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山西省山大附中2015届高三上学期期中考试 数学理


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山西大学附中 2014 年高三第一学期月考

数学试题(理)
考查内容:高中全部 一.选择题(5×12=60 分) 1.已知集合 A ? x log 2 x ? 0 ,集合 B ? x 0 ? x ? 1 ,则 A ? B =( A. x x ? 0?

?

?

?

?

) D. ?

?

B.

? x x ? 1?

C.

?x 0 ? x ? 1或x ? 1?


2.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a2 ? a4 ? 6 ,则 S 5 等于( A.10 B.12 C.15 D.30

? 1 ?x 2 , x ? 0 3.已知函数 f ( x) ? ? , 则 f [ f (?4)] ? 1 ?( ) x , x ? 0 ? 2 1 A. ? 4 B. ? C. 4 4
4.下列命题错误的是( )

(

)

D. 6

A. 命题“若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的逆否命题为 “若 x, y 中至少有一个不为 0 则 x 2 ? y 2 ? 0 ”;
2 B. 若命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;

2

C. ?ABC 中, sin A ? sin B 是 A ? B 的充要条件; D. 若 向 量 a, b 满 足 a ? b ? 0 , 则 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 . 5.右图给出的是计算 件是( ) A. i ? 50

? ?

? ?

?

?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ... ? 的一个程序框图,其中判断框内应填入的条 2 4 6 8 100
C. i ? 25 D. i ? 25 )

B. i ? 50

6. 已知a, b ? R ? 且a ? b, x ? A. x ? y 7. 曲线 y ? B. x ? y

a? b , y ? a ? b,则x, y的大小关系是( 2 C. x ? y D.视 a , b 的值而定

x 在点(1,-1)处的切线方程为( ) x?2 A. y ? ?2 x ? 3 B. y ? ?2 x ? 3 C. y ? ?2 x ? 1
8.若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x ?
2

D. y ? 2 x ? 1

y2 ? 1的离心率是( ) m 3 3 5 3 A. B. 5 C. 或 D. 或 5 2 2 2 2 9. 已知函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) (? ? 0) 为偶函数,0 ? ? ? ? ,其图象与直线 y ? 2 的某两个 交点的横坐标为 x1 , x 2 ,若| x2 ? x1 |的最小值为 ? ,则( )

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A. ? ? 2,? ?

? 2 1 ? C. ? ? ,? ? 2 2

B. ? ?

1 ? ,? ? 2 4

D. ? ? 2,? ?

? 4

10. 一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示, 则这个四棱锥的体积是( A.1 B. 2 ) C.3 D. 4

11.已知平面区域
? y ≤ x ? 1? ? y ≤ ? | x | ?1? ? ? ? ? {( x , y ) ? y ≥ 0 ? , M ? {( x , y) ? ?, ?y≥0 ? ? x ≤1 ? ? ?

向区域 ? 内随机投一点 P ,点 P 落在区域 M 内的概率为( 1 1 1 A. B. C. 4 2 3 12.已知函数

) D.
2 3

ex e 2e 2012e , 若f( )+f( )+ ? +f( )=503(a ? b), 则a 2 ? b 2 e? x 2013 2013 2013 的最小值为( ) f ( x) ? ln
A.6 B.8 二.填空题(5×4=20 分) C.9 D.12

13.已知复数 z 满足 (1 ? i) ? z ? 1 ,则 z ? _____.

? ? ? ? ? ? 14.已知 | a |? 2 , | b |? 3 , a , b 的夹角为 60°,则 | 2a ? b |?



15. 设直线 l 与球 O 有且只有一个公共点 P ,从直线 l 出发的两个半平面 ? , ? 截球 O 的两个

? , 则球 O 的表面积为 2 16.已知数列 {an } 的通项公式为 an ? ?n ? p ,数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 2n ?5 ,设 ?an , an ? bn ,若在数列 {cn } 中, c8 ? cn (n ? N ? , n ? 8) ,则实数 p 的取值范围 cn ? ? ?bn , an ? bn
截面圆的半径分别为 1 和 3 , 二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 是 .

.

三.解答题(写出必要的文字说明和解答过程,共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 公差不为零的等差数列 {an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 an ? bn?1 ? bn , b1 ? 1 ,求数列 {bn } 的通项公式

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18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的 10 道题中,甲答对其中每道题的概率都是

3 , 5

乙能答对其中的 5 道题.规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试, 答对一题加 10 分,答错一题(不答视为答错)减 5 分,至少得 15 分才能入选. (1)求乙得分的分布列和数学期望; (2)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.

19. (本小题满分 12 分) 在如图所示的空间几何体中, 平面 ACD ? 平面 ABC ,?ACD 与 ?ACB 是边长为 2 的等边 三角形, BE ? 2 , BE 和平面 ABC 所成的角为 60 ? ,且点 E 在平面 ABC 上的射影落在 ?ABC 的平分线上. (Ⅰ)求证: DE // 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值.

