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2016-2017学年高中数学阶段质量评估2新人教A版选修2-3资料


2016-2017 学年高中数学 阶段质量评估 2 新人教 A 版选修 2-3
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设离散型随机变量 X 的分布列为:

X P
则 p 的值为( A. C. 1 2 1 3 )

1 1 6

2 1 3

3 1 6

4

p

B. D.

1 4 1 6

?1 1 1? 1 解析: 由分布列的性质得 p=1-? + + ?= , ?6 3 6? 3
故选 C. 答案: C 2.(2015·河北省衡水中学高二上学期期末考试)10 件产品,其中 3 件是次品,任取 2 件,若 ξ 表示取到次品的个数,则 E(ξ )等于( A. C. 3 5 14 15 B. 8 15 )

D.1

解析: 由题意知,随机变量 ξ 服从超几何分布, 所以其分布列为 ξ 0 7 15 1 7 15 2 1 15

P

7 7 1 3 ∴E(ξ )=0× +1× +2× = , 15 15 15 5 故选 A. 答案: A 3.如图,用 K,A1,A2 三类不同的元件连接成一个系统.当 K 正常工作且 A1,A2 至少有 一个正常工作时,系统正常工作,已知 K,A1,A2 正常工作的概率依次为 0.9,0.8,0.8.则系 统正常工作的概率为( )

1

A.0.960 C.0.720

B.0.864 D.0.576

解析: 由已知 P=P(K A 1A2)+P(K A 2A1)+P(KA1A2)=0.9×0.2×0.8+0.9×0.2×0.8 +0.9×0.8×0.8=0.864.故选 B. 答案: B 1 4. 已知离散型随机变量 X 等可能取值 1,2,3, ?, n, 若 P(1≤X≤3)= , 则 n 的值为( 5 A.3 C.10 B.5 D.15 )

1 解析: 由已知 X 的分布列为 P(X=k)= ,k=1,2,3,?,n,

n

3 1 ∴P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)= = ,∴n=15. n 5 答案: D 5. 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2, σ ). 且 P(ξ <4)=0.8, 则 P(0<ξ <2)等于( A.0.6 C.0.3 B.0.4 D.0.2
2

)

解析: 由题意知正态曲线对称轴为 x=2, 设 P(0<ξ <2)=y, 1-2y 则 P(ξ <0)= , 2 ∴P(ξ <4)=P(ξ <0)+P(0<ξ <2)+P(2<ξ <4) = 1-2y +2y=0.8, 2

∴y=0.3. 故选 C. 答案: C 6.(2015·银川一中模拟)已知随机变量 X 服从二项分布,且 E(X)=2.4,D(X)=1.44, 则二项分布的参数 n,p 的值为( A.n=4,p=0.6 C.n=8,p=0.3 ) B.n=6,p=0.4 D.n=24,p=0.1

2

解析: 由题意得? 答案: B

?np=2.4 ? ?np?1-p?=1.44, ?

解得?

?n=6, ? ?p=0.4. ?

7.两台相互独立工作的电脑,产生故障的概率分别为 a,b,则产生故障的电脑台数的 均值为( A.ab C.1-ab ) B.a+b D.1-a-b

解析: 设产生故障的电脑台数为随机变量 X,则 X 的取值为 0,1,2,其分布列为:

X P

0 (1-a)(1-b)

1

2

a(1-b)+(1-a)b

ab

∴E(X)=a(1-b)+(1-a)b+2ab =a-ab+b-ab+2ab =a+b, 故选 B. 答案: B 8.(2015·雅安市下学期高二期末检测)甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题,如果 三人分别完成的概率依次是 P1,P2,P3,那么至少有一人解决这道题的概率是( A.P1+P2+P3 B.1-(1-P1)(1-P2)(1-P3) C.1-P1P2P3 D.P1P2P3 解析: 设“至少有一人解决这道题”为事件 A,则 A 表示“没有一人解决这道题”, 由相互独立事件公式得 )

P( A )=(1-P1)(1-P2)(1-P3),
∴P(A)=1-(1-P1)(1-P2)(1-P3), 故选 B. 答案: B 9.节日期间,某种鲜花进货价是每束 2.5 元,销售价是每束 5 元;节日卖不出去的鲜 花以每束 1.6 元价格处理. 根据前五年销售情况预测, 节日期间这种鲜花的需求量 X 服从如 表所示的分布列:

X P

200 0.20

300 0.35

400 0.30 )

