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四川省成都石室天府中学2014届高三零诊模拟数学试题Word版含答案_图文

高 2015 届数学零诊模拟试题(2)

一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

1.若集合 M = {y | y = 2- x} , P = {y | y = x - 1},则 M P =

(A){y | y ? 1}

(B){y | y ? 1} (C){y | y ? 0}

(D){y | y ? 0}

2.已知向量 a ? ?1, m ? 2? , b ? ?m,?1?,且 a // b ,则 b 等于

(A) 2

(B)2

(C) 20 3

3.不等式 2 ? 1 的解集为 x ?1

? ? (A) x x ? 3 ? (B) x 1 ? x ? 3 ?

(D) 25 3
? (C) x x ? 3 ?

? (D) x x ? 3或x ? 1?

4.下列命题正确的是 (A)若两个平面分别经过两条平行直线,则这两个平面平行
(B)若平面? ? ? , ? ? ? ,则平面? ? ?
(C)平行四边形的平面投影可能是正方形
(D)若一条直线上的两个点到平面? 的距离相等,则这条直线平行于平面?

5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是
(A) 3 (B)11 (C) 38 (D)123

6.将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动 ? 个 10
单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐

标不变),所得图像的函数解析式是

( A ) y ? sin(2x ? ? ) ( B ) y ? sin(2x ? ? ) ( C )

10

5

y ? sin(1 x ? ? ) (D) y ? sin(1 x ? ? )

2 10

2 20

?2x ? y ? 4

7.设

x,y

满足

? ?

x

?

y

?

?1 , 则z

?

x

?

y

??x ? 2 y ? 2

(A)有最小值 2,最大值 3

(B)有最小值 2,无最大值

(C)有最大值 3,无最小值

(D)既无最小值,也无最大值

8. 双 曲 线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0,b ? 0)

的两个焦点为

F1, F2

,若

P

为其上一点,且

PF1 ? 2 PF2 ,则双曲线离心率的取值范围是

(A) (1,3)

(B)[3, ??)

(C) (3, ??)

(D) (1,3]

9.对于函数 y ? f (x) ,部分 x 与 y 的对应关系如下表:

x1

2

3

4

5

6

78

9

y7

4

5

8

1

3

52

6

数列{xn } 满足 x1 ? 2 ,且对任意 n ? N* ,点 (xn , xn?1 ) 都在函数 y ? f (x) 的图象上,

则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ? ? x2012 ? x2013 的值为

(A)9394

(B)9380

(C)9396

(D)9400

10.函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且满足 f (x ? 2) ? f (x) .当 x ?[0,1] 时,f (x) ? 2x .

若在区间[?2,3] 上方程 ax ? 2a ? f (x) ? 0 恰有四个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围



(A) ( 2 , 2) 53

(B) ( 2 , 4 ) 35

(C) ( 2 ,2) 3

(D) (1,2)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25

分)

11.抛物线 y ? 4x2 的准线方程是

.

12.已知函数 f (x) ? sin??x ? ? ?(? >0, 0 ? ? ? ? )的
2
图象如右图所示,则

?=

.

13.如右图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出 了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为____.

14.





{an }





a1 ? 1,

1 an 2

?1

?

1 an?1

, 记Sn

?

a

2 1

?

a

2 2

?

? an 2 , 若

S2n?1

?

Sn

?

t 30

对任意 n ? N* 恒成立,则正整数 t 的最小值



.

15.方程 x x ? y y ? ?1 的曲线即为函数 y ? f (x) 的图像,对于函数 y ? f (x) ,有如下结 16 9
论:① f (x) 在 R 上单调递减;②函数 F (x) ? 4 f (x) ? 3x 不存在零点;③函数 y ? f (x) 的
值域是 R;④若函数 g(x) 和 f (x) 的图像关于原点对称,则函数 y ? g(x) 的图像就是方程

y y ? x x ? 1确定的曲线. 16 9

其中所有正确的命题序号是

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.( 12 分)已知 △ABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,且 cos A ? 2 5 ,
5

cos B ? 3 10 . 10
(Ⅰ)求 cos?A ? B?的值;
(Ⅱ)设 a ? 10 ,求 △ABC 的面积.

17.( 12 分 ) 设数列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 Sn ? 2n ?1 . 数 列 {bn} 满 足 b1 ? 2 ,

bn?1 ? 2bn ? 8an .

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)证明:数列

{

bn 2n

}

为等差数列,并求{bn

}

的通项公式;

18.( 12 分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树的棵数;乙组有一个数据模 糊,用 X 表示. (Ⅰ)若 x ? 8 ,求乙组同学植树的棵数的平均数; (Ⅱ)若 x ? 9 ,分别从甲、乙两组中各随机录取一名学生,求这两名学生植树总棵数为 19 的概率; (Ⅲ)甲组中有两名同学约定一同去植树,且在车站彼此等候 10 分钟,超过 10 分钟,则各 自到植树地点再会面.一个同学在 7 点到 8 点之间到达车站,另一个同学在 7 点半与 8 点之 间到达车站,求他们在车站会面的概率.
甲组
99 0
11 1

乙组 X8 9 0

19.(12 分)梯形 ACPD 中,AD CP, PD ? AD,CB ? AD ,?DAC ? ? ,PC = AC ? 2 , 4

如图①;现将其沿 BC 折成如图②的几何体,使得 AD ? 6 .

