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【步步高】2014届高考数学大一轮复习 2.8 函数与方程配套课件 理 新人教A版_图文

数学

R A(理)

§2.8 函数与方程
第二章 函数与基本初等函数 I

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y=f(x) (x∈D), 把使 f(x)=0 成立 的实数 x 叫做函数 y=f(x) (x∈D)的零点. (2)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象 与 x轴 有交点?函数 y=f(x)有 零点 . (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连 f(b)<0 ,那 续不断的一条曲线, 并且有 f(a)· 么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点,即 存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0 ,这个 c 也 就是 f(x)=0 的根.

1 . 函数的零点不 是 点 , 是方 程 f(x)=0 的根;

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

2.二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点 2.函数零点的存在 性定理只能判断 的关系 函数在某个区间 Δ= 0 Δ>0 Δ<0 上的变号零点, 而 不能判断函数的 二次函数 不变号零点, 而且 y=ax2+bx+c 连续函数在一个 (a>0)的图象 区间的端点处函 数值异号是这个 (x1,0) , (x1,0) 无交点 与 x 轴的交点 函数在这个区间 (x2,0) 上存在零点的充 分条件, 而不是必 零点个数 2 1 0 __ __ __ 要条件.

基础知识·自主学习
要点梳理
3.二分法 (1)定义:对于在区间[a,b]上连续不断且
难点正本 疑点清源

3. 利用图象交点的 个数判断函数的 零点:画出两个 函数的图象,看 其交点的个数, 其中交点的横坐 标有几个不同的 值,就有几个不 同的零点.

f ( a) · f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函
数 f(x)的零点所在的区间 一分为二 ,使区间 的两个端点逐步逼近 零点 , 进而得到零点近 似值的方法叫做二分法.

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

(2)给定精确度 ε,用二分法求函数 f(x)零点近似 值的步骤如下: ①确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度 ε;②求区间(a,b)的中点 c;③计算 f(c); (ⅰ)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; (ⅱ)若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈ (a,c)); (ⅲ)若 f(c)· f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈ (c,b)). ④判断是否达到精确度 ε:即若|a-b|<ε,则得到 零点近似值 a(或 b);否则重复②③④.

3. 利用图象交点的 个数判断函数的 零点:画出两个 函数的图象,看 其交点的个数, 其中交点的横坐 标有几个不同的 值,就有几个不 同的零点.

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2

答案
1 1 -2,-3

解析

3
C

3
4

C

题型分类·深度剖析
题型一 函数零点的判断
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 判断下列函数在给定区间上 是否存在零点. (1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3].

题型分类·深度剖析
题型一 函数零点的判断
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 判断下列函数在给定区间上 是否存在零点. (1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3].

第(1)问利用零点的存在性定理或 直接求出零点,第(2)问利用零点 的存在性定理或利用两图象的交 点来求解.

题型分类·深度剖析
题型一 函数零点的判断
思维启迪 探究提高 解析 【例 1】 判断下列函数在给定区间上 解 (1)方法一 ∵f(1)=12-3×1
是否存在零点. (1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3].

-18=-20<0, f(8) = 82 - 3×8 - 18 = 22>0 ,
∴f(1)· f(8)<0,

故 f(x)=x2-3x-18, x∈[1,8] 存在零点.
方法二 x∈[1,8] . ∴(x-6)(x+3)=0,∵x=6∈[1,8] , x=-3?[1,8] ,

令 f(x)=0,得 x2-3x-18=0,

∴f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点.

题型分类·深度剖析
题型一 函数零点的判断

思维启迪 探究提高 解析 【例 1】 判断下列函数在给定区间上 (2)方法一∵f(1)=log23-1>log22-1=0, f(3) = log25 - 3<log28 - 3 = 0 , 是否存在零点.
(1)f(x)=x -3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3].
2

∴f(1)· f(3)<0,

故 f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点.
方法二 设 y=log2(x+ 2),y=x,在同一直角坐 标系中画出它们的图象, 从图象中可以看出当 1≤x≤3 时,两图象有一个交点,因此

f(x)=log2(x+2)-x, x∈[1,3] 存在零点.

