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高中数学综合学习与测试(二)北师大版选修1-1


综合学习与测试( 综合学习与测试(二)
一.填空题(每小题 5 分,共 60 分) 填空题 1. f(x)=x , f '( x0 ) =6,则x0= A. 2
2 3

(

) C. ±

B. - 2

2

D. ±1
?y = ( ?x

2. 若函数 f(x)=2x +1, 图象上 P(1,3)及邻近上点 Q(1+Δx,3+Δy), 则 A. 4 B .4Δx C .4+2Δx D. ) 2Δx



3、 f '( x0 ) =0是可导函数y=f(x)在点x=x0处有极值的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 4.椭圆 25 + A.4
x2 y2 = 1 上有一点 9

B.必要不充分条件 D.非充分非必要条件 P 到左准线的距离是 5,则点 P 到右焦点的距离是( D.7 ) )

B.5

C.6

5.命题“方程 x2-1=0 的解是 x=±1”中使用逻辑联结词的情况是( A.没有使用逻辑联结词; C.使用了逻辑联结词“或”; B.使用了逻辑联结词“且”; D.使用了逻辑联结词“非”.

6.下列说法正确的是( ) A.x≥3 是 x>5 的充分而不必要条件 B.x≠±1 是|x|≠1 的充要条件 C.若 ,则 p 是 q 的充分条件 D.一个四边形是矩形的充分条件是:它是平行四边形 7. 下列命题为特称命题的是( ) A 偶函数的图象关于 y 轴对称 B 正四棱柱都是平行六面体 C 不相交的两条直线是平行直线 D 存在实数大于等于 3
2 8.已知抛物线 C1: y = x2 + 2 x 和 C2: y = ? x + a ,如果直线 l 同时是 C1 和 C2 的切线,

称 l 是 C1 和 C2 的 公 切 线 , 若 C1 和 C2 有 且 仅 有 一 条 公 切 线 , 则 a 的 值 为
用心 爱心 专心

( A.1

) B.-1 C.
1 2

D. ?

1 2

9.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图 1 所示,则导函数 y=f ′(x)可 能为( )
y y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

10. 已知 h>0, 设命题 p: 两个实数 a , b 满足| a ? b|<2h, 命题 q: 两个实数满足| a ? 1|<h A C D B 1|<h 图 且 |b ? , 那 么 p 是 1 q 的 ( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 条件 11. 下列命题是真命题的是 ( ) A.到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆 B.到定直线 x = a 和定点 F(c,0)的距离之比为 c 的点的轨迹是椭圆
c
a
2

C.到定点 F(-c,0)和定直线 x = ? a 的距离之比为 c (a>c>0)的点的轨迹 是左半
c a

2

个椭圆 D.到定直线 x = a 和定点 F(c,0)的距离之比为 a (a>c>0)的点的轨迹是椭
c

2

c

圆 12. F1 、 F2 为椭圆的两个焦点,Q 为椭圆上任一点,从任一焦点向 ?F1QF2 的顶点 Q 的 外 角 平 分 线 引 垂 线 , 垂 足 为 P, 则 P 点 轨 迹 是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D .抛物线 填空题(每小题 5 分,共 30 分) 二.填空题 13 . 写 出 命 题 “ 至 少 有 一 个 实 数 x , 使 x 3 + 1 = 0 ” 的 否 定 。 14 . 离 心 率 e =
1 , 一 个 焦 点 是 2
2

F (0,?3) 的 椭 圆 标 准 方 程 为

___________ . 2 15.与椭圆 4 x + 9 y _______________. 16.已知椭圆

= 36 有相同的焦点,且过点(-3,2)的椭圆方程为

x2 y 2 + = 1 , M 为椭圆上的一点, F1 , F2 为椭圆的左右两个焦点,且满 6 2 足 | MF1 | ? | MF2 |= 2 3 ,则 cos ∠F1 MF2 的值为 .
用心 爱心 专心

17、 曲线 y =

12 在点 (3, 处的切线方程是_________________________________. 4) x

18、若曲线 y = 2 x 2 ? 4 x + p 与直线 y = 1 相切,则 p =____________________. 三.解答题(共 5 小题,满分 70 分) 解答题 19. 关于 x 的实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个异号实根的充要条件 是什么?为什么?

20. (14 分)已知双曲线与椭圆

x2 y 2 + = 1 有相同的焦点,且与椭圆相交,其四个交 6 3

点恰好是一个正方形的四个顶点,求此双曲线的方程.

用心

爱心

专心

21. (14 分)已知命题 p: | 1 ? a |< 2 ,命题 q:集合 A= {x | x
3

2

+ (a + 2) x + 1 = 0} ,B= {x | x > 0}

且 A I B = φ ,求实数 a 的取值范围,使命题 p,q 中至少有一个为真命题.

22. (14 分)已知: f ( x) = x 2 + px + q ,求证:
1 (1) f (1) + f (3) ? 2 f (2) = 2 ; (2) f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于 . 2

用心

爱心

专心

23 . 16 分 ) 已 知 x = 1 是 函 数 f ( x) = mx3 ? 3(m + 1) x 2 + nx + 1 的 一 个 极 值 点 , 其 中 ( m, n ∈ R , m < 0 , (I) m 与 n 的关系式; II) f ( x) 的单调区间; 求 ( 求 (III) x ∈ [ ?1,1] 时, 当 函数 y = 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围.
f ( x)

参考答案 一.选择题: 1.C 2.C 3.B 二.填空题: 13 . ?x ∈ R , 4.C 5.C 6.B 7.D 8.D 9.D 10.B 11.D 12.A
1 3

x3 +1 ≠ 0

; 14 . y 2

x2 + =1 36 27

,

15 . x 2

y2 + =1 15 10

; 16 .



