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2012年高考真题数学理(安徽卷)word 有答案解析版

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第 Ⅱ卷第 3 页至第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 答题前,务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴 的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写 姓名和座位号后两位。 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清 .... 晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描 ... 清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题 ......... .... ...... 无效。 .. 考试结束后,务必将试题卷和答题卡一并上交。 参考公式: 如果事件 A 与 B 互斥;则 P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) 如果事件 A 与 B 相互独立;则 P ( AB ) ? P ( A ) P ( B ) 如果 A 与 B 是事件,且 P ( B ) ? 0 ;则 P ( A B ) ?
P ( AB ) P(B)

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)复数 z 满足: ( z ? i )(2 ? i ) ? 5 ;则 z ? (
( A ) ? 2 ? 2i ( B ) ? 2 ? 2i


i (C ) ? ? ?

( D ) ? ? ?i

【解析】选 D
( z ? i )(2 ? i ) ? 5 ? z ? i ? 5 2?i ? z ?i? 5(2 ? i ) (2 ? i )(2 ? i ) ? 2 ? 2i

(2)下列函数中,不满足: f (2 x ) ? 2 f ( x ) 的是(
( A) f ( x ) ? x (B ) f ( x) ? x ? x


(D ) f ( x) ? ? x

(C ) f ( x ) ? x ? ?

【解析】选 C

f ( x ) ? kx 与 f ( x ) ? k x 均满足: f (2 x ) ? 2 f ( x ) 得: A , B , D 满足条

件 (3)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是(
( A) 3 (B) 4 (C ) ? (D) ?



【解析】选 B
x
y

1 1

2 2

4
3

8

4

4.公比为 3 2 等比数列 { a n } 的各项都是正数, a 3 a11 ? 16 ,则( 且
( A) 4 (B) 5 (C ) ? (D) ?



【解析】选 B
a 3 a11 ? 16 ? a 7 ? 16 ? a 7 ? 4 ? a16 ? a 7 ? q ? 32 ? log 2 a16 ? 5
2 9

5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图如图所示,则

( A ) 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 ( B ) 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中

位数

( C ) 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

( D ) 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
1 5 (5 ? 3 ? 6 ? 9) ? 6

【解析】选 C

x甲 ?

1 5

(4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8) ? 6, x乙 ?

1 2 1 2 2 2 甲的成绩的方差为 (2 ? 2 ? 1 ? 2) ? 2 ,乙的成绩的方差为 (1 ? 3 ? 3 ? 1) ? 2.4 5 5

(6)设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内,且 b ? m 则“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的(
( A ) 充分不必要条件 ( C ) 充要条件


( B ) 必要不充分条件 ( D ) 即不充分不必要条件

【解析】选 A ①? ? ? , b ? m ? b ? ? ? b ? a (7) ( x ? 2)(
2

②如果 a / / m ;则 a ? b 与 b ? m 条件相同 )
(C ) ? (D) ?

1 x
2

? 1) 的展开式的常数项是(
5

( A) ?3

( B ) ?2

【解析】选 D 第一个因式取 x ,第二个因式取
2

1 x
2

得: 1 ? C 5 ( ? 1) ? 5
1 4

第一个因式取 2 ,第二个因式取 ( ? 1) 得: 2 ? ( ? 1) ? ? 2
5 5

展开式的常数项是 5 ? ( ? 2) ? 3

??? ? ???? 3? (8)在平面直角坐标系中,O (0, 0), P (6, 8) ,将向量 OP 按逆时针旋转 后,得向量 OQ 4

则点 Q 的坐标是(
( A)
(? 7 2?, 2 )


(B)
(?7 2 , 2 )

(C )

( ? 4 6 , ? 2)

( D ) ( ? 4 6 , 2)

【解析】选 A
??? ? 3 4 【方法一】设 OP ? (10 cos ? ,10 sin ? ) ? cos ? ? , sin ? ? 5 5 ???? 3? 3? ),10 sin(? ? )) ? ( ? 7 2 , ? 2 ) 则 OQ ? (10 cos(? ? 4 4 ??? ? ???? ? 3? 【方法二】将向量 OP ? (6, 8) 按逆时针旋转 后得 OM ? (8, ? 6) 2

???? ? ? 1 ??? ???? ( OP ? OM ) ? ( ? 7 2 , ? 2 ) 则 OQ ? ? 2
2 (9)过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A , B 两点,点 O 是原点,若 AF ? 3 ;

则 ? AOB 的面积为(
( A)
2 2


2
(C )
3 2 2

(B)

(D) 2 2

【解析】选 C 设 ? AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 BF ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ? 1 的距离为 3 得: 3 ? 2 ? 3 cos ? ? cos ? ?
1 2

1 3

又 m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ? m ?
1 2 3 2 2 2 3

2 1 ? cos ?
? 3 2 2

?

