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福建省连城县第二中学2017届高三上学期期中考试理数试题Word版含答案.doc


数学(理)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.集合 A ? ??1,0,1 ? , B ? ? y | y ? cos x, x ? A? ,则 A ? B ? ( A. ?0? B. ?1? C. ?0,1? ) D. ??1,0,1?

2.如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过 3 分钟 漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量, H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则 H 与下落时间 t (分)的函数关系表示的图象只可能是( )

3.已知等差数列 ?an ? 中,a3 ? a7 ? a10 ? 8 ,a11 ? a4 ? 4 , 记 Sn ? a1 ? a2 ? … ? an , 则 S13 ? ( ) B.152 C.156 D.168 )

A.78

x2 y 2 ? ? 1 ,则当 m ???2, ?1? 时,该曲线的离心率 e 的取值范围是( 4.已知二次曲线 4 m
A. ?

? 2 3? , ? ? 2 2 ?

B. ?

? 2 6? , ? ? 2 2 ?

C. ?

? 5 6? , ? ? 2 2 ?

D. ?

? 3 6? , ? ? 2 2 ?

5.二次式 (2 x ?
4

1 n ) 的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为( 3x3
B.12 C.14
2 0



A.7 6.若 a ?

D.5 )

?

2

0

x2 dx , b ? ? x3dx , c ? ? sin xdx , a 、 b 、 c 大小关系是(
0

2

A. a ? c ? b

B. a ? b ? c

C. c ? b ? a

D. c ? a ? b

7.已知 a , b 均为非零向量,条件 p : a ? b ? 0 ,条件 q : a 与 b 的夹角为锐角,则 p 是 q 成立的( ) B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要

?

?

? ?

?

?

A.充要条件 条件

8.从数字 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于 40 的概率为 ( A. )

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

9.在空间中,有如下命题: ①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线; ②若平面 ? / / 平面 ? ,则平面 ? 内任意一条直线 m / / 平面 ? ; ③若平面 ? 与平面 ? 的交线为 m ,平面 ? 内的直线 n ? 直线 m ,则直线 n ? 平面 ? ; ④若平面 ? 内的三点 A , B , C 到平面 ? 的距离相等,则 ? / / ? . 其中正确命题的个数为( A.0 )个 B.1
2

C .2

D.3

10.设动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? 2sin (

?
4

? x) 和 g ( x) ? 3 cos 2x 的图象分别交于 M 、

N 两点,则 | MN | 的最大值为(
A. 2 B. 3

) C .2 D.3 )

11.已知函数 y ? loga (ax2 ? x) 在区间 ? 2, 4? 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( A. ( ,1) ? (1, ??)

1 2

B. (1, ??)

C. ( ,1)

1 4

D. (0, )

1 8

12.若二次函数 y ? f ( x) 的图象过原点,且它的导数 y ? f '( x) 的图象是经过第一、二、三 象限的一条直线,则 y ? f ( x) 的图象顶点在( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 4 分,满分 16 分,将答案填在答题纸上) 13.有一个几何体的三视图及其尺寸如下 (单位:cm ) , 则该几何体的表面积为 .

14.不等式 | x ? 是

1 |?| a ? 5 | ?1 对于一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围 x


? x ? 0, ? 15.设 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y , 若目标函数为 z ? 3x ? 2 y ,则 z 的最大值 ? 2 x ? y ? 1, ?
为 .

16.对于函数① f ( x) ? lg(| x ? 2 | ?1) ;② f ( x) ? ( x ? 2)2 ;③ f ( x) ? cos( x ? 2) .判断如 下三个命题的真假:命题甲: f ( x ? 2) 是偶函数;命题乙: f ( x) 在区间 (??, 2) 上是减函 数,在区间 (2, ??) 上是增函数;命题丙: f ( x ? 2) ? f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数,能使 命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.在 ?ABC 中角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,设向量 m ? (a,cos B) w,

??

?? ? ?? ? ? n ? (b,cos A) ,且 m / / n , m ? n .
(1)求 sin A ? sin B 的取值范围; (2)若 abx ? a ? b ,试确定实数 x 的取值范围. 18.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? t , an?1 ? 2Sn ? 1 ( n ? N * ) . (1) t 为何值时,数列 ?an ? 是等比数列? (2)在(1)的条件下,若等差数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 有最大值,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 ,

a2 ? b2 , a3 ? b3 等比数列,求 Tn .

