上海高二下直线方程、圆锥曲线知识点

一、 直线方程 1、直线方程的几种形式

直线方程 点方向式 点法向式 点斜式 一般式

方向向量 d

?

法向量 n

?

x ? x0 y ? y0 ? u v

(u , v)
(?b, a) (1, k ) (?b, a)

(v, ?u )
( a, b)
(k , ?1)

a( x - x0 ) + b( y - y0 ) = 0
y ? y0 ? k ( x ? x0 )
ax ? by ? c ? 0

( a, b)

2、 、三种距离公式
(1)点 A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离：|AB|＝ ( x2 - x1 )2 + ( y2 - y1 )2 |Ax0＋By0＋C| A2＋B2 (3)两平行直线 l1： Ax＋By＋C1＝0 与 l2： Ax＋By＋C2＝0 (C1≠C2)间的距离为 d ＝ (2)点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离：d＝ |C2－C1| A2＋B2

3、两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系：
a. l1 与 l 2 相交 ? 方程组(Ⅰ)有唯一解 ? D ? 0 即 a1b2 ? a2 b1 ； b. l1 与 l 2 平行 ? 方程组(Ⅰ)无解 ? D ? 0 且 Dx , Dy 中至少有一个不为零； c. l1 与 l 2 重合 ? 方程组(Ⅰ)有无穷多解 ? D ? Dx ? Dy ? 0 。 注： D ?
a1 a2 b1 b2 ? 0 时， l1 与 l 2 平行或重合，即 D ? a1 a2 b1 b2 ? 0 是 l1 与 l 2 平

行的必要非充分条件。 换 言 之 ， a2 b1 ? a1b2

l1 ∥ l 2 ; 若 两 条 直 线 不 重 合 ， 则

a1b2 ? a2 b1 ? l1 // l 2

4、两条直线间的夹角
（1）tan ? ?

k 2 ? k1 (k1 k 2 ? ?1) 1 ? k1 k 2
a1a2 ? b1b2 a 21 ? b 21 ? a 2 2 ? b 2 2

（2） cos ? ?

二、圆锥曲线 1、圆
标准方程： ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ．
2 2 一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

2、椭圆
定义 平面内到两个定点 F1 , F2 的距离之和等于定长 2a（ ? F 1F 2 ）的点的轨迹

标 准 方 程

x2 y 2 椭圆 C1 ： 2 ? 2 ? 1 （ a ? b ? 0 ） ； a b
焦点坐标

y 2 x2 椭圆 C2 ： 2 ? 2 ? 1 （ a ? b ? 0 ） ； a b

F1 ? ?c,0? ， F2 ? c,0? A1 ? ?a,0? ， A2 ? a,0? ； B1 ? 0, ?b? ， B2 ? 0, b? ；

F1 ? 0, ?c ? ， F2 ? 0, c ? A1 ? 0, ?a ? ， A2 ? 0, a ? ； B1 ? ?b,0? ， B2 ? b,0? ； x ≤b ， y ≤a ；

顶点 几何 性质

范围 对称性

x ≤a ， y ≤b ；

关于 x, y 轴均对称，关于原点中心对称；

a, b, c 的关系

c ? a 2 ? b2

3、双曲线
定义：平面内到两个定点 F1 , F2 的距离之差等于定长 2a（ ? F 1F 2 ）的点的轨迹
标准方程
x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) y2 a2 ? x2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0)

图形

焦点 顶点 对称轴

F1（-c，0） ，F2（c，0） A1（a，0） ，A2（-a，0） 实轴 2a，虚轴 2b，实轴在 x 轴上， c2=a2+b2

F1（0，-c） ，F2（0，c） A1（0，a） ，A2（0，-a） 实轴 2a，虚轴 2b，实轴在 y 轴上， c2=a2+b2

渐近线方程

x y x y ? ? 0, ? ? 0 a b a b

x y x y ? ? 0, ? ? 0 b a b a

名 称

椭
y

圆

双

曲

线

y

图 象

O

x
O

x

平面内到两定点 F1 , F2 的距离的和为 常数（大于 F1F2 ）的动点的轨迹叫椭 定 义 圆。即 MF 1 ? MF2 ? 2a 当 2 a ﹥2 c 时，轨迹是椭圆， 当 2 a =2 c 时， 轨迹是一条线段 F1 F2 当 2 a ﹤2 c 时，轨迹不存在

平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差的 绝对值为常数（小于 F1F2 ）的动点的 轨迹叫双曲线。即 MF1 ? MF 2 ? 2a 当 2 a ﹤2 c 时，轨迹是双曲线 当 2 a =2 c 时，轨迹是两条射线 当 2 a ﹥2 c 时，轨迹不存在

焦点在 x 轴上时：

x2 y2 ? ?1 a2 b2 y2 x2 ? ?1 a2 b2

焦点在 x 轴上时：

x2 y2 ? ?1 a2 b2 y2 x2 ? ?1 a2 b2

标 准 方 程

焦点在 y 轴上时：

焦点在 y 轴上时：

注：是根据分母的大小来判断焦点在 哪一坐标轴上 常 数

注：是根据项的正负来判断焦点所 在的位置

2 2 2 a2 ? c2 ? b2 （符合勾股定理的结构） c ? a ? b （符合勾股定理的结构）

a, b, c
的 关 系

a ?b ? 0，

c?a?0

a 最大， c ? b, c ? b, c ? b

c 最大，可以 a ? b, a ? b, a ? b

4、抛物线
定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
y
y

y
l

y O F

x

图形

O

F

x

F

O

x

F O l

x

l

l

方程

y 2 ? 2 px( p ? 0)
p ( ,0 ) 2 p x?? 2

y 2 ? ?2 px( p ? 0) x 2 ? 2 py( p ? 0)
p ,0) 2 p x? 2 p (0, ) 2 p y?? 2

x 2 ? ?2 py( p ? 0)
p (0,? ) 2 p y? 2

焦点 准线

(?