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北京市东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试数学(文)试题


北京市东城区普通高中示范校 2015 届上学期高三年级综合能力测试 数学试卷(文科)

本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 150 分。考试时长 120 分钟。 第 I 卷(选择题 共 40 分)

一、选择题。(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项) 1. 已知集合 A ? ?x ? R | ?2 ? x ? 2?, B ? x ? R | x ? 4 x ? 3 ? 0 ,则 A ? B ? (
2

?

?



A. (?2, 1]

B. ?? 2, 1? C.

?? 2, 2?

D. ?? ?, 2 ? ? [3, ? ?)

2. 已知复数 z1 ? a ? 2i , z 2 ? 1 ? 2i ,若 A. ? 2 3. “ x ? B. 1 C. 2

z1 是纯虚数,则实数 a 的值为( ) z2
D. 4

?
3

”是“ cos x ?

1 ”成立的( ) 2
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

4. 下图是一算法的程序框图, 若此程序运行结果为 s ? 55 , 则在判断框中应填入关于 k 的 判断条件是( )

A. k ? 11

B. k ? 10

C. k ? 9

D. k ? 8

5. 已知一个棱锥的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个棱锥的侧

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面积是( )

A. 4cm 2
| x|

B. 12cm 2
2

C. 8 ? 4 2cm

2

D. 4 ? 4 2 ? 2 3cm

2

6. 已知 f ? x ? ? 2 ? x ? a 有唯一的零点,则实数 a 的值为( ) A. -3 B. -2
2 2

C. -1

D. 0
2

7. 如图,直线 y ? x ? 2 与圆 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 及抛物线 y ? 8 x 依次交于 A、B、C、 D 四点,则 | AB | ? | CD |? ( )

A. 13 8. 已知 f ? x ? ? ?

B. 14

C. 15

D. 16

2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 0, 不等式 f ? x ? a ? ? f ?2a ? x ? 在 ?a, a ? 1? 上恒成 2 ? ? x ? 2 x ? 3 , x ? 0 , ?

立,则实数 a 的取值范围是( A.

) B.

?? ?,

? 2?

?? ?, 0?

C. ?0, 2 ?

D. ?? 2, 0 ?

第 II 卷(非选择题 共 110 分)

二、填空题。(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

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? x ? y ? 1 ? 0, ? 9. 不等式组 ? x ? y ? 1, 表示的平面区域的面积为__________。 ?x ? 1 ?
10. 设平面向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ?? 2, y ? ,若 a ? b ,则 | 2a ? b | =__________。 11. 在等差数列 ?a n ? 中, a1 ? 3, a 4 ? 2 ,则 a 4 ? a 7 ? ... ? a3n ?1 ? __________。 12. 直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 被圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 4 截得的弦长为__________。
2

13. 已知 0 ? x ? ? ,且 sin 2 x ? ?

7 ?? ? ,则 sin ? ? x ? 的值为__________。 25 ?4 ?

14. 已知数集 A ? {a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 }?0 ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? 具有性质 P:对任意

i, j ? Z ,其中 1 ? i ? j ? 5 ,均有 a j ? ai 属于 A,若 a5 ? 60 ,则 a3 ? __________。

三、解答题。(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 15. (本小题共 13 分) 设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2a n ? 1?n ? 1, 2, ...? 。 (I)求数列 ?a n ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 bn ?1 ? a n ? bn ?n ? 1, 2, ...?, b1 ? 2 ,求数列 ?bn ? 的通项公式。 16. (本小题共 13 分) 在 △ ABC 中 , a, b, c 分 别 是 角 A, B, C 的 对 边 , 满 足 c ? 1 , 且

cos B sin C ? ?a ? sin B ? cos C ? 0 。
(I)求 C 的大小; (II)求 a 2 ? b 2 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的值。 17. (本小题共 14 分) 如图, 将矩形 ABCD 沿对角线 BD 把△ABD 折起, 使 A 点移到 A1 点, 且 A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上。

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(I)求证:BC⊥ A1 D ; (II)求证:平面 A1CD ⊥平面 A1 BC ; (III)若 AB=10,BC=6,求三棱锥 A1 ? BCD 的体积。 18. (本小题共 13 分) 设 a ? R ,已知函数 f ? x ? ? ax ? 3 x 。
3 2