19.如图, 已知 ?BCD 中,?BCD ? 90? ,BC ? CD ? 1 ,AB ? 平面 BCD ,?ADB ? 60? ,

E 、 F 分别是 AC 、 AD 上的动点,且

AE AF ? ? ? ( 0 ? ? ? 1) . AC AD

(1)判断 EF 与平面 ABC 的位置关系并证明; (2)若 ? ?

1 ,求三棱锥 A ? BEF 的体积. 2

20.某班从 6 名干部中(其中男生 4 人,女生 2 人)选 3 人参加学校的义务劳动. (1)设所选 3 人中女生人数为 ? ,求 ? 的分布列及 E? ; (2)求男生甲或女生乙被选中的概率; (3)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中概率. 21.已知两点 M 和 N 分别在直线 y ? mx 和 y ? ? mx ( m ? 0 )上运动,且 | MN |? 2 ,动 点 P 满足: 2OP ? OM ? ON ( O 为坐标原点) ,点 P 的轨迹记为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程,并讨论曲线 C 的类型; (2)过点 (0,1) 作直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A 、 B ,若对于任意 m ? 1 ,都有 ?AOB 为锐角,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 22.设函数 f ( x ) ? x ?

??? ?

???? ? ????

ln(1 ? x) . 1? x
2

(1)令 N ( x) ? (1 ? x) ?1 ? ln(1 ? x) ,判断并证明 N ( x ) 在 (?1, ??) 上的单调性,并求

N (0) ;
(2)求函数 f ( x) 在定义域上的最小值; (3)是否存在实数 m , n 满足 0 ? m ? n ,使得 f ( x) 在区间 ?m, n? 上的值域也为 ?m, n? .

福建省连城县第二中学高三上学期期中考数学(理)答案 一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. 24? cm
2

1 B

2 A

3 C

4 C

5 A

6 D

7 C

8 B

9 B

10 D

11 B

12 C

14. 4 ? a ? 6

15.5

16.②

三、解答题 17.解:因为 m ? (a,cos B) , n ? (b,cos A) ,且 m / / n , 所以 a cos A ? b cos B ,

??

?

??

?

因为 0 ? A ?

?
2

,∴

?
4

? A?

?
4

?

3? ? ,∴ 2 ? 2 sin( A ? ) ? 2 , 4 4

因此 sin A ? sin B 的取值范围是 (1, 2] .

a?b , ab a ? b sin A ? sin B sin A ? cos A ? ? 由正弦定理,得 x ? , ab sin A sin B sin A cos A
(2)若 abx ? a ? b ,则 x ? 设 sin A ? cos A ? t ? (1, 2] ,则 t ? 1 ? 2sin A cos A ,
2

所以 sin A cos A ?

t 2 ?1 , 2

即x?

t 2t 2 2 ? 2 ? ? ?2 2, 1 t ?1 t ?1 t ? 1 2? t 2 2
2

所以实数 x 的取值范围为 [2 2, ??) . 18.解: (1)∵ an?1 ? 2Sn ? 1 , ∴当 n ? 2 时, an ? 2Sn?1 ? 1 , 两式相减得 an?1 ? an ? 2an ,即 an?1 ? 3an , ∴当 n ? 2 时,数列 ?an ? 是等比数列, 要使数列 ?an ? 是等比数列, 当且仅当

2t ? 1 a2 ? 3 ,从而 t ? 1 . ? 3 ,即 t a1

(2)设数列 ?bn ? 的公差为 d , 由 T3 ? 15 ,得 b2 ? 5 , 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d , 又 a1 ? 1 , a2 ? 3 , a3 ? 9 , 由题意知 (5 ? d ? 1)(5 ? d ? 9) ? 8 ,
2

解得 d1 ? 2 , d 2 ? ?10 , 又等差数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 有最大值, ∴ d ? ?10 , 从而 Tn ? 20n ? 5n2 . 19.(1) EF ? 平面 ABC . 证明:因为 AB ? 平面 BCD ,所以 AB ? CD , 又在 ?BCD 中, ?BCD ? 90? ,所以 BC ? CD ,又 AB ? BC ? B , 所以 CD ? 平面 ABC , 又在 ?ACD 中, E 、 F 分别是 AC 、 AD 上的动点,且

AE AF ? ? ? ( 0 ? ? ? 1) , AC AD

所以 EF / / CD , 因为 CD ? 平面 ABC ,所以 EF ? 平面 ABC , 所以,不论 ? 为何值,总有 EF ? 平面 ABC . (2)解:在 ?BCD 中, ?BCD ? 90? , BC ? CD ? 1 ,所以 BD ? 2 , 又 AB ? 平面 BCD ,所以 AB ? BC , AB ? BD , 又在 Rt ?ABD 中, ?ABD ? 60? ,所以 AB ? BD tan 60? ? 6 , 由(1)知 EF ? 平面 ABE , 所以 V三棱锥A? BEF =V三棱锥F ? ABE ?