题型分类·深度剖析
题型一 函数零点的判断
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 判断下列函数在给定区间上 是否存在零点. (1)f(x)=x -3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3].
2

求解函数的零点存在性问题常用 的办法有三种:一是用定理,二 是解方程,三是用图象.值得说 明的是,零点存在性定理是充分 条件,而并非是必要条件.

题型分类·深度剖析
变式训练 1 函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) ( B )

解析

∵f′(x)=2xln 2+3>0,

∴f(x)=2x+3x 在 R 上是增函数.
而 f(-2)=2-2-6<0,f(-1)=2-1-3<0,
f(0)=20=1>0,f(1)=2+3=5>0,f(2)=22+6=10>0, ∴f(-1)· f(0)<0.故函数 f(x)在区间(-1,0)上有零点.

题型分类·深度剖析
题型二 函数零点个数的判断
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 2】 若定义在 R 上的偶函 数 f(x)满足 f(x+2)=f(x), 且 当 x∈[0,1]时, f(x)=x, 则函 数 y=f(x)-log3|x|的零点个 数是________.

题型分类·深度剖析
题型二 函数零点个数的判断
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 2】 若定义在 R 上的偶函 数 f(x)满足 f(x+2)=f(x), 且 当 x∈[0,1]时, f(x)=x, 则函 数 y=f(x)-log3|x|的零点个 数是________.

函数零点的个数 ? 方程解的个数 ?函数 y=f(x)与 y=log3|x|交点的 个数.

题型分类·深度剖析
题型二 函数零点个数的判断
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 2】 若定义在 R 上的偶函 数 f(x)满足 f(x+2)=f(x), 且 当 x∈[0,1]时, f(x)=x, 则函 数 y=f(x)-log3|x|的零点个 数是________.

由题意知,f(x)是周期为 2 的偶函数.
在同一坐标系内作出函数 y=f(x)及 y=log3|x|的图象,如下:

观察图象可以发现它们有 4 个交点,
即函数 y=f(x)-log3|x|有 4 个零点.

题型分类·深度剖析
题型二 函数零点个数的判断
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 2】 若定义在 R 上的偶函 数 f(x)满足 f(x+2)=f(x), 且 当 x∈[0,1]时, f(x)=x, 则函 数 y=f(x)-log3|x|的零点个

由题意知,f(x)是周期为 2 的偶函数.
在同一坐标系内作出函数 y=f(x)及 y=log3|x|的图象,如下:

4 数是________ .

观察图象可以发现它们有 4 个交点,
即函数 y=f(x)-log3|x|有 4 个零点.

题型分类·深度剖析
题型二 函数零点个数的判断
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 2】 若定义在 R 上的偶函 数 f(x)满足 f(x+2)=f(x), 且 当 x∈[0,1]时, f(x)=x, 则函 数 y=f(x)-log3|x|的零点个

对函数零点个数的判断方法 :(1)结 合零点存在性定理,利用函数的单 调性、对称性确定函数零点个数; (2)利用函数图象交点个数判断方程 根的个数或函数零点个数.

4 数是________ .

题型分类·深度剖析
变式训练 2 点个数是 A.0
解析

(2012· 天津)函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零 ( B )

B. 1

C.2

D.3

因为 f′(x)=2xln 2+3x2>0,

所以函数 f(x)=2x+x3-2 在(0,1)上递增, 且 f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0, 所以有 1 个零点.

题型分类·深度剖析
题型三 二次函数的零点问题
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】已知关于 x 的二次方程 x2+ 2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根, 其中一根在区 间(-1,0)内,另一根在区间(1,2) 内,求 m 的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内, 求 m 的范围.

题型分类·深度剖析
题型三 二次函数的零点问题
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】已知关于 x 的二次方程 x2+ 2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根, 其中一根在区

设出二次方程对应的函数,可画出

间(-1,0)内,另一根在区间(1,2) 相应的示意图, 然后用函数性质加 内,求 m 的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内, 求 m 的范围.
以限制.