(I)当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)若对任意的 x ? ?1, 3?,有 f ? x ? ? f ?? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。 19. (本小题共 13 分) 已知椭圆 W :

x2 y2 ? 2 ? 1 的左焦点为 F ?m, 0 ? ,过点 M(-3,0)作一条斜 2m ? 10 m ? 2

率大于 0 的直线 l 与 W 交于不同的两点 A、B,延长 BF 交 W 于点 C。 (I)求椭圆 W 的离心率; (II)求证:点 A 与点 C 关于 x 轴对称。 20. (本小题共 14 分) 已知定义在 ?1,? ? ? 上的函数 f ? x ? ? x ? ln x ? 2, g ? x ? ? x ln x ? x (I)求证: f ? x ? 存在唯一的零点,且零点属于(3,4); (II)若 k ? Z ,且 g ? x ? ? k ? x ? 1? 对任意的 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值。

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参考答案: 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. A 2. D 3. A 4. B 5. D 6. C 7. B 8. A

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 1 10. 5 11.

n?5 ? n ? 2

12. 2 3

13. ?

4 5

14. 30

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (共 13 分) 解:(I)因为 S n ? 2a n ? 1?n ? 1, 2, ...? , 则 S n ?1 ? 2a n ?1 ? 1?n ? 2, 3, ...? , 所以当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2a n ? 2a n ?1 , 整理得 a n ? 2a n ?1 , 由 S n ? 2a n ? 1 ,令 n ? 1 ,得 a1 ? 2a1 ? 1 ,解得 a1 ? 1 。 所以 ?a n ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,可得 a n ? 2 n ?1 (6 分) (II)因为 a n ? 2 n ?1 , 由 bn ?1 ? a n ? bn ?n ? 1, 2, ...? ,得 bn ?1 ? bn ? 2 n ?1 , 由累加得 bn ? b1 ? ?b2 ? b1 ? ? ?b3 ? b2 ? ? ... ? ?bn ? bn ?1 ?

1 ? 2 n ?1 ? 2? ? 2 n ?1 ? 1, ?n ? 2 ? , 1? 2
当 n ? 1 时也满足,所以 bn ? 2 n ?1 ? 1 。(13 分) 16. (共 13 分) 解:(I)由 cos B sin C ? ?a ? sin B ? cos C ? 0 ,得

sin A ? a cos C ,

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又 c ? 1 ,所以 c sin A ? a cos C 由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C 。 因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 0 ,从而 sin C ? cos C ,即 C ?
2 2

?
4

。(6 分)

(II)由余弦定理 a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? c 2 ,得 a ? b ? 2ab ? 1 , 又 ab ?

? a2 ? b2 2? 2 ??a ? b 2 ? ? 1 ,于是 a 2 ? b 2 ? 2 ? 2 。 ,所以 ?1 ? ? ? 2 2 ? ?
3 ? 时, a 2 ? b 2 取得最大值 2 ? 2 (13 分) 8

当A?B?

17. (共 14 分) 解:(I)因为 A1 在平面 BCD 上的射影 O 在 CD 上, 所以 A1O ⊥平面 BCD。 又 BC ? 平面 BCD, 所以 BC⊥ A1O 。 又 BC⊥CO,CO ? A1O ? O ,

CO ? 平面 A1CD , A1O ? 平面 A1CD ,
所以 BC⊥平面 A1CD 。 又 A1 D ? 平面 A1CD , 所以 BC ? A1 D 。(5 分) (II)因为矩形 ABCD, 所以 A1 D ⊥ A1 B 。 由(I)知 BC⊥ A1 D 。 又 BC ? A1 B ? B, BC ? 平面 A1 BC , A1 B ? 平面A1 BC , 所以 A1 D ? 平面A1 BC 。 又 A1 D ? 平面A1CD , 所以平面 A1 BC ? 平面A1CD 。(10 分)
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(III)因为 A1 D ? 平面A1 BC , 所以 A1 D ? A1C 。 因为 CD=10, A1 D ? 6 ,所以 A1C ? 8 。 所以 V A1 ? BCD ? V D ? A1BC ? 18. (共 13 分) 解:(I)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 3 x ,
3 2

1 1 ? ? 6 ? 8 ? 6 ? 48 。(14 分) 3 2

则 f ?? x ? ? 3 x ? 6 x ,
2

由 f ?? x ? ? 0 ,得 x ? 0 ,或 x ? 2 , 由 f ?? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? 2 , 所以 f ? x ? 的单调递增区间为 ?? ?, 0 ?, ?2, ? ? ? ,单调递减区间为(0,2)。(6 分) (II)依题意,对 ?x ? ?1, 3? , ax 3 ? 3 x 2 ? 3ax 2 ? 6 x ? 0 , 这等价于,不等式 a ? 令 h? x ? ?

