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江西省赣州市南康区2016


江西省赣州市南康区 2016-2017 学年高二数学下学期第一次月考 (3 月) 试 题 理
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.不等式

2? x ? 0 的解集为( x ?1

) C. ?x | x ? ?1 ? D. R

A. ?x | 0 ? x ? 2?

B. ?x | ?1 ? x ? 2?

2.用数学归纳法证明 1 ? 2 ? 22 ? 所得的项为( A.1 ) B.1+2

? 2n?1 ? 2n?2 ?1(n ? N ? ) 的过程中,在验证 n ? 1 时,左端计算

C.1+2+2 ) C、(

2

D.1+2+2 +2

2

3

3.抛物线 y ? 4 x2 焦点坐标为( A、 (1,0) B、(0,1)

1 , 0) 16


D、(0,

1 ) 16

4.在等比数列 ?an ? 中,若 a4 a5a6 ? 27 ,则 a1a9 ? ( A. 3 B. 6 C. 27

D. 9 ) D. 6 3

5.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为( A. 2 3 B. 3 3 C. 2 3

6.已知双曲线 M :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离为 c ( c 为双曲线 2 a b 3


的半焦距长) ,则双曲线的离心率 e 为( A.

7 3

B.

3 7 2

C.

3 7 7

D. 3 7

7.如图,设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域,E 是 D 内位于函数 y ? 影部分区域,则阴影部分 E 的面积为( A.ln2 B.1﹣ln2 C.2﹣ln2 D.1+ln2 )

1 ( x ? 0) 图象下方的阴 x

1

8.若

?

a

1

1 (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2 ,则 a 的值是( x
B.4 C.3

) D.2 )

A.6

9.曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是( A. 5 B. 2 5 C. 3 5 ) D. (2, ??) D.0

10.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递减区间是( A. (??, 2) B. (0,3) C. (1, 4)

11 . 某 地 区 为 了 绿 化 环 境 进 行 大 面 积 植 树 造 林 , 如 图 所 示 , 在 区 域

?(x, y) | x ? 0, y ? 0? 内植树,第 1 棵树在点 A1 (0,1) 处,第 2 棵树在点
B1 (1,1) 处,第 3 棵树在点 C1 (1, 0) 处,第 4 棵树在点 C2 (2,0) 处,接着
按图中箭头方向每隔 1 个单位种 1 棵树.第 n 棵树所在点的坐标是

(46, 0) ,则 n ? (
A.1936

) C.2017 D.2208

B.2116

2 12.已知 f ( x ) 为定义在 (0, ??) 上的可导函数,且 f ( x) ? xf ?( x) ,则不等式 x f ( ) ? f ( x) ? 0 的

1 x

解集为( A. (0, 4)

) B. (0,3) C. (0, 2) D. (0,1)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

? [x
0

2

2

? 1 ? ( x ? 1)2 ]dx ?

. . . .

14.曲线 y ? ?5e x ? 3 在点 (0, ?2) 处的切线方程为

15.命题“存在 x ? R, x2 ? 2ax ? 1 ? 0 ”为假命题,则 a 的取值范围是

16.设函数 f ( x) ? 2x3 ? 3ax2 ? 3bx 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值,则 b 的值为

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
a 2 17.设命题 p : 实数 a 满足不等式 3 ? 9 ,命题 q : x ? 3?3 ? a ? x ? 9 ? 0 的解集为 R .

2

已知“ p ? q ” 为真命题,并记为条件 r ,且条件 t : 实数 a 满足 a ? m 或 a ? m ? (1)求条件 r 的等价条件(用 a 的取值 范围表示) ; (2)若 r 是 ?t 的必要不充分条件,求正整数 m 的值.

1 . 2

1 8.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? (1)求函数 f ( x ) 的表达式; (2)若 f (? ) ? f (? ?

?
2

?? ?

?
2

) 一个周期的图像如图所示.
y
1

?
3

)?

24 ,且 ? 为 ?ABC 的 25
?