题型分类·深度剖析
题型三 二次函数的零点问题
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】已知关于 x 的二次方程 x2+

2mx+ m+1=0. 解 (1)2 由条件,抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别 (1)若方程有两根, 其中一根在区 在区间 (-1,0)和(1,2) 内,如图(1)所示,得 间(-1,0)内,另一根在区间 (1,2) 1 ? ?m<- , 2 ? f ? 0 ? = 2 m + 1<0 , ? 内,求 的范围; ? ?m∈R, ?f?-1?=2>0, ? (2) 若方程两根均在区间 (0,1)内, ? ?? 1 ?m<-2, ?f?1?=4m+2<0, 求 m 的范围. ? ? ?f?2?=6m+5>0. 5 ? m > - . ? 6 ? 5 1 即- <m<- . 6 2

题型分类·深度剖析
题型三 二次函数的零点问题
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】已知关于 x 的二次方程 x2+

2mx+2m+1=0. (2)抛物线与 x 轴交点均落在区间(0,1)内, 如图(2)所示列不等式组 (1)若方程有两根, 其中一根在区 1 ? ?m>- , (1,2) 间 (- 1,0) 内,另一根在区间 f ? 0 ? >0 , ? 2 ? ? ? 1 ? f?1?>0, 内,求 m 的范围; ? ??m>-2, ?Δ≥0, ? (2) 若方程两根均在区间 (0,1) 内, m ≥ 1 + 2 或 m≤1- 2, ? ? ?0<-m<1. 求 m 的范围. ? ?-1<m<0.
1 即-2<m≤1- 2.

题型分类·深度剖析
题型三 二次函数的零点问题
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】已知关于 x 的二次方程 x2+ 2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根, 其中一根在区 间(-1,0)内,另一根在区间(1,2) 内,求 m 的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内, 求 m 的范围.

对二次函数的零点问题, 可以 采用根与系数的关系和判别 式解决; 比较复杂的题目, 可 利用二次函数的性质结合图 象寻求条件.

题型分类·深度剖析
(1)有两不同正根;(2)不同两根在(1,3)之间;(3)有一根大于 2,另一根小 于 2;(4)在(1,3)内有且只有一解. 解 设 f(x)=x2-2ax+a+2,

变式训练 3 关于 x 的一元二次方程 x2-2ax+a+2=0,当 a 为何实数时:

Δ=4a2-4(a+2)=4(a2-a-2)=4(a-2)(a+1). ?Δ>0, ? (1)由已知条件?x1+x2=2a>0, 解得 a>2. ?x · ? 1 x2=a+2>0, ? ?Δ>0, ?1<a<3, 11 (2)由已知条件? 解得 2<a< 5 . ?f?1?>0, ? ?f?3?>0,
(3)由已知条件 f(2)<0,解得 a>2.

题型分类·深度剖析
(1)有两不同正根;(2)不同两根在(1,3)之间;(3)有一根大于 2,另一根小 于 2;(4)在(1,3)内有且只有一解.
11 (4)由已知条件 f(1)f(3)<0,解得 <a<3. 5 11 7 检验:当 f(3)=0,即 a= 5 时,方程的两解为 x=5,x=3,

变式训练 3 关于 x 的一元二次方程 x2-2ax+a+2=0,当 a 为何实数时:

当 f(1)=0,即 a=3 时,方程的两解为 x=1,x=5,
? ?Δ=0, 11 可知 5 ≤a<3.当? ?a=2. ? 1< a <3 ?

即 a=2 时 f(x)=x2-4x+4=(x-2)2,方程的解 x1=x2=2,∴a=2, 11 综上有 a=2 或 5 ≤a<3.

题型分类·深度剖析
题型四 函数零点的应用
思维启迪 解析 探究提高
【例 4】 若关于 x 的方程 22x+ 2xa+a+1= 0 有实根,求实 数 a 的取值范围.

题型分类·深度剖析
题型四 函数零点的应用
思维启迪 解析 探究提高
【例 4】 若关于 x 的方程 22x+ 2xa+a+1= 0 有实根,求实 数 a 的取值范围.

方程的根也就是与方程对应的函 数零点,判断方程的根是否存在, 可以通过构造相应的函数,将其 转化为函数零点的存在性问题求 解,也可直接通过分离参数,转 化为函数的值域问题求解.

