(每天租车一次)均租车上班,X 表示一周内租车费用不超过 2 元的次数,求 X 的分布列与数学期望。

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20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中 xOy 中,O 为坐标原点,A(-2,0) ,B(2,0) ,点 P 为动点,且 直线 AP 与直线 BP 的斜率之积为 ? . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 D(1,0)的直线 l 交轨迹 C 于不同的两点 M,N,△MON 的面积是否存在最 大值?若存在,求出△MON 的面积的最大值及相应的直线方程;若不存在,请说明理 由。

3 4

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? ln( ax ? )(a ? 0).
2

1 2

1 2

(1)当 a=2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若对任意的 a ? (1, 2),当x0 ?[1, 2]时, 都有f ( x0 ) ? m(1 ? a2 ), 求实数 m 的取值范 围。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答 时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 PE 切⊙O 于点 E,割线 PBA 交⊙O 于 A,B 两点,∠APE 的平分线和 AE,BE 分别交于点 C,D。 求证: (1)CE=DE; (2)

CA PE ? . CE PB

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23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 经过点 P(-1,0) ,其倾斜角为α ,以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴,与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,建立极坐标系。设曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 6? cos? ? 5 ? 0. (1)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求α 的取值范围; (2)设 M(x,y)为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围。

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ?a. (1)当 a ? 1 , 求函数f ( x) 的最小值; 时 (2)若 f ( x) ?

4 ? 1 对任意的实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围。 a

附加题(满分 20 分,不计入总分) 25.有小于 1 的 n(n ? 2)个正数x1 , x2 , x3 ,?, xn , 且x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 1. 求证:

1 1 1 1 ? ? ??? ? 4. 3 3 3 3 x1 ? x1 x2 ? x2 x3 ? x3 xn ? xn

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