3 2

? AOB 的面积为 S ?

? OF ? AB ? sin ? ?

? 1 ? (3 ?

)?

(10)6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进 行交换 的两位同学互赠一份纪念品,已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换,则收到 4 份纪 念品 的同学人数为( )
( A) 1 或 3 (B) 1 或 4 (C ) 2 或 3 (D) 2 或 4

【解析】选 D
C 6 ? 13 ? 15 ? 13 ? 2
2

①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到 4 份纪念品的同学人数为 2 人 ②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到 4 份纪念品的同学人数为 4 人 第 II 卷(非选择题 共 100 分) 考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. ................. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.
? x?0 ? (11)若 x , y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的取值范围为 _____ ?2 x ? y ? 3 ?

【解析】 x ? y 的取值范围为 _____ [ ? 3, 0]
3 约束条件对应 ? ABC 边际及内的区域: A (0, 3), B (0, ), C (1,1) 2

则 t ? x ? y ? [ ? 3, 0]

(12)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是 _____ 【解析】表面积是 _____ 92 该几何体是底面是直角梯形,高为 4 的直四棱柱 1 几何体的表面积是 S ? 2 ? ? (2 ? 5) ? 4 ? (2 ? 5 ? 4 ? 2 (13)在极坐标系中,圆 ? ? 4 sin ? 的圆心到直线 ? ? 【解析】距离是 _____
2

4 ? (5 ? 2) ) ? 4 ? 92
2 2

?
6

( ? ? R ) 的距离是 _____

3
2

圆 ? ? 4 sin ? ? x ? ( y ? 2) ? 4 的圆心 C (0, 2)

直线 l : ? ?

?
6

(? ? R) ? x ?

3 y ? 0 ;点 C 到直线 l 的距离是

0?2 3 2

?

3

? ? ? ? ? ? (14)若平面向量 a , b 满足: 2 a ? b ? 3 ;则 a ?b 的最小值是 _____ ? ? 9 【解析】 a ?b 的最小值是 _____ ? 8 ? ? ?2 ?2 ? ? 2 a ? b ? 3 ? 4 a ? b ? 9 ? 4 a ?b
?2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 4 a ? b ? 4 a b ? ? 4 a ?b ? 9 ? 4 a ?b ? ? 4 a ?b ? a ?b ? ? 8

(15)设 ? ABC 的内角 A , B , C 所对的边为 a , b , c ;则下列命题正确的是 _____ ①若 ab ? c ;则 C ?
2 3 3 3

?
3

②若 a ? b ? 2 c ;则 C ?

?
3

③若 a ? b ? c ;则 C ?
2 2 2 2 2

?
2

④若 ( a ? b ) c ? 2 ab ;则 C ?

?
2

⑤若 ( a ? b ) c ? 2 a b ;则 C ? 【解析】正确的是 _____ ①②③ ① ab ? c ? cos C ?
2

?
3

a ?b ?c
2 2

2

2 ab
2 2

?

2 ab ? ab 2 ab
2

?

1 2
2

?C ?

?
3
2

② a ? b ? 2 c ? cos C ? ③当 C ?

a ?b ?c 2 ab
2 3

2

?

4( a ? b ) ? ( a ? b ) 8 ab
2 2 3 3

?

1 2

?C ?

?
3

?
2

时, c ? a ? b ? c ? a c ? b c ? a ? b 与 a ? b ? c 矛盾
2 2 3 3 3

④取 a ? b ? 2, c ? 1 满足 ( a ? b ) c ? 2 ab 得: C ?
2 2 2 2 2

?
2

⑤取 a ? b ? 2, c ? 1 满足 ( a ? b ) c ? 2 a b 得: C ?

?
3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答 写在答题卡的制定区域内. (16)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ?
2 2 cos(2 x ?

?
4

) ? sin x
2

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; ( II ) 设 函 数 g ( x ) 对 任 意 x ? R , 有 g ( x ?
g ( x) ? 1 2 ? f ( x) ;

?
2

) ? g ( x ), 且 当 x ? [0,

?
2

] 时,

求函数 g ( x ) 在 [ ?? , 0] 上的解析式。 【
f( ? 2 2




? 1 4 c
1 1 ? ?x ? sin 2 x 2 2


o 1

?