题型分类·深度剖析
题型四 函数零点的应用
思维启迪 解析 探究提高 【例 4】 若关于 x 的方程 22x+ 解 x 方法一 (换元法) 2 a+a+1= 0 有实根,求实 设 t=2x (t>0),则原方程可变为 t2+at+a+1=0, (*) 数 a 的取值范围. 原方程有实根,即方程(*)有正根.
令 f(t)=t2+at+a+1.

?Δ=a2-4?a+1?≥0, ? ①若方程(*)有两个正实根 t1,t2,则?t1+t2=-a>0, ?t · ? 1 t2=a+1>0, 解得-1<a≤2-2 2;

②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根,不合题意,舍去), 则 f(0)=a+1<0,解得 a<-1;

题型分类·深度剖析
题型四 函数零点的应用
思维启迪 解析 探究提高
【例 4】 若关于 x 的方程 22x+

③当 a =- 1 =1,x=0 符合题意. 2xa + a+ 1时, = 0 t有实根,求实

综上,a 的取值范围是(-∞,2-2 2]. 数 a 的取值范围. 方法二 (分离变量法)

22x+1 由方程,解得 a=- x ,设 t=2x (t>0), 2 +1
? ? ? 2 2 ? t2+1 ? ? ? 则 a=- =-?t+t+1-1?=2-??t+1?+t+1? ?,其中 t+1>1, t+1 ? ? ? ? 2 由基本不等式,得(t+1)+ ≥2 2,当且仅当 t= 2-1 时取等号, t+1

故 a≤2-2 2.

题型分类·深度剖析
题型四 函数零点的应用
思维启迪 解析 探究提高
【例 4】 若关于 x 的方程 22x+ 2xa+a+1= 0 有实根,求实 数 a 的取值范围.
过求函数 y=f(x)的值域来解决.

对于“a=f(x)有解”型问题,可以通

题型分类·深度剖析
|x2-1| 变式训练 4 (2012· 天津)已知函数 y= 的图象与函数 y=kx-2 的 x-1 (0,1)∪(1,4) . 图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是____________
?x+1?x>1或x<-1?, |x2-1| ? 根据绝对值的意义,y= =? x-1 ? ?-x-1?-1≤x<1?.

解析

在直角坐标系中作出该函数的图象,如图中实线所示.

根据图象可知, 当 0<k<1 或 1<k<4 时有两个交点.

动画展示

题型分类·深度剖析
思想与方法 5.数形结合思想在函数零点问题中的应用
2 e 典例:(12 分)已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ x (x>0).

(1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
思想与方法 5.数形结合思想在函数零点问题中的应用
2 e 典例:(12 分)已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ x (x>0).

(1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)y=g(x)-m 有零点即 y=g(x)与 y=m 的图象有交点,所以可以结合 图象求解.(2)g(x)-f(x)=0 有两个相异实根?y=f(x)与 y=g(x)的图象 有两个不同交点,所以可利用它们的图象求解.

题型分类·深度剖析
思想与方法 5.数形结合思想在函数零点问题中的应用
2 e 典例:(12 分)已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ x (x>0).

(1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.

规 范 解 答 温 馨 提 醒 e2 解 (1)方法一 ∵g(x)=x+ x ≥2 e2=2e,等号成立的条件是 x=e, 3分 故 g(x)的值域是[2e,+∞), 审 题 视 角
因而只需 m≥2e,则 y=g(x)-m 就有零点.
6分

e2 方法二 作出 g(x)=x+ x (x>0)的大致图象如图.

3分

可知若使 y=g(x)-m 有零点,则只需 m≥2e.

6分

题型分类·深度剖析
思想与方法 5.数形结合思想在函数零点问题中的应用
2 e 典例:(12 分)已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ x (x>0).

(1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.

规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒 (2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根,即 g(x)与 f(x) e2 的图象有两个不同的交点,作出 g(x)=x+ x (x>0) 动画展示 8分 的大致图象如图.
∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2. ∴其图象的对称轴为 x=e,开口向下,最大值为 m-1+e2.
10分

故当 m-1+e2>2e,即 m>-e2+2e+1 时,g(x)与 f(x)有两个交点,即 g(x) -f(x)=0 有两个相异实根.