1 1 1 1 1 1 6 S ?ABE ? EF ? ? S?ABC ? EF ? ? ?1? 6 ? ? , 3 3 2 6 2 2 24

所以,三棱锥 A ? BEF 的体积是

6 . 24

20.解: (1) ? 的所有可能取值为 0,1,2,依题意得:

P(? ? 0) ?

3 2 1 1 2 C4 C4 C2 3 C4 C2 1 1 ; , ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? , 3 3 3 C6 5 C6 5 C6 5

∴ ? 的分布列为

?
P
∴ E? ? 0 ?

0

1

2

1 5

3 5

1 5

1 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 1 . 5 5 5
3 C4 4 1 ? ? , 3 C6 20 5

(2)设“甲、乙都不被选中”的事件为 C ,则 P(C ) ? 所以所求概率为 P(C ) ? 1 ? P(C ) ? 1 ?

1 4 ? . 5 5

(3)记“男生甲被选中”为事件 A , “女生乙被选中”为事件 B ,

P( A) ?

1 C52 1 C4 1 ; ? P ( B ? A ) ? ? , 3 3 C6 2 C6 5

P( B | A) ?

P( BA) 2 ? . P( A) 5

21.解: (1)由 2OP ? OM ? ON ,得 P 是 MN 的中点,

??? ?

???? ? ????

? x1 ? x2 ? 2 x, ? 设 P( x, y) , M ( x1 , mx1 ) , N ( x2 , ?mx2 ) ,依题意得: ?mx1 ? mx2 ? 2 y, ? 2 2 2 ?( x1 ? x2 ) ? (mx1 ? mx2 ) ? 2 ,
整理得

x2 y2 ? 2 ?1, 1 m m2

当 m ? 1 时,方程表示焦点在 y 轴上的椭圆; 当 0 ? m ? 1 时,方程表示焦点在 x 轴上的椭圆; 当 m ? 1 时,方程表示圆. (2)由 m ? 1 ,焦点在 y 轴上的椭圆,直线 l 与曲线 C 恒有两交点, 因为直线斜率不存在时不符合题意, 可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

? y ? kx ? 1, ? 2 ? 2 由 ? x ? y ? 1, 得 (m4 ? k 2 ) x2 ? 2kx ? 1 ? m2 ? 0 , 2 ? 1 m ? ? m2
x1 ? x2 ? ? 2k 1 ? m2 x x ? , , 1 2 m4 ? k 2 m4 ? k 2

y1 y2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ?

k 2 (1 ? m2 ) ?2k 2 ? ?1 , m4 ? k 2 m4 ? k 2

要使 ?AOB 为锐角,则有 OA ? OB ? 0 , 所以 x1 x2 ? y1 y2 ?
4 2 2

??? ? ??? ?

m4 ? (k 2 ? 1)m2 ? 1 ? 0, m4 ? k 2

即 m ? (k ? 1)m ? 1 ? 0 , 可得 m ?
2

1 ? k 2 ? 1 ,对于任意 m ? 1 恒成立, 2 m

而m ?
2

1 ? 2 ,∴ k 2 ? 1 ? 2 , ?1 ? k ? 1 , 2 m

所以满足条件的 k 的取值范围是 ??1,1? . 22.解: (1)当 x ? ?1 时, N '( x) ? 2 x ? 2 ?

1 ?0, 1? x

所以, N ( x ) 在 (?1, ??) 上是单调递增, N (0) ? 0 . (2) f ( x) 的定义域是 (?1, ??) ,

f '( x) ? 1 ?

1 ? ln(1 ? x) N ( x) , ? 2 (1 ? x) (1 ? x)2

当 ?1 ? x ? 0 时, N ( x) ? 0 ,所以 f '( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, N ( x) ? 0 ,所以 f '( x) ? 0 , 所以在 (?1, 0) 上 f ( x) 单调递减,在 (0, ??) 上 f ( x) 单调递增; 所以 f ( x)min ? f (0) ? 0 . (3)由(2)知 f ( x) 在 [0, ??) 上是单调递增函数, 若存在 m , n 满足条件,则必有 f (m) ? m , f (n) ? n , 也即方程 f ( x) ? x 在 [0, ??) 上有两个不等的实根 m , n , 但方程 f ( x) ? x ,即

ln(1 ? x ) ? 0 只有一个实根 x ? 0 , 1? x

所以不存在满足条件的实数 m , n .


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