2

x)

2

(I)函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? (2)当 x ? [0, 当
g ( x) ? g ( x ?

2? 2

?? 1 2 sin 2 x

?
2

] 时, g ( x ) ? x ? [?

1 2

? f ( x) ?

?
2

, 0]
1 2 ) sin 2 x





(x ?

?
2

?

?
2

)

[

?
2

)?

1 2

sin 2( x ?

?
2

)??



2 1 1 g ( x ) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x 2 2

x ? [ ?? , ?

?





(x ? ? ?

?
2

)

[

? ? 1 ? ? 2 sin 2 x ( ? 2 ? x ? 0) ? 得:函数 g ( x ) 在 [ ?? , 0] 上的解析式为 g ( x ) ? ? ? 1 sin 2 x ( ? ? ? x ? ? ) ? 2 ? 2
(17) (本小题满分 12 分) 某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是 A 类型试题,则使 用后 该试题回库,并增补一道 A 类试题和一道 B 类型试题入库,此次调题工作结束;若 调用

的是 B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束。试题库中现共有 n ? m 道 试题,其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题,以 X 表示两次调题工作完成后, 试 题库中 A 类试题的数量。 (Ⅰ)求 X ? n ? 2 的概率; (Ⅱ)设 m ? n ,求 X 的分布列和均值(数学期望) 。 【解析】 (I) X ? n ? 2 表示两次调题均为 A 类型试题,概率为
n m?n 1 (Ⅱ) m ? n 时,每次调用的是 A 类型试题的概率为 p ? 2 ? n ?1 m?n?2

随机变量 X 可取 n , n ? 1, n ? 2
P ( X ? n ) ? (1 ? p ) ?
2

1 4

, P ( X ? n ? 1) ? 2 p (1 ? p ) ?
n
1 4
n ?1

1 2

, P ( X ? n ? 2) ? p ?
2

1 4

X
P

n?2

1 2 1 4 n ?1 ? n ?1

1 4

EX ? n ?

1 4

? ( n ? 1) ?

1 2

? ( n ? 2) ? n ?

答: (Ⅰ) X ? n ? 2 的概率为 (Ⅱ)求 X 的均值为 n ? 1

m?n

m?n?2

(18) (本小题满分 12 分) 平 面 图 形 ABB1 A1C1C 如 图 4 所 示 , 其 中 BB1C1C 是 矩 形 , BC ? 2, BB1 ? 4 ,
AB ? AC ?
A1 B1 ? A1C1 ?

2,
5 。现将该平面图形分别沿 BC 和 B1C 1 折叠,使 ? ABC 与 ? A1 B1C1 所在平

面都 与平面 BB1C1C 垂直,再分别连接 AA1 , BA1 , CA1 ,得到如图 2 所示的空间图形,对此空间图 形解答

下列问题。

。 (Ⅰ)证明: AA1 ? BC ; (Ⅱ)求 A A1 的长;

(Ⅲ)求二面角 A ? BC ? A1 的余弦值。 【解析】 (I)取 BC , B1C1 的中点为点 O , O1 ,连接 AO , OO1 , A1O , A1O1 则 AB ? AC ? AO ? BC ,面 ABC ? 面 BB1C1C ? AO ? 面 BB1C1C 同理: A1O1 ? 面 BB1C1C 得: AO / / A1O1 ? A , O , A1 , O1 共面 又 OO1 ? BC , OO1 ? AO ? O ? BC ? 面 AOO1 A1 ? AA1 ? BC (Ⅱ)延长 A1O1 到 D ,使 O1 D ? OA 得: O1 D / /OA ? AD / /OO1

OO? BC ,面 A1 B1C1 ? 面 BB1C1C ? OO1 ? 面 A1 B1C1 ? AD ? 面 A1 B1C 1 1
AA? 1 A D?
2

D A? 4
2

2

? 2 ?1 ) (

2

?5

(Ⅲ) AO ? BC , A1O ? BC ? ? AOA1 是二面角 A ? BC ? A1 的平面角 在 Rt ? OO1 A1 中, A 1 O ?
OO1 ? A1O1 ?
2 2

4 ?2 ?2 5
2 2

在 Rt ? OAA1 中, cos ? AOA1 ?

AO ? A1O ? AA1
2 2

2

2 AO ? A1O
5 5

??

5 5

得:二面角 A ? BC ? A1 的余弦值为 ? (19) (本小题满分 13 分) 1 x ? b ( a ? 0) 设 f ( x ) ? ae ? x ae
K]



(I)求 f ( x ) 在 [0, ?? ) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x ) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ?
1 at

3 2
1 at
2

x ;求 a , b 的值。
a t ?1
2 2

x 【解析】 (I)设 t ? e ( t ? 1) ;则 y ? at ?