∴m 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).

12分

题型分类·深度剖析
思想与方法 5.数形结合思想在函数零点问题中的应用
2 e 典例:(12 分)已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ x (x>0).

(1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)求函数零点的值,判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零 点求参数范围等问题,都可利用方程来求解,但当方程不易甚至不可能 解出时,可构造两个函数,利用数形结合的方法进行求解. (2)本题的易错点是确定 g(x)的最小值和 f(x)的最大值时易错.要注意函 数最值的求法.

思想方法·感悟提高
1.函数零点的判定常用的方法有 (1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程 f(x)=0.

方 法 与 技 巧

2.研究方程 f(x)=g(x)的解,实质就是研究 G(x)=f(x)-g(x) 的零点.
3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质 是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围, 当达到一定的精确度要求时,所得区间的任一点就是这 个函数零点的近似值.
4.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交 点的个数问题;已知方程有解求参数范围问题可转化为 函数值域问题.

思想方法·感悟提高

1.函数 f(x)的零点是一个实数,是方程 f(x)=0 的根,也

失 误 与 防 范

是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标.

2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而 不是必要条件; 判断零点个数还要根据函数的单调性、 对称性或结合函数图象.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.方程|x2-2x|=a2+1 (a>0)的解的个数是 A.1 B. 2 C.3 D.4

(

)

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.方程|x2-2x|=a2+1 (a>0)的解的个数是 A.1 B. 2 C.3 D.4

( B )

解 析
∵a>0,∴a2+1>1.而 y=|x2-2x|的图象如 图,∴y=|x2-2x|的图象与 y=a2+1 的图 象总有两个交点.
∴方程有两解.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.(2011· 福建)若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实 数根,则实数 m 的取值范围是 A.(-1,1) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-2,2) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) ( )

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.(2011· 福建)若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实 数根,则实数 m 的取值范围是 A.(-1,1) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-2,2) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) ( C )

解 析
∵方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,
∴Δ=m2-4>0,∴m>2 或 m<-2.

练出高分
1 2 3

A组
4
1 2

专项基础训练
5 6 7 8 9
?1? -?2?x 的零点的个数为 ? ?

3.(2012· 北京)函数 f(x)= x A.0 B. 1

(

)

C.2

D.3

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4
1 2

专项基础训练
5 6 7 8 9
?1? -?2?x 的零点的个数为 ? ?

3.(2012· 北京)函数 f(x)= x A.0 B. 1

( B )

C.2

D.3

解 析
将函数零点转化为函数图象的交点问题来求解.
在同一平面直角坐标系内作出 y1= x
1 2

?1? 与 y2=?2?x ? ?

的图象如图所示,易知,两函数图象只有一个 交点.
1 2

因此函数 f(x)= x

?1? -?2?x 只有 ? ?

1 个零点.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.已知三个函数 f(x)=2x+x, g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零点依次为 a,b,c,则 ( A.a<b<c C.b<a<c B.a<c<b D.c<a<b )

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.已知三个函数 f(x)=2x+x,

g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 由于 f(-1)=1-1=-1<0,f(0)=1>0, 2 2 的零点依次为 a,b,c,则 且 f(x)为单调递增函数. A.a<b<c C.b<a<c ( B ) 故 f(x)=2x+x 的零点 a∈(-1,0). B.a<c<b ∵g(2)=0,故 g(x)的零点 b=2; D.c<a<b ?1? 1 1 ? ? h?2?=-1+ =- <0,h(1)=1>0, 2 2 ? ?