第 19 题图 20. (本小题满分 12 分) 3 x2 y 2 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,长轴端点与短轴端点间的距离为 5 . 2 a b (1)求椭圆 C 的方程; (2)设过点 D (0, 4) 的直线 l 与椭圆 C 交于 E , F 两点,O 为坐标原点,若 ?OEF 为直角三 角形,求直线 l 的斜率.

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? ln x ? (1)当 a ? b ?

1 2 ax ? bx. 2

1 时,求函数 f ?x ? 的单调区间; 2 1 2 a (2)令 F ? x ? ? f ? x ? ? ax ? bx ? ?0 < x ≤ 3 ? ,其图像上任意一点 P ?x0 , y0 ? 处切线的 2 x 1 斜率 k ≤ 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2 2 (3)当 a ? 0, b ? ?1 时,方程 f ?x ? ? mx在区间 1, e 内有唯一实数解,求实数 m 的取值

? ?

范围。

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选做题(在 22、23、24 三题中任选一题做答) 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲: 如图所示, 已知 PA 与⊙ O 相切,A 为切点, 过点 P 的割线交圆于 B, C 两点, 弦 CD // AP ,

AD, BC 相交于点 E , F 为 CE 上一点,且 DE 2 ? EF ? EC . (Ⅰ)求证: CE ? EB ? EF ? EP ; (Ⅱ)若 CE : BE ? 3 : 2, DE ? 3, EF ? 2 ,求 PA 的长.

第 22 题图 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程: 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴, 且两个坐标系取相等的长度单位. 已 知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t cos? ( t 为参数, 0 ? ? ? ? ),曲线 C 的极坐标方程为 ? y ? t sin ?

? sin 2 ? ? 4 cos? .
(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,当 ? 变化时,求 AB 的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲: 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? log2 (a ? 3a) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

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山西大学附中 2014 年高三第一学期月考

数学试题(理)答案
一.选择题(5×12=60) A C C D 二.填空题(5×4=20) C A D B B C A B

1+ i 2

13

16?

(12,17)

三.解答题(共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) an ? 3n ? 2 . (Ⅱ) bn ?

??6 分 ??12 分

3n ? 7n ? 6 . 2
2

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设乙答题所得分数为 X ,则 X 的可能取值为 ?15, 0,15,30 .??????1 分

P( X ? ?15) ? P( X ? 15) ?
X
P

C3 1 5 ? ; 3 C10 12

P( X ? 0) ?

2 1 C5 C5 5 ? ; 3 C10 12

2 C1 5 5C5 ? ; 3 C10 12

P( X ? 30) ?
0
5 12

C3 1 5 ? . 3 C10 12
15
5 12

??????5 分

乙得分的分布列如下:

?15
1 12

30
1 12
??????6



1 5 5 1 15 ? (?15) ? ? 0 ? ? 15 ? ? 30 ? . ??????7 分 12 12 12 12 2 (Ⅱ)由已知甲、乙至少答对 2 题才能入选,记甲入选为事件 A ,乙入选为事件 B . 3 3 81 2 3 2 2 则 P( A) ? C3 ( ) ( ) ? ( ) ? , ??????9 分 5 5 5 125 5 1 1 P( B) ? ? ? . ??????11 分 12 12 2 44 1 103 ? ? 故甲乙两人至少有一人入选的概率 P ? 1 ? P( A ? B ) ? 1 ? . ??12 分 125 2 125 EX ?
19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意知, ?ABC , ?ACD 都是边长为 2 的等边三角形,取 AC 中点 O ,连接 BO, DO ,则 BO ? AC , DO ? AC ,????????2 分 又∵平面 ACD ⊥平面 ABC ,∴ DO ⊥平面 ABC ,作 EF ⊥平面 ABC , 那么 EF // DO ,根据题意,点 F 落在 BO 上, ∴ ?EBF ? 60? ,易求得 EF ? DO ? 3 ,????4 分 ∴四边形 DEFO 是平行四边形,∴ DE // OF ,∴ DE // 平面 ABC ????6 分
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(Ⅱ)解法一:作 FG ? BC ,垂足为 G ,连接 EG , ∵ EF ⊥平面 ABC ,∴ EF ? BC ,又 EF ? FG ? F , ∴ BC ? 平 面 EFG , ∴ EG ? BC , ∴ ?EGF 就 是 二 面 角 E ? BC ? A 的 平 面 角.????9 分

1 13 , EF ? 3 , EG ? . 2 2 FG 13 13 ∴ cos?EGF ? .即二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 .???12 分 ? EG 13 13 解法二:建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz ,可知平面 ABC 的一个法向量为
Rt ?EFG 中, FG ? FB ? sin 30? ?

n1 ? (0,0,1)
设平面 BCE 的一个法向量为 n2 ? ( x, y, z) 则, ?

