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上海高二下直线方程、圆锥曲线知识点


一、 直线方程 1、直线方程的几种形式

直线方程 点方向式 点法向式 点斜式 一般式

方向向量 d

?

法向量 n

?

x ? x0 y ? y0 ? u v

(u , v)
(?b, a) (1, k ) (?b, a)

(v, ?u )
( a, b)
(k , ?1)

a( x - x0 ) + b( y - y0 ) = 0
y ? y0 ? k ( x ? x0 )
ax ? by ? c ? 0

( a, b)

2、 、三种距离公式
(1)点 A(x1,y1)、B(x2,y2)间的距离:|AB|= ( x2 - x1 )2 + ( y2 - y1 )2 |Ax0+By0+C| A2+B2 (3)两平行直线 l1: Ax+By+C1=0 与 l2: Ax+By+C2=0 (C1≠C2)间的距离为 d = (2)点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离:d= |C2-C1| A2+B2

3、两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系:
a. l1 与 l 2 相交 ? 方程组(Ⅰ)有唯一解 ? D ? 0 即 a1b2 ? a2 b1 ; b. l1 与 l 2 平行 ? 方程组(Ⅰ)无解 ? D ? 0 且 Dx , Dy 中至少有一个不为零; c. l1 与 l 2 重合 ? 方程组(Ⅰ)有无穷多解 ? D ? Dx ? Dy ? 0 。 注: D ?
a1 a2 b1 b2 ? 0 时, l1 与 l 2 平行或重合,即 D ? a1 a2 b1 b2 ? 0 是 l1 与 l 2 平

行的必要非充分条件。 换 言 之 , a2 b1 ? a1b2

l1 ∥ l 2 ; 若 两 条 直 线 不 重 合 , 则

a1b2 ? a2 b1 ? l1 // l 2

4、两条直线间的夹角
(1)tan ? ?

k 2 ? k1 (k1 k 2 ? ?1) 1 ? k1 k 2
a1a2 ? b1b2 a 21 ? b 21 ? a 2 2 ? b 2 2

(2) cos ? ?

二、圆锥曲线 1、圆
标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 .
2 2 一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

2、椭圆
定义 平面内到两个定点 F1 , F2 的距离之和等于定长 2a( ? F 1F 2 )的点的轨迹

标 准 方 程

x2 y 2 椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ; a b
焦点坐标

y 2 x2 椭圆 C2 : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ; a b

F1 ? ?c,0? , F2 ? c,0? A1 ? ?a,0? , A2 ? a,0? ; B1 ? 0, ?b? , B2 ? 0, b? ;

F1 ? 0, ?c ? , F2 ? 0, c ? A1 ? 0, ?a ? , A2 ? 0, a ? ; B1 ? ?b,0? , B2 ? b,0? ; x ≤b , y ≤a ;

顶点 几何 性质

范围 对称性

x ≤a , y ≤b ;

关于 x, y 轴均对称,关于原点中心对称;

a, b, c 的关系

c ? a 2 ? b2

3、双曲线
定义:平面内到两个定点 F1 , F2 的距离之差等于定长 2a( ? F 1F 2 )的点的轨迹
标准方程
x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) y2 a2 ? x2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0)

图形

焦点 顶点 对称轴

F1(-c,0) ,F2(c,0) A1(a,0) ,A2(-a,0) 实轴 2a,虚轴 2b,实轴在 x 轴上, c2=a2+b2

F1(0,-c) ,F2(0,c) A1(0,a) ,A2(0,-a) 实轴 2a,虚轴 2b,实轴在 y 轴上, c2=a2+b2

渐近线方程

x y x y ? ? 0, ? ? 0 a b a b

x y x y ? ? 0, ? ? 0 b a b a

名 称


y







线

y

图 象

O

x
O

x

平面内到两定点 F1 , F2 的距离的和为 常数(大于 F1F2 )的动点的轨迹叫椭 定 义 圆。即 MF 1 ? MF2 ? 2a 当 2 a ﹥2 c 时,轨迹是椭圆, 当 2 a =2 c 时, 轨迹是一条线段 F1 F2 当 2 a ﹤2 c 时,轨迹不存在

平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差的 绝对值为常数(小于 F1F2 )的动点的 轨迹叫双曲线。即 MF1 ? MF 2 ? 2a 当 2 a ﹤2 c 时,轨迹是双曲线 当 2 a =2 c 时,轨迹是两条射线 当 2 a ﹥2 c 时,轨迹不存在

焦点在 x 轴上时:

x2 y2 ? ?1 a2 b2 y2 x2 ? ?1 a2 b2

焦点在 x 轴上时:

x2 y2 ? ?1 a2 b2 y2 x2 ? ?1 a2 b2

标 准 方 程

焦点在 y 轴上时:

焦点在 y 轴上时:

注:是根据分母的大小来判断焦点在 哪一坐标轴上 常 数

注:是根据项的正负来判断焦点所 在的位置

2 2 2 a2 ? c2 ? b2 (符合勾股定理的结构) c ? a ? b (符合勾股定理的结构)

a, b, c
的 关 系

a ?b ? 0,

c?a?0

a 最大, c ? b, c ? b, c ? b

c 最大,可以 a ? b, a ? b, a ? b

4、抛物线
定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
y
y

y
l

y O F

x

图形

O

F

x

F

O

x

F O l

x

l

l

方程

y 2 ? 2 px( p ? 0)
p ( ,0 ) 2 p x?? 2

y 2 ? ?2 px( p ? 0) x 2 ? 2 py( p ? 0)
p ,0) 2 p x? 2 p (0, ) 2 p y?? 2

x 2 ? ?2 py( p ? 0)
p (0,? ) 2 p y? 2

焦点 准线

(?


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