解 析

且 h(x)为单调递增函数,
故 h(x)的零点
?1 ? ? c∈?2,1? ?,因此 ? ?

a<c<b.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)=2 014x+ log2 014x,则在 R 上,函数 f(x)零点的个数为________.
解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)=2 014x+
3 log2 014x,则在 R 上,函数 f(x)零点的个数为________ . 解 析

函数 f(x)为 R 上的奇函数,因此 f(0)=0,当 x>0 时,f(x) 1 x =2 014 +log2 014x 在区间(0, )内存在一个零点,又 2 014 f(x)为增函数,因此在(0,+∞)内有且仅有一个零点.根 据对称性可知函数在 (-∞,0)内有且仅有一解,从而函 数在 R 上的零点的个数为 3.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.已知函数 f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x- x-1 的零点 分别为 x1, x2, x3, 则 x1, x2, x3 的大小关系是______________.
解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.已知函数 f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x- x-1 的零点

x1<x2<x3 分别为 x1, x2, x3, 则 x1, x2, x3 的大小关系是______________ .
解 析
令 x+2x=0,即 2x=-x,设 y=2x,y=-x;
令 x+ln x=0,即 ln x=-x,设 y=ln x,y=-x.
在同一坐标系内画出 y=2x,y=ln x,y=-x,如图:x1<0<x2<1, 令 x- x-1=0,
则( x)2- x-1=0,

1+ 5 3+ 5 ∴ x= 2 ,即 x3= 2 >1,所以 x1<x2<x3.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.若

2 ? x ? -x-1,x≥2或x≤-1, f(x)=? ? ?1, -1<x<2,

则函数 g(x)=f(x)-x

的零点为____________.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.若

2 ? x ? -x-1,x≥2或x≤-1, f(x)=? ? ?1, -1<x<2,

则函数 g(x)=f(x)-x

1+ 2或 1 . 的零点为____________

解 析
即求 f(x)=x 的根,
? ?x≥2或x≤-1, ∴? 2 ? ?x -x-1=x ? ?-1<x<2, 或? ? ?x=1.

解得 x=1+ 2或 x=1.
∴g(x)的零点为 x=1+ 2或 x=1.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
2

6

7

8

9

2 3 8. (10 分)判断函数 f(x)=4x+x - x 在区间[-1,1]上零点的个数, 3 并说明理由.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
2

6

7

8

9

2 3 8. (10 分)判断函数 f(x)=4x+x - x 在区间[-1,1]上零点的个数, 3 并说明理由.

解 析


2 7 2 13 因为 f(- 1)=-4+1+ =- <0, f(1)= 4+1- = 3 3 3 3

>0, 所以 f(x)在区间[-1,1]上有零点. 又 f′(x)=4+2x-2x2 ? 1 ?2 9 9 = -2?x-2? ,当-1≤x≤1 时,0≤f′(x)≤ ,所以 f(x)在 2 2 ? ? [-1,1]上单调递增.

所以 f(x)在[ -1,1] 上有且只有一个零点.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)已知函数 f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出该零点.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)已知函数 f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出该零点.

解 析

解 ∵f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点,

即方程(2x)2+m· 2x+1=0 仅有一个实根. 设 2x=t (t>0),则 t2+mt+1=0. 当 Δ=0,即 m2-4=0, ∴m=-2 时,t=1;m=2 时,t=-1(不合题意,舍去), ∴2x=1,x=0 符合题意. 当 Δ>0,即 m>2 或 m<-2 时, t2+mt+1=0 有两正根或两负根, 即 f(x)有两个零点或没有零点. ∴这种情况不符合题意. 综上可知,m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

1.(2012· 辽宁)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x), 且当 x∈[0,1]时,f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos(πx)|,则函数 h(x) ? 1 3? =g(x)-f(x)在?-2,2?上的零点个数为 ( ) ? ? A.5 B. 6 C.7 D.8

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5

6

7

1.(2012· 辽宁)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x), 且当 x∈[0,1]时,f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos(πx)|,则函数 h(x) ? 1 3? =g(x)-f(x)在?-2,2?上的零点个数为 ( ) ? ? A.5 B. 6 C.7 D.8

解 析 根据题意,函数 y=f(x)是周期为 2 的偶函数且 0≤x≤1 时,
f(x)=x3, 则当-1≤x≤0 时,f(x)=-x3,且 g(x)=|xcos(πx)|, 所以当 x=0 时,f(x)=g(x).
1 当 x≠0 时,若 0<x≤2,则 x3=xcos(πx),

即 x2=cos πx.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5

6

7

1.(2012· 辽宁)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x), 且当 x∈[0,1]时,f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos(πx)|,则函数 h(x) ? 1 3? =g(x)-f(x)在?-2,2?上的零点个数为 (B ) ? ? A.5 B. 6 C.7 D.8

解 析
? 1 3? 再根据函数性质画出?-2,2?上的图象,在同一个坐标系中作 ? ?

