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高中数学人教A版选修2-2《数学归纳法证明不等式》word学案


山东省泰安市肥城市第三中学高中数学 数学归纳法证明不等式学案 新人教 A 版选修 2-2 学习内容 【学习目标】 1、了解数学归纳法的步骤; 2、理解放缩法与数学归纳法证明不等式的联系与区别; 3、会用数学归纳法证明不等式。 【学习重点 】数学归纳法证明不等式 【学习难点】数学归纳法的步骤 与合理的放缩 【回顾·复习】 放缩法证明不等式 【自主·合作·探究】 数学归纳法的步骤: 0 0 (1)证明当 n 取第一个值 n (如 n = 1 或 2 等) 时结论正确 0 (2)假设 n=k (k∈N*, 且 k≥ n )时结论正确, 证明 n=k+1 时结论也正确 由(1)、(2)得出结论正确 【 典型例题】 2 n 例 1、已知数列 an=n ,bn=2 ,从第几项起 an 始终小于 bn?证明你的结论。 解:选修 4-5 课本 P50 例 1 学习指导 即时感悟 例 2、证明不等式|sin nθ |≤n|sinθ | 解:选修 4-5 课本 P51 例 2 例 3、证明贝努利不 等式: 如果 x 是实数,且 x>-1,x≠0,n 为大于 1 的自然数,那么 有 n (1+x) >1+nx 解:选修 4-5 课本 P51 例 3 例 4、证 明:如果 n(n 为正整数)个整数 a1,a2,…,an 的 乘积 a1 a2…an=1,那 么 它们的和 a1+ a2+…+an≥n。 解:选修 4-5 课本 P52 例 4 【反思·提升】 【拓展·延伸】 1、若 n 为大于 1 的自然数 ,求证 新疆 源头学子 小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子 小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 1 1 1 13 ? ?? ? ? n ?1 n ? 2 2n 24 证明 新疆 源头学子 小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子 小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com (1)当 n=2 时, 1 1 7 13 ? ? ? 2 ? 1 2 ? 2 12 24 (2)假设当 n=k 时成立,即 1 1 1 13 ? ? ?? ? k ?1 k ? 2 2k 24 1 1 1 1 1 1 1 则当n ? k ? 1时, ? ??? ? ? ? ? k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 k ? 1 13 1 1 1 13 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 24 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 24 2k ? 1 2k ? 2 13 1 13 ? ? ? 24 2( 2k ? 1)( k ? 1) 24 3、证明不等式 1 ? 1 2 ? 1 3 ??? 1 n ? 2 n (n∈N). 证 明:①当 n=1 时,左边=1, 右边=2. 左边<右边, 不等式成立. ②假设 n=k 时,不等式成立,即 1? 1 2 ? 1 3 1 2 ??? 1

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