一个内角,求 sin ? ? cos ? 的值.

? O 6

? 12

x

19.已知函数 f ( x) ? ln x ? kx ? 1. (1)当 k ? 2 时,求函数的单调增区间; (2)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围.

3

20.如图,在四棱锥 A ? EFCB 中, △AEF 为等边三角形,平面 AEF ? 平面 EFCB , EF ∥ BC ,
BC ? 4 , EF ? 2a , ?EBC ? ?FCB ? 60? , O 为 EF 的中点.
A

(1) 求证: AO ? BE ; (2) 求二面角 F ? AE ? B 的余弦值;

F

C

O E B

21.已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? (a ? 1) x(a ? R). 2

(I) a ? 1 时,求函数 y ? f ( x) 的 零点个数; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若函数 y ? f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值为 ?2 ,求 a 的值.

22.已知椭圆 C 的中心为坐标原点,其离心率为 重合. (1)求椭圆 C 的方程;

2 ,椭圆 C 的一个焦点和抛物线 x2 ? 4 y 的焦点 2

(2)过点 S ( ? , 0) 的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在平面上是否存在一个定点 T,使 得无论 l 如何转动,以 AB 为直径的圆恒过点 T,若存在,说出点 T 的坐标,若不存在,说 明理由.

1 3

4

数学(理科)参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的,请将正确答案的代号填在相应答题卷内) 1—5:BCDDD 6—10:CDDAA 11—12:BD

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

8 ? ? 3 2

14. 5x+y+2=0

15.[﹣1,1]

16.4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
a 17.解: (1)由 3 ? 9 ,得 a ? 2 ,即 p : a ? 2 . 由 ? ? 9 ? 3 ? a ? ? 4 ? 9 ? 0 ,解得 1 ? a ? 5 ,即
2

q :1 ? a ? 5 .
∵“ p ? q ”为 真命题,∴ ? (2 )又 t : a ? m 或 a ? m ?

?a ? 2 ? 1 ? a ? 2 . ……………………5 分 ?1 ? a ? 5

1 1 ,从而 ?t : m ? a ? m ? . 2 2

r 是 ?t 的必要不充分条件,即 ?t 是 r 的充分不必要条件,
?m ? 1 3 ? ? ?? ,解得 1 ? m ? , m ? N ,? m ? 1 ……………………10 分 1 2 m? ? 2 ? ? 2
18.解: (1)从图知 f ( x)max ? 1 ,则 A ? 1 函数 f ( x ) 的周期为 T ? 4 ? ( 又x??

?
6

? ) ?? 12 6

?

?

?? ? 2

时y?0

? ? 函数 f ( x) 的表达式为 f ( x) ? sin(2 x ? ) ………………6 分 3 ? ? 24 24 ?0 (2)由 f (? ) ? f (? ? ) ? 2sin 2? cos ? 得 2sin ? cos ? ? 3 3 25 25
又 ? ? (0, ? )

? sin[2 ? (? ) ? ? ] ? 0 而 ? ? ? ? ,则 ? ? 6 2 2 3

?

?

?

?

?sin ? ? 0,cos ? ? 0
24 7 2 ?( ) 25 5
而 sin ? ? cos ? ? 0

? (sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? ? sin ? ? cos ? ? 7 5

………………12 分

19.解:函数 y=f(x)的定义域为(0,+∞)

5

(1) 当 k=2 时,f(x)=lnx﹣2x+1,则 由 ,所以函数的单调增区间为 . …………6 分

(2)由 f(x)≤0 得 kx≥lnx+1,即 令 ,问题 ?