出所得关系式等号两边函数的图象,如图所示,有 5 个根.所 以总共有 6 个.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5

6

7

2.(2011· 陕西)函数 f(x)= x-cos x 在[0,+∞)内 A.没有零点 C.有且仅有两个零点 B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点

(

)

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5

6

7

2.(2011· 陕西)函数 f(x)= x-cos x 在[0,+∞)内 A.没有零点 C.有且仅有两个零点 B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点

( B )

解 析
在同一直角坐标系中分别作出函数 y= x 和 y=cos x 的图象,如图,由于 x>1 时, y= x>1,y=cos x≤1,所以两图象只有 一个交点,即方程 x-cos x=0 在[0, +∞)内只有一个根,所以 f(x)= x-cos x 在[0,+∞)内只有 一个零点,所以选 B.

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

3.若对于定义在 R 上的函数 f(x),其图象 是连续的,且存在常数 λ(λ∈R),使得 f(x+λ)+λf(x)=0 对任意的实数 x 成 立,则称 f(x)是“λ-同伴函数”.下 列关于“λ-同伴函数”的叙述中正确 的是 ( ) 1 A.“ -同伴函数”至少有一个零点 2 B.f(x)=x2 是一个“λ-同伴函数” C. f(x)=log2x 是一个“λ-同伴函数” D.f(x)=0 是唯一一个常值“λ-同伴 函数”

解 析

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6
? ? ? ?

7

3.若对于定义在 R 上的函数 f(x),其图象

1? 1 ? A 正确 , 令 x = 0, 得 f + f(0)= 是连续的,且存在常数 λ(λ∈R),使得 2? 2 ?

解 析

?1? f(x+λ)+λf(x)=0 对任意的实数 x 成 1 ? 0,所以 f? =- f(0). 若 f(0)=0, ? ? 2 2 ? ? 立,则称 f(x)是“λ-同伴函数”.下

列关于“λ-同伴函数”的叙述中正确 显然 f(x)=0 有实数根;若 ? ? 1? 1 2 的是 ( ) f(0)≠0, f? f (0) =- ( f (0)) <0. ? ?· 2 ?2? 1 A.“ -同伴函数”至少有一个零点 又因为函数 f(x) 的图象是连续 2 ? 1? B.f(x)=x2 是一个“λ-同伴函数” ? 不断的,所以 f(x)=0 在?0,2? ?上 ? ? C. f(x)=log2x 是一个“λ-同伴函数”
函数”至少有一个零点.

D.f(x)=0 是唯一一个常值“λ-同伴 必有实数根 , 即任意 “ 1 -同伴 2 函数”

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

3.若对于定义在 R 上的函数 f(x),其图象 是连续的,且存在常数 λ(λ∈R),使得 f(x+λ)+λf(x)=0 对任意的实数 x 成 立,则称 f(x)是“λ-同伴函数”.下 列关于“λ-同伴函数”的叙述中正确 的是 ( ) 1 A.“ -同伴函数”至少有一个零点 2 B.f(x)=x2 是一个“λ-同伴函数” C. f(x)=log2x 是一个“λ-同伴函数” D.f(x)=0 是唯一一个常值“λ-同伴 函数”

解 析
B 错误,用反证法,假设 f(x) = x2 是一个 “λ -同 伴函数 ” ,则 (x + λ)2 + λx2=0,即(1+λ)x2+2λx +λ2=0 对任意实数 x 成 立,所以 λ + 1 = 2λ = λ2 =0,而此式无解,所以 f(x) = x2 不是一个 “λ - 同伴函数”.