(Ⅰ)求直线 BP 与平面 PAC 所成角的正弦值; (Ⅱ)求二面角 C ? PA ? B 的余弦值.
B D
A

D P

B

P

C

图①

A C
图②

20.(13

分)已知椭圆 C

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2

,

离心率为

2 .以原点为圆心,椭圆的短轴长为直径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. 2 (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ) 若斜率为 k(k ? 0) 的直线 l 与 x 轴、椭圆 C 顺次相交于点 A, M , N ( A 点在椭圆右顶

点的右侧),且 ?NF2 F1 ? ?MF2 A .求证:直线 l 过定点(2,0).

21.(14 分)已知函数 f ( x) ? x(ln x ? 1) .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小值;

(Ⅱ)设 F ( x) = ax2 ? f ?(x)(a ? R) ,讨论函数 F ( x) 的单调性;

(Ⅲ)如果在公共定义域 D 上的函数 f (x) , f1(x), f2 (x) 满足 f1(x) ? f (x) ? f2 (x) ,那么

就称

f

(x)



f1(x)、f2(x) 的“可控函数”.已知函数

f1 ( x)

?

x ln

x ? a2

ln

x?

1 2

x2

? (2a ?1)x



f2 (x) ? x3 ? x ? a ,若在区间 (1,??) 上,函数 f (x) 是 f1(x)、f2 (x) 的“可控函数”,求

实数 a 的取范围.

1-10 C A B C B C B D A A

11. y ? ? 1 16

12. ? 13. 2 3 3

参考答案 14.25 15.①②③

16.解:(Ⅰ)∵ A, B,C 为 ?ABC 的内角,且, cos A ? 2 5 , cos B ? 3 10

5

10

∴ sin A ?

1 ? cos2 A ?

1 ? ???? ? 2 55 ????2 ?

5 5

sin B ?

1 ? cos2 B ?

1

?

????

3 10 10

?2 ???

?

10 10

………………………………………4 分

∴ cos?A ? B? ? 2 5 ? 3 10 ? 5 ? 10 ? 2
5 10 5 10 2

………………………………6 分

(Ⅱ)由(I)知, A ? B ? 45?

∴ C ? 135?

………………………………………7 分

∵ a ? 10 ,由正弦定理 a ? b 得 sin A sin B

10

b ? a ? sin B ? 10 ? 10 ? 5

sin A

5

……………………………………11 分

5



S ?ABC

?

1 2

ab sin C

?

1 2

?

10 ?

5?

2 ?5 22

……………………………………12 分

17.解:(Ⅰ)当 n ? 1 时 a1 ? S1 ? 21 ?1 ? 1;

当 n ? 2 时 an ? Sn ? Sn?1 ? (2n ?1) ? (2n?1 ?1) ? 2n?1 ,

因为 a1 ? 1适合通项公式 an ? 2n?1 .

所以 an ? 2n?1 (n ? N * ) .

…………6 分

(Ⅱ)因为 bn?1 ? 2bn ? 8an ,

所以 bn?1 ? 2bn ? 2n?2 ,

即 bn?1 2n?1

?

bn 2n

?

2.

所以

{

bn 2n

}

是首项为

b1 21

=1,公差为

2

的等差数列.

所以

bn 2n

? 1? 2(n ?1)

?

2n ?1,

所以 bn ? (2n ?1) ? 2n .

……………………12 分

18.(1) 35 ……4 分 4

(2) 1 ……8 分 4

(3) 39 ……12 分 64
19.解:(Ⅰ)由题意, PC=AC=2,? AB ? BC= 2, BD=2 , AD= 6 .在 ?ABD 中,∵ AB2 ? DB2 ? AD2 ,∴ BD ? BA , ∴ BD、BA、BC 两两垂直,分别以 BC、BA、BD 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间
直角坐标系 B ? xyz (如图). A(0, 2,0), B(0,0,0), C( 2,0,0), P( 2,0, 2).
设平面 PAC 的法向量为 n ? (x, y, z) , CA ? (? 2, 2,0) , CP ? (0,0, 2) ,

??n ? ??n

CA CP

? ?

0 0

?

?x ? ?

? z

y ?

? 0

0

,取

n

?

(1,1, 0)

设直线 BP 与平面 PAC 成的角为? ,

则 sin? ? BP n ? 2 ? 6

2分

BP n 2 ? 6 6

2分
z D
P

直线 BP 与平面 PAC 成角的正弦值为 6 6
AP ? ( 2, ? 2, 2), BC ? ( 2,0,0).

B

A C

x

y

(Ⅱ)设平面 PAB 的法向量为 m ? (x, y, z) , 1 分

AB ? (0, ? 2,0), AP ? ( 2, ? 2, 2).

???? AB ? m ? 0,????? 2 y ? 0,

?

?? ?

y

?