在(0,+∞)上恒成立.

k ? g ( x)max





由 g'(x)>0 得 0<x<1,由 g'(x)<0 得 x>1. ∴g(x)在(0,1)为增区间,在(1,+∞)为减区间, ∴当 x=1 时,g(x)max=g(1)=1.故 k≥1 为所求.…………………………12 分 20.解:(1)由于平面 AEF ? 平面 EFCB , △AEF 为等边三角形, O 为 EF 的中点, 则 AO ? EF ,根据面面垂直性质定理, 所以 AO ? 平面 EFCB,又 BE ? 平面 EFCB ,则 AO ? BE .……………6 分 (2)取 CB 的中点 D,连接 OD,以 O 为原点,分别以 OE、OD、OA 为

x、y、z 轴建立空间直角坐标系, A(0,0 3a),
E(a,0,0),B(2,2 3 ? 3a,0),AE ? (a,0,? 3a),EB ? (2 ? a,2 3 ? 3a,0),由于平面
AEF 与 y 轴垂直,则设平面 AEF 的法向量为 n1 ? (0,1,0), 设平面 AEB 的法向量 n2 ? (x ,y ,1),

n2 ? AE ,ax - 3a ? 0,x ?

x ? (2 3 ? 3a) y ? 0 , y ? ?1 , 3 , n2 ? EB ,(2 ? a)

则 n2 ? ( 3,?1,1),二面角 F ? AE ? B 的余弦值 cos?n1 ,n2 ? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

?1 5

? ?

5 ,由二 5

面角 F ? AE ? B 为钝二面角, 所以二面角 F ? AE ? B 的余弦值为 ?

5 .…………………………12 分 5

21.解: (1)a=1 时,函数 f(x)=lnx+ x2﹣2x, (x>0)

则 f′(x)= +x﹣2=

=

≥0 恒成立,

故函数 f(x)在(0,+∞)为增函数, ∵f(1)=﹣ <0,f(4)=ln4>0, 故函数 y=f(x)有且只有一个零点;…………………………6 分

6

(2)∵f(x)=lnx+

x ﹣(a+1)x(a>0) ,

2

∴f′(x)= +ax﹣(a+1)=

?

( x ? 1)(ax ? 1) , x

令 f′(x)=0,则 x=1,或 x= , 当 ≤1,即 a≥1 时,f′(x)≥0 在区间[1,e]上恒成立,函数 y=f(x)为增函数,此时当 x=1 时,函数 取最小值 ﹣(a+1)= ﹣2,解得:a=2;

当 1< <e,即 <a<1 时, f′(x)<0 在区间[1, ]上恒成立,函数 y=f(x)为减函数, f′(x)≥0 在区间[ ,e]上恒成立,函数 y=f(x)为增函数, 此时当 x= 时,函数取最小值﹣lna+ 由 ﹣ =﹣2,

y ? ln x与y ?

1 x ? 1在[1, e]上无交点知 此时不存在满足条件的 a 值; 2

当 ≥e,即 0<a≤ 时,f′(x)≤0 在区间[1,e]上恒成立,函数 y=f(x)为减函数,此时当 x=e 时,函数取最小值 1+ e2﹣e(a+1)=﹣2,

解得:a=

<0(舍去) ;

综上可得:a=2 …………………………12 分

22.解: (1)抛物线焦点的坐标为(0,1) ,则椭圆 C 的焦点在 y 轴上 设椭圆方程为

由题意可得 c=1,





∴椭圆方程为

…………………………6 分
2 2

(2)若直线 l 与 x 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x +y =1, 若直线 l 垂直于 x 轴,则以 AB 为直径的圆是

7



即两圆相切于点(1,0)…

因此所求的点 T 如果存在,只能是(1,0) ,事实上,点 T(1,0)就是所求的点.… 证明:当直线 l 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆过点 T(1,0) ,若直线 l 不垂直于 x 轴, 可设直线 l: 设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)



,∴



又∵ ∴

=(x1﹣1,y1) ,

=(x2﹣1,y2) ,

=(x1﹣1,y1)?(x2﹣1,y2)= =

= ∴

=0 即:TA⊥TB,故以 AB 为直径的圆恒过点 T(1,0) .

综上可知:在坐标 平面上存在一个定点 T(1,0)满足条件.………………12 分

8


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