? b ? y? ? a ?

?

at

2

①当 a ? 1 时, y ? ? 0 ? y ? at ?

1 at

? b 在 t ? 1 上是增函数 1 a ?b

得:当 t ? 1( x ? 0) 时, f ( x ) 的最小值为 a ? ②当 0 ? a ? 1 时, y ? at ?
1 at ?b ? 2?b
x

当且仅当 at ? 1( t ? e ? (II) f ( x ) ? ae ?
x

1 a

, x ? ? ln a ) 时, f ( x ) 的最小值为 b ? 2 1

1 ae
x

? b ? f ?( x ) ? ae ?
x

ae

x

1 ? 2 ? f (2) ? 3 ? ae ? ae 2 ? b ? 3 ? ? 由题意得: ? ? 3? ? 1 3 f ?(2) ? 2 ? ? ae ? ? ? 2 2 ? ae 2 ?

2 ? ?a ? e2 ? ? ?b? 1 ? ? 2

(20) (本小题满分 13 分) 如图, F1 ( ? c , 0), F2 ( c , 0) 分别是椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0)

的左,右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点 P , 过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x ?
a
2

c

于点 Q ;

(I)若点 Q 的坐标为 (4, 4) ;求椭圆 C 的方程; (II)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点。

【解析】 (I)点 P ( ? c , y1 )( y1 ? 0) 代入
b
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 得: y1 ?

b

2

a

?0 4?0 a PF1 ? Q F2 ? ? ? ?1 ① ?c ? c 4 ? c



a

2

c

?4 ②

c ? a ? b( a b ? 0③ , , c )
2 2 2

由①②③得: a ? 2, c ? 1, b ?

3 既椭圆 C 的方程为

x

2

4

?

y

2

3

?1

?0 y ?0 a (II)设 Q ( , y 2 ) ;则 PF1 ? QF2 ? ? 2 ? ?1 ? y2 ? 2a 2 c ?c ? c a ?c c
a
2

b

2

得: k PQ

c ? 2 a ? a a ?c c

2a ?

b

2

x a

2 2

?

y b
2

2

?1? y ?

b ?
2

b a
2

2

?
2 2

b a

2 2

x
2 2

x ? y? ?

b ?

b a

x

2

过点 P 与椭圆 C 相切的直线斜率 k ? y ? 得:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点。

x??c

?

c a

? k PQ

(21) (本小题满分 13 分) 数列 { x n } 满足: x1 ? 0, x n ?1 ? ? x n ? x n ? c ( n ? N )
2 *

(I)证明:数列 { x n } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 (II)求 c 的取值范围,使数列 { x n } 是单调递增数列。 【解析】 (I)必要条件 当 c ? 0 时, x n ?1 ? ? x n ? x n ? c ? x n ? 数列 { x n } 是单调递减数列
2

充分条件 数列 { x n } 是单调递减数列 ? x1 ? x 2 ? ? x1 ? x1 ? c ? c ? x1 ? 0
2 2

得:数列 { x n } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 (II)由(I)得: C ? 0 ①当 c ? 0 时, a n ? a1 ? 0 ,不合题意

②当 c ? 0 时, x 2 ? c ? x1 , x3 ? ? c ? 2 c ? x 2 ? c ? 0 ? c ? 1
2

x n ?1 ? x n ? c ? x n ? 0 ? x n ? c ? 1 ? 0 ? x1 ? x n ?
2 2
2 2

c

x n ? 2 ? x n ?1 ? ? ( x n ?1 ? x n ) ? ( x n ?1 ? x n ) ? ? ( x n ?1 ? x n )( x n ?1 ? x n ? 1)

当c ?

1 4

时, x n ?

c ?

1 2

? x n ? x n ?1 ? 1 ? 0 ? x n ? 2 ? x n ?1 与 x n ?1 ? x n 同号,

由 x 2 ? x1 ? c ? 0 ? x n ? 2 ? x n ? 0 ? x n ?1 ? x n
lim x n ?1 ? lim ( ? x n ? x n ? c ) ? lim x n ?
2 n? ? n? ? n? ?

c

当c ?

1 4

时,存在 N ,使 x N ?

1 2

? x N ? x N ?1 ? 1 ? x N ? 2 ? x N ?1 与 x N ?1 ? x N 异号

与数列 { x n } 是单调递减数列矛盾 得:当 0 ? c ?
1 4

时,数列 { x n } 是单调递增数列