? ?n2 ? BC ? 0 ? ?n2 ? BE ? 0

可求得 n2 ? (?3, 3,1) .??????9 分

所以 cos ? n1 , n2 ??

又 由 图 知 , 所 求 二 面 角 的 平 面 角 是 锐 角 , 所 以 二 面 角 E ? BC ? A 的 余 弦 值 为

n1 ? n2 13 , ? | n1 | ? | n2 | 13

13 .??12 分 13
20. (本小题满分 12 分) c 3 , a 2 ? b 2 ? 5 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a 2 ? 4, b2 ? 1, (Ⅰ)由已知 ? a 2 x2 所以椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 ;??????4 分 4 (Ⅱ) 根据题意,过点 D(0, 4) 满足题意的直线斜率存在,设 l : y ? kx ? 4 ,
? x2 2 ? ? y ?1 联立 ? 4 ,消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 32kx ? 60 ? 0 , ? y ? kx ? 4 ?
??0 ? ? (32k )2 ? 240(1 ? 4k 2 ) ? 64k 2 ? 240 , 令 15 ??????7 分 k2 ? . 4 设 E 、 F 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) , ⅰ)当 ?EOF 为直角时, 32k 60 则 x1 ? x2 ? ? , , x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ??? ? ??? ? 因为 ?EOF 为直角,所以 OE ? OF ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,







所以 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0 ,

15 ? (1 ? k 2 ) 32k 2 ? ? 4 ? 0 ,解得 k ? ? 19 .??????9 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ⅱ)当 ?OEF 或 ?OFE 为直角时,不妨设 ?OEF 为直角, y y ?4 ? ?1 ,即 x12 ? 4 y1 ? y12 ??① 此时, kOE ? k ? 1 ,所以 1 ? 1 x1 x1
所以 又
x12 ? y12 ? 1 ????② 4
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将①代入②,消去 x1 得 3 y12 ? 4 y1 ? 4 ? 0 , 2 解得 y1 ? 或 y1 ? ?2 (舍去) , 3 y ?4 2 2 ?? 5, 将 y1 ? 代入①,得 x1 ? ? 5, 所以 k ? 1 x1 3 3 经检验,所求 k 值均符合题意。 ??????11 分 综上,k 的值为 ? 19 和 ? 5 . ??????12 分

22. (本小题满分 10 分)
2 解: (Ⅰ)∵ DE ? EF ? EC , ?DEF ? ?DEF

∴ ?DEF ∽ ?CED ,∴ ?EDF ? ?C ????????2 分 又∵ CD // AP ,∴ ?P ? ?C , ∴ ?EDF ? ?P , ?DEF ? ?PEA EA EP ? ∴ ?EDF ∽ ?EPA , ∴ , ∴ EA ? ED ? EF ? EP ????4 分 EF ED 又∵ EA ? ED ? CE ? EB ,∴ CE ? EB ? EF ? EP .????????5 分
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( Ⅱ ) ∵ DE ? EF ? EC , DE ? 3, EF ? 2
2

∴ EC ?

9 , ∵ CE : BE ? 3 : 2 2

∴ BE ? 3 由(1)可知: CE ? EB ? EF ? EP ,解得 EP ? ∴ BP ? EP ? EB ?
27 .????????7 分 4

15 2 . ∵ PA 是⊙ O 的切线,∴ PA ? PB ? PC 4 15 27 9 15 3 ∴ PA 2 ? ? ( ? ) ,解得 PA ? .????????10 分 4 4 2 4
23. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由 ? sin 2 ? ? 4 cos? ,得 ( ? sin ? ) 2 ? 4? cos? 所以曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 4 x .????????5 分
2 (Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入 y ? 4 x ,得 t sin ? ? 4t cos? ? 4 ? 0 .
2 2

设 A 、 B 两点 对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 t1 ? t 2 ?
2

4 cos ? 4 , t1 t 2 ? ? , 2 sin ? sin 2 ?

16cos2 ? 16 4 ∴ AB ? t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) ? 4t1t 2 ? , ? ? 4 2 sin ? sin ? sin 2 ? ? 当 ? ? 时, AB 的最小值为 4. ????????10 分 2
24. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)原不等式等价于

3 3 1 ? ? 1 ? ?x ? ?? ? x ? ?x ? ? 或? 或? 2 2 2 2 ? ? ? ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?? (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 3 1 3 1 解得: ? x ? 2或 ? ? x ? 或 ? 1 ? x ? ? . 2 2 2 2 即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} . ????????5 分 2 2 (Ⅱ)不等式 f ( x) ? log2 (a ? 3a) ? 2 等价于 log2 (a ? 3a) ? 2 ? | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | , 因为 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) |? 4 ,所以 f ( x) 的最小值为 4,
于是 log2 (a ? 3a) ? 2 ? 4 即 ?
2
2 ? ?a ? 3a ? 0 所以 ? 1 ? a ? 0 或 3 ? a ? 4 .?10 分 2 ? a ? 3 a ? 4 ? 0 ?

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