500 0.15

若进这种鲜花 500 束,则利润的均值为(

3

A.706 元 C.754 元

B.690 元 D.720 元

解析: ∵E(X)=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=340, ∴利润的均值为 340×(5-2.5)-(500-340)×(2.5-1.6)=706(元),故选 A. 答案: A 10.已知一次考试共有 60 名同学参加,考生成绩 X~N(110,5 ),据此估计,大约有 57 人的分数所在的区间为( A.(90,100] C.(100,120] 解析: ∵X~N(110,5 ), ∴μ =110,σ =5, ∴ 57 =0.95≈P(μ -2σ <X≤μ +2σ )=P(100<X≤120). 60
2 2

) B.(95,125] D.(105,115]

答案: C 11. 已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡, 这些灯泡的外形与功率都相同且灯口 向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第 1 次抽到 的是螺口灯泡的条件下,第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为( A. C. 3 10 7 8 B. D. 2 9 7 9 )

解析: 设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡”, 事件 B 为“第 2 次抽到的是卡口灯 3 3 7 7 泡”,则 P(A)= ,P(AB)= × = .在已知第 1 次抽到螺口灯泡的条件下,第 2 次抽到 10 10 9 30 7 30 P?AB? 7 卡口灯泡的概率为 P(B|A)= = = . P?A? 3 9 10 答案: D 12.已知随机变量 ξ 的分布列为: ξ -1 1 2 ) B. 5 2 0 1 8 1 3 8

P

又变量 η =4ξ +3,则 η 的期望是( A. 7 2

4

C.-1

D.1

1 1 3 1 解析: E(ξ )=-1× +0× +1× =- 2 8 8 8

E(η )=4E(ξ )+3=4×?- ?+3= . 8
答案: B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.某灯泡厂生产大批灯泡,其次品率为 1.5%,从中任意地陆续取出 100 个,则其中 正品数 X 的均值为________个,方差为________. 解析: 由题意可知 X~B(100,98.5%) ∴E(ξ )=np=100×98.5%=98.5,

? 1? ? ?

5 2

D(ξ )=np(1-p)=100×98.5%×1.5%=1.477 5.
答案: 98.5 1.477 5 14.某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯闪 1 1 烁的概率是 ,两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为 .则在第一次闭合后出现红灯闪烁的条 2 6 件下,第二次出现红灯闪烁的概率是________. 解析: 第一次闭合后出现红灯闪烁记为事件 A,第二次闭合后出现红灯闪烁记为事件

B,
1 1 则 P(A)= ,P(AB)= , 2 6 1 6 1 所以 P(B|A)= = . 1 3 2 答案: 1 3

15. (2015·北京市朝阳区高二第二学期期末测试)接种某疫苗后, 经过大量的试验发现, 1 出现发热反应的概率为 , 现有 3 人接种该疫苗, 恰有一人出现发热反应的概率为________. 5 1 解析: 3 人接种该疫苗相当于做了 3 次独立重复试验,其成功概率为 ,因此恰有一 5 人出现发热反应的概率为 48 1?1? ?4?2 C3? ?? ? = . ?5??5? 125 答案: 48 125

5

16. (2015·福州地区八县一中高二期末联考)一袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球, 给出下列结论: 3 ①从中任取 3 球,恰有一个白球的概率是 ; 5 4 ②从中有放回的取球 6 次,每次任取一球,则取到红球次数的方差为 ; 3 ③从中不放回的取球 2 次,每次任取 1 球,则在第一次取到红球后,第二次再次取到红 2 球的概率为 ; 5 26 ④从中有放回的取球 3 次,每次任取一球,则至少有一次取到红球的概率为 . 27 其中所有正确结论的序号是________. C2C4 3 解析: ①恰有一个白球的概率 P= 3 = ,故①正确;②每次任取一球,取到红球次 C6 5 2 ? 2? 4 ? 2? 数 X~B?6, ?,其方差为 6× ×?1- ?= ,故②正确; 3 ? 3? 3 ? 3? ③设 A={第一次取到红球},B={第二次取到红球}, 2 4×3 2 则 P(A)= ,P(AB)= = , 3 6×5 5 ∴P(B|A)=
1 2

P?AB? 3 = ,故③错; P?A? 5

2 ④每次取到红球的概率 P= , 3 所以至少有一次取到红球的概率为

? 2?3 26 1-?1- ? = ,故④正确. ? 3? 27
答案: ①②④ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(本小题满分 12 分)一批产品分一、二、三级,其中一级品的数量是二级品的两倍, 三级品的数量是二级品的一半, 从这批产品中随机抽取一个检查其品级, 用随机变量描述检 验的可能结果,写出它的分布列. 解析: 设二级品有 2n 个, 则一级品有 4n 个,三级品有 n 个. 一级品占总数的 4n 4 = , 4n+2n+n 7