17. 4 x + 3 y ? 24 = 0 ; 18.3. 三.解答题 19.解:关于 x 的实系数的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个异号实根的充

用心

爱心

专心

要条件是 ac<0.证明:(1)充分性:∵ac<0,∴-4ac>0,∴Δ=b2-4ac>0, ∴设 x1,x2 为原方程的两个不等实根,又
由韦达定理得:x 1 x 2 = a ac = < 0,从而x 1 ,x 2 异号.即:ac< 0是关于 c a2

x 的实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个异号实根的充分条件.(2)必要 性;设 x1,x2 是关于 x 的实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两 个异号实根,则x 1 x 2 = c < 0,∴ac< 0.即:ac< 0是关于x的实系数一 a

元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个异号实根的必要条件.综合(1)(2)可得原结 论成立 20.椭圆的焦点为( 3,0 )和(- 3,0 ) 由椭圆及双曲线的对称性可知, 四个交点分别关于 x 轴和 y 轴对称, 又是正方形的 四个顶点,故可设其中一个交点为(m,m) 代入椭圆方程,可得 m=± 2 ,于是其中一个交点为( 2 , 2 )
?a + b = 3 x2 y2 ? 设双曲线方程为 2 ? 2 = 1 ,有 ? 2 ? 2 = 1 ,解得 a 2 = 1 , b 2 = 2 a b 2 ? 2
2 2

?a

b

可求得双曲线方程为 x 2 ?
3

y2 =1 2

21. | 1 ? a |< 2 ? ?5 < a < 7 ,则命题 p: ?5 < a < 7 由 A I B = φ 得: A ? {x | x ≤ 0} ,则:
?? = (a + 2) 2 ? 4 ≥ 0 ? = (a + 2) 2 ? 4 < 0 或 ? ,解得: a > ?4 ,即 ??(a + 2) ≤ 0

q: a > ?4

若 p 真 q 假,则 ?5 < a ≤ 4 ;若 p 假 q 真,则 a ≥ 7 ;若若 p 真 q 真,则 ?4 < a < 7 综上所述,实数 a 的取值范围为 (?5, +∞) 22. (1)证明:∵ f ( x) = x 2 + px + q ∴ f (1) = 1 + p + q
f ( 2) = 4 + 2 p + q
f (3) = 9 + 3 p + q

所以, f (1) + f (3) ? 2 f (2) = (1 + p + q ) + (9 + 3 p + q) ? 2(4 + 2 p + q) =2

用心

爱心

专心

1 (2)假设 f (1) , f (2) , f (3) 都小于 2 ,则 f (1) < , f (2) < , f (3) < ,

1 2

1 2

1 2

即有 ? 2 < ∴

1

f (1) <

1 2

?

1 1 < f ( 2) < 2 2

?

1 1 < f (3) < 2 2

? 2 < f (1) + f (3) ? 2 f ( 2) < 2

由(1)可知 f (1) + f (3) ? 2 f (2) = 2 ,与 ? 2 < f (1) + f (3) ? 2 f ( 2) < 2 矛盾, ∴假设不成立,即原命题成立。 23. f ′( x) = 3mx 2 ? 6(m + 1) x + n , (I) 因为 x = 1 是函数 f ( x) 的一个极值点,所以 f ′(1) = 0 , 即 3m ? 6( m + 1) + n = 0 ,所以 n = 3m + 6 (II)由(I)知, f ′( x) = 3mx 2 ? 6(m + 1) x + 3m + 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ?1 + m ? ?
? ??
2 当 m < 0 时,有 1 > 1 + m ,当 x 变化时, f ( x ) 与 f ′( x ) 的变化如下表:

?

? ?

2 ??

x
f ′( x )

2? ? ? ?∞,1 + ? m? ?

1+

2 m

2 ? ? ? 1 + ,1? m ? ?

1

(1, +∞ )

<0 >0 <0 0 0 f ( x ) 调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 故由上表知,当 m < 0 时,
f ( x ) 在 ? ?∞,1 + m ? 单调递减,在 (1 + ? ?
2 ? ?

2 ,1) 单调递增,在 (1, +∞ ) 上单调递减. m

(III)由已知得 f ′( x) > 3m ,即 mx 2 ? 2(m + 1) x + 2 > 0 又 m < 0 所以 x 2 ? m (m + 1) x + m < 0 即 x 2 ? (m + 1) x + 设 g ( x) = x 2 ? 2(1 + ) x +
? 所以 ? g (1) < 0 ? ? ? ? g ( ?1) < 0
2 2

2 m

2 < 0, x ∈ [ ?1,1] ① m

1 m

2 ,其函数开口向上,由题意知①式恒成立, m

2 2 ? 1+ 2 + + < 0 4 4 m m 解之得 ? < m 又 m < 0 所以 ? 3 < m < 0 3 ??1 < 0 ?

即 m 的取值范围为 ? ? , 0 ? 3

? 4 ?

? ?

用心

爱心

专心


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