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高考数学二轮复习专题对点练14数列与数列不等式的证明及数列中的存在性问题理-含答案


专题对点练 14 数列与数列不等式的证明及数列中的存在性问题 1.若数列{an}满足:a1= ,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2. (1)证明:数列{an+1-an}是等差数列; (2)求使 +?+ 成立的最小的正整数 n. (1)证明 由 3(an+1-2an+an-1)=2 可得 an+1-2an+an-1= , 即(an+1-an)-(an-an-1)= , 故数列{an+1-an}是以 a2-a1= 为首项, 为公差的等差数列. (2)解 由(1)知 an+1-an= (n-1)= (n+1), 于是累加求和得 an=a1+ (2+3+?+n)= n(n+1), ∴ =3 . ∴ +?+ =3- , ∴n>5.∴最小的正整数 n 为 6. 2.(2017 广东揭阳二模,理 17)已知数列{an},a1=1,an+1= +n+1. (1)求证:数列 是等比教列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. (1)证明 ∵an+1= +n+1, ∴ =2× +1,∴ +1=2× , 1 ∴数列 是等比教列,公比为 2,首项为 2. (2)解 由(1)可得 +1=2 ,可得 an=n·2 -n. 设数列{n·2 }的前 n 项和为 Tn, 2 3 n 则 Tn=2+2×2 +3×2 +?+n·2 , 2 3 n n+1 2Tn=2 +2×2 +?+(n-1)·2 +n·2 , 两式相减可得-Tn=2+2 +?+2 -n·2 = 2 n n n n n+1 -n·2n+1, ∴Tn=(n-1)·2n+1+2. ∴Sn=(n-1)·2n+1+2. 3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=1+λ an,其中 λ ≠0. (1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式; (2)若 S5= ,求 λ . 解 (1)由题意得 a1=S1=1+λ a1,故 λ ≠1,a1= ,a1≠0. 由 Sn=1+λ an,Sn+1=1+λ an+1 得 an+1=λ an+1-λ an, 即 an+1(λ -1)=λ an. 由 a1≠0,λ ≠0 得 an≠0,所以 . 因此{an}是首项为 ,公比为 的等比数列, 于是 an= . (2)由(1)得 Sn=1- .由 S5= 得 1- ,即 .解得 λ =-1. n 4.(2017 吉林白山二模,理 17)在数列{an}中,设 f(n)=an,且 f(n)满足 f(n+1)-2f(n)=2 (n∈ * N ),且 a1=1. (1)设 bn= ,证明数列{bn}为等差数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. n (1)证明 由已知得 an+1=2an+2 , 2 ∴bn+1= +1=bn+1, ∴bn+1-bn=1.又 a1=1,∴b1=1, ∴{bn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列. (2)解 由(1)知,bn= =n,∴an=n·2n-1. ∴Sn=1+2×21+3×22+?+n·2n-1, 1 2 n-1 n 2Sn=1×2 +2×2 +?+(n-1)·2 +n·2 , 1 2 n-1 n n n n 两式相减得-Sn=1+2 +2 +?+2 -n·2 =2 -1-n·2 =(1-n)2 -1, ∴Sn=(n-1)·2n+1. * 5.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N ),其中 m 为常数,且 m≠-3. (1)

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