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

3.若对于定义在 R 上的函数 f(x),其图象

解 析 是连续的,且存在常数 λ(λ∈R),使得 C 错误,因为 f(x)= log x 2 f(x+λ)+λf(x)=0 对任意的实数 x 成 的定义域不是 R. 立,则称 f(x)是“λ-同伴函数”.下 列关于“λ-同伴函数”的叙述中正确 D 错误,设 f(x)=C 是一个 的是 ( A ) “λ-同伴函数”,则(1+ 1 A.“ -同伴函数”至少有一个零点 λ)C=0,当 λ=-1 时,可 2 以取遍实数集,因此 f(x)= B.f(x)=x2 是一个“λ-同伴函数” C. f(x)=log2x 是一个“λ-同伴函数” 0 不是唯一一个常值“λ- D.f(x)=0 是唯一一个常值“λ-同伴 同伴函数”. 函数”

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

4.用二分法求方程 x2=2 的正实根的近似解(精确度 0.001)时,如 果我们选取初始区间[1.4,1.5], 则要达到精确度要求至少需要计 算的次数是________.

解 析

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

4.用二分法求方程 x2=2 的正实根的近似解(精确度 0.001)时,如 果我们选取初始区间[1.4,1.5], 则要达到精确度要求至少需要计

7 算的次数是________ .
解 析
1.5-1.4 设至少需要计算 n 次, 由题意知 <0.001, 2n 即 2n>100,由 26=64,27=128 知 n=7.

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

5.已知函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(-x+2)=f(-x),当 x∈[-1,1] 时,f(x)=|x|,则 y=f(x)与 y=log7x 的交点的个数为_______.

解 析

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

5.已知函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(-x+2)=f(-x),当 x∈[-1,1] 时,f(x)=|x|,则 y=f(x)与 y=log7x 的交点的个数为_______ . 6

解 析
因为 f(-x+2)=f(-x),所以 y=f(x)为周期函数,其周期为 2.
在同一直角坐标系中,画出函数 y=f(x)和 y=log7x 的图象如图,

当 x=7 时,f(7)=1,log77=1,故 y=f(x)与 y=log7x 共有 6 个交点.

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

6.已知函数

x ? ?2 -1,x>0, f(x)=? 2 ? ?-x -2x,x≤0,

若函数 g(x)=f(x)-m 有 3

个零点,则实数 m 的取值范围是________.

解 析

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

6.已知函数

x ? ?2 -1,x>0, f(x)=? 2 ? ?-x -2x,x≤0,

若函数 g(x)=f(x)-m 有 3

(0,1) . 个零点,则实数 m 的取值范围是________ 解 析
x ? ?2 -1,x>0 f(x)=? 2 ? ?-x -2x,x≤0

画出

的图象,如图.

由函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,结合图象得:0<m<1, 即 m∈(0,1).

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

7. (13 分)(1)m 为何值时, f(x)=x2+2mx+3m+4.①有且仅有一个 零点;②有两个零点且均比-1 大;

解 析

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

7. (13 分)(1)m 为何值时, f(x)=x2+2mx+3m+4.①有且仅有一个 零点;②有两个零点且均比-1 大; 解 (1)①函数 f(x)有且仅有一个零点?方程 f(x)=0 有两个相 解 等实根?Δ=0,即 4m2-4(3m+4)=0,即 m2-3m-4=0, 析 ∴m=4 或 m=-1. ②设 f(x)的两个零点分别为 x1,x2, 则 x1+x2=-2m,x1· x2=3m+4. ?Δ=4m2-4?3m+4?>0 ?m2-3m-4>0 ? ? 由题意,有 ??x1+1??x2+1?>0 ? ?3m+4-2m+1>0 ? ??x +1?+?x +1?>0 ?-2m+2>0 ? 1 ? 2
?m>4或m<-1, ? ?m>-5, ?m<1, ?

∴-5<m<-1.故 m 的取值范围为(-5, -1).

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

7. (2)若函数 f(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点, 求实数 a 的取值范围.

解 析

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

7. (2)若函数 f(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点, 求实数 a 的取值范围.

解 析
解 (2)令 f(x)=0,

得|4x-x2|+a=0, 即|4x-x2|=-a. 令 g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.
作出 g(x)、h(x)的图象.

由图象可知,当 0<-a<4,即-4<a<0 时,g(x)与 h(x)的图象 有 4 个交点,即 f(x)有 4 个零点.

故 a 的取值范围为(-4,0).