3x 2 ? 6 x 3x ? 6 对 x ? ?1, 3? 恒成立。 ? x 3 ? 3x 2 x 2 ? 3x

? 则 h?? x ? ? ?x

3x ? 6 ?x ? ?1, 3?? , x 2 ? 3x

3 x 2 ? 4x ? 6
2 2

? ? ? 3??x ? 2? ? 2? ? 0 , ?x ? 3x ? ? 3x ?
2 2 2

所以 h? x ? 在区间 ?1, 3? 上是减函数, 所以 h? x ? 的最小值为 h?3? ? 所以 a ?

5 。 6

5 5 ,即实数 a 的取值范围为 ( ??, ] 。(13 分) 6 6

19. (共 13 分) 解:(I)由题意 ?2m ? 10 ? ? m ? 2 ? m ?m ? 0 ? ,
2 2

?

?

解得 m ? ?2 。 所以椭圆 W :

x2 y2 ? ? 1。 6 2

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离心率 e ?

c 2 6 。(5 分) ? ? a 3 6

(II)设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 3? 。

? y ? k ? x ? 3?, ? 联立 ? x 2 y2 ? ?1 ? 2 ?6
得 1 ? 3k

?

2

?x
?

2

? 18k 2 x ? 27 k 2 ? 6 ? 0 。

由直线 l 与椭圆 W 交于 A、B 两点,可知 △ ? 18k

?

2 2

? 4 1 ? 3k 2 27 k 2 ? 6 ? 0 ,解得 k 2 ?

?

??

?

2 。 3

设点 A,B 的坐标分别为( x1 , y1 ), ? x 2 , y 2 ? ,

? 18k 2 27 k 2 ? 6 则 x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? , 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

y1 ? k ?x1 ? 3?, y 2 ? k ?x 2 ? 3? 。
因为 F(-2,0),设点 A 关于 x 轴的对称点为 C′,则 C′( x1 , ? y1 ), 所以 FC ? ? ? x1 ? 2, ? y1 ? , FB ? ? x 2 ? 2, y 2 ? 。 又因为 ? x1 ? 2 ? y 2 ? ? x 2 ? 2 ??? y1 ?

? ?x1 ? 2?k ?x 2 ? 3? ? ?x 2 ? 2?k ?x1 ? 3? ? k ?2 x1 x 2 ? 5?x1 ? x 2 ? ? 12?
? 54k 2 ? 12 ? 90k 2 ? ? k? ? ? 12? 2 2 1 ? 3k ? 1 ? 3k ?
? k 54k 2 ? 12 ? 90k 2 ? 12 ? 36k 2 ? 0, 1 ? 3k 2
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?

?

所以 B,F,C′共线,从而 C 与 C′重合,故点 A 与点 C 关于 x 轴对称。(13 分) 20. (共 14 分) 解:(I)由 f ? x ? ? x ? ln x ? 2 ,可得 f ?? x ? ? 1 ? 故 f ? x ? 在 ?1, ? ? ? 上单调递增, 而 f ?3? ? 1 ? ln 3 ? 0 , f ?4 ? ? 2 ? ln 4 ? 0 , 所以 f ? x ? 存在唯一的零点 x 0 ? ?3,4 ? 。(7 分) (II)由(I) f ? x ? 存在唯一的零点 x 0 显然满足: x 0 ? ln x 0 ? 2 ? 0 ,且当 x ? ?1, x 0 ? 时,

1 x ?1 ? ? 0, x x

f ? x ? ? f ? x0 ? ? 0 ;当 x ? ? x0 , ? ? ? 时, f ? x ? ? f ? x0 ? ? 0 。
当 x ? 1 时, g ? x ? ? k ? x ? 1? 等价于 设 h? x ? ? 则 h?? x ? ?

x ln x ? x , x ?1

x ln x ? x ?k。 x ?1

x ? ln x ? 2

?x ? 1?

2

?

?x ? 1?2

f ?x ?

,故 h?? x ? 与 f ? x ? 同号,

因此当 x ? ?1, x 0 ? 时, h?? x ? ? 0 ;当 x ? ? x 0 , ? ? ? 时, h?? x ? ? 0 。 所以 h? x ? 在 ?1, x 0 ? 上单调递减,在 ? x 0 , ? ? ? 上单调递增, 故 h? x ?min ? h? x 0 ? ?

x0 ?ln x0 ? 1? x0 ? x0 ? 1? ? ? x0 。 x0 ? 1 x0 ? 1

由题意有 k ? h? x ?min ? x 0 ,又 k ? Z ,而 x 0 ? ?3, 4 ? ,故 k 的最大值是 3。(14 分)

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