0,

?? AP ? m ? 0. ?? 2x ? 2 y ? 2z ? 0. ??x ? ? 2z.

令 z ? ?1,?m ? ( 2,0, ?1). 由(Ⅰ)知平面 PAC 的法向量为令 n ? (1,1,0)2. 分

?cos ? m, n ?? m ? n ? 2 ? 3 m n 3? 2 3
由图知二面角 C ? PA ? B 为锐角, ∴二面角 C ? PA ? B 大小的余弦值为 3 .
3

2分 1分

20.解:(I)由题意知 e ? c ? a

2 2



所以 e2

?

c2 a2

?

a2 ? b2 a2

?

1 .即 a2 2

? 2b2 .

又因为 b ? 2 ? 1,所以 a2 ? 2 , b2 ? 1. 1?1

故椭圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 . 2

--------------------------6 分

(II)由题意,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0) , M ( x1, y1), N ( x2 , y2 ).

? ? ? ? ?y ? kx ?

? ?

x

2

?

2y2

m, 得 ?2

2k

2

?1

x2

?

4kmx

?

2m2 ? 2

? 0.

? ?? ? 由 ? ? 16k 2m2 ? 4 2k 2 ? 1 2m2 ? 2 ? 0, 得 m2 ? 2k 2 ? 1.

则有

x1

?

x2

?

? 4km , 2k 2 ? 1

x1 x2

?

2m2 2k 2

?2 ?1

.

----------------8 分

因为 ?NF2 F1 ? ?MF2 A , 且 ?MF2 A ? 90? ,

? ? 所以 kMF2 ? kNF2 ? 0, 又F2 1,0

--------------------9 分

y1 ? y2 ? 0 ,即 kx1 ? m ? kx2 ? m ? 0 .

x1 ? 1 x2 ? 1

x1 ? 1 x2 ? 1

化简得: 2kx1x2 ? ?m ? k ??x1 ? x2 ? ? 2m ? 0.

将 x1

?

x2

?

? 4km , 2k 2 ? 1

x1 x2

?

2m2 2k 2

?2 ?1

代入上式得 m ? ?2k (满足△ ? 0 ).

直线 l 的方程为 y ? kx ? 2k ,即直线过定点(2,0).------------13 分

21.解:(1)

f

`( x)

? 1nx

?

2( x

?

0), 令f

`( x)

?

0, 得x

?

1 e2

当x

?

(0,

1 e2

)时,f

`? ( x)

?

0;当x

?

1 (e2

,

??)时,f

`? ( x)

?

0

?当x

?

1 e2

时,f

( x)min

?

1 e2

(1n

1 e2

? 1)

?

?

1 e2

…………… 4 分

(2) F (x) ? ax2 ? 1nx ? 2(x ? 0), F ?(x) ? 2ax ? 1 ? 2ax2 ? 1 (x?0)

x

x

①当 a ? 0 时,恒有 F?(x) ? 0 ,F(x)在 (0,??) 上是增函数;

②当 a ? 0 时,

………2 分 ……5 分

令F ?(x) ? 0,得2ax2 ? 1 ? 0, 解得0 ? x ? ? 1 ; 2a
令F ?(x) ? 0,得2ax2 ? 1 ? 0, 解得x ? ? 1 ; 2a
综上,当 a ? 0 时,F(x)在 (0,??) 上是增函数;

………………8 分

当 a ? 0 时,F(x)在 (0,

? 1 ) 上单调递增,在 ( 2a

? 1 ,??) 上单调递减 ……9 分 2a

(3)在区间 (1,??) 上,函数 f (x)是f 1(x)、f 2(x)的“可控函数”,

则 f 1(x) ? f (x) ? f 2(x)

令 p(x) ? f 1(x) ? f (x) ? ? 1 x2 ? 2ax ? a21nx ? 0对x ? (1, ??)恒成立 2

又因为p?(x) ? ?x ? 2a ? a2 ? ?x2 ? 2ax ? a2 ?0,

x

x

…………11 分

p(x)在(1,? ?)上是减函数,? p(x) ? p(1) ? ? 1 ? 2a ? 0,?a ? 1

2

4

再由 f 2(x) ? f (x) ? x3 ? x ? a ? x ln x ? x ? 0对x ? (1, ??)恒成立

于是 a ? x ln x ? x3对x ? (1, ??)恒成立

令 h(x) ? x ln x ? x3 ,则 a ? h(x)max , x ? (1, ??) 对 h(x) 求导,得 h?(x) ? ln x ?1? 3x2

又?h?(x)?? ? 1 ? 6x ? 0 在 (1, ??) 上恒成立
x

………………………12 分

所以 h?(x) 在 (1, ??) 上为减函数,则 h?(x) ? h?(1) ? ?2 ? 0

因此, h(x) 在 (1, ??) 上为减函数,所以 h(x)max ? h(1) ? ?1,即 a ? ?1 综 上 可 知 , 函 数 f (x)是f 1(x)、f 2(x)的“可控函数”,实 数 a 的 取 值 范 围 是

?(

?1,

1 4

? ??

.……14