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(1)变化率与导