6

2n 2 二级品占总数的 = , 4n+2n+n 7 1 三级品占总数的 . 7 又设 X=k 表示取到的是 k 级品(k=1,2,3), 4 2 1 则 P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= , 7 7 7 ∴X 的分布列为:

X P

1 4 7

2 2 7

3 1 7

18.(本小题满分 12 分)甲投篮命中率为 0.8,乙投篮命中率为 0.7,每人投 3 次,两人 恰好都命中 2 次的概率是多少? 解析: 设“甲恰好投中两次”为事件 A,“乙恰好投中两次”为事件 B,且 A,B 相互 独立,则两人都恰好投中两次为事件 AB,于是

P(AB)=P(A)×P(B)
=C3×0.8 ×0.2+C3×0.7 ×0.3 =0.384+0.441=0.825. 19.(本小题满分 12 分)袋中有 6 个黄色、4 个白色的乒乓球,做不放回抽样,每次任 取一球,取 2 次,求第二次才取到黄色球的概率. 解析: 记“第一次取到白球”为事件 A,“第二次取到黄球”为事件 B,“第二次才 取到黄球”为事件 C,
2 2 2 2

P(C)=P(AB)=P(A)P(B|A)
= 4 6 4 × = . 10 9 15

20. (本小题满分 12 分)一批电池用于 1 节电池的手电筒的寿命是服从均值为 35.6 小时、 标准差为 4.4 小时的正态分布的.随机从这批电池中取一节电池装在手电筒中,问:这节电 池可持续使用不少于 40.0 小时的概率是多少?(参考数据:P(|x-μ |<σ )=0.682 6,P(|x -μ |<2σ )=0.954 4,P(|x-μ |<3σ )=0.997 4) 解析: 用 X 表示电池的使用寿命, 由题意知,X~N(35.6,4.4 ), 从而 P(X≥40.0)=P(X≥35.6+4.4) 1 = [1-P(35.6-4.4<X<35.6+4.4)] 2 1 = (1-0.682 6) 2
7
2

=0.158 7. 21. (本小题满分 13 分)某迷宫有三个通道, 进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门. 首 次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道,若是 1 号通道,则需要 1 小时走出 迷宫;若是 2 号、3 号通道,则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门.再次到达智能门时, 系统会随机打开一个你未到过的通道, 直至走出迷宫为止. 令 ξ 表示走出迷宫所需的时间. (1)求 ξ 的分布列; (2)求 ξ 的数学期望. 解析: (1)必须要走到 1 号门才能走出,ξ 可能的取值为 1,3,4,6.

P(ξ =1)= , P(ξ =3)= × = , P(ξ =4)= × = ,
1 ?1 1? P(ξ =6)=2×? × ?×1= . 1 1 3 2 1 6 1 1 3 2 1 6

1 3

?3 2?

3

∴ξ 的分布列为: ξ 1 1 3 3 1 6 4 1 6 6 1 3

P

1 1 1 1 7 (2)E(ξ )=1× +3× +4× +6× = . 3 6 6 3 2 22.(本小题满分 13 分)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利, 1 2 比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设 2 3 各局比赛结果相互独立. (1)分别求甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 胜利的概率; (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比赛结果为 3∶2, 则胜利方得 2 分,对方得 1 分.求乙队得分 X 的分布列及数学期望. 解析: (1)记“甲队以 3∶0 胜利”为事件 A1,“甲队以 3∶1 胜利”为事件 A2,“甲 队以 3∶2 胜利”为事件 A3, 由题意知,各局比赛结果相互独立,

?2?3 8 故 P(A1)=? ? = , ?3? 27
2 P(A2)=C2 , 3? ? ?1- ?× = 3 3

?2? ? ? ??

2?

2

8

? 3 27

8

2 2 P(A3)=C2 . 4? ? ?1- ? × = 3 3

?2? ? ? ??

2?

?

1 4 2 27

8 4 所以甲队以 3∶0 胜利、以 3∶1 胜利的概率都为 ,以 3∶2 胜利的概率为 . 27 27 (2)设“乙队以 3∶2 胜利”为事件 A4, 由题意知,各局比赛结果相互独立, 2?2?2?2 ? 1? 4 2? 所以 P(A4)=C4?1- ? ? ? ×?1- ?= . ? 3? ?3? ? 2? 27 由题意知,随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3, 根据事件的互斥性得

P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)= .
4 又 P(X=1)=P(A3)= , 27

16 27

P(X=2)=P(A4)= , P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)= ,
故 X 的分布列为 3 27

4 27

X P

0 16 27

1 4 27

2 4 27

3 3 27

16 4 4 3 7 所以 E(X)=0× +1× +2× +3× = . 27 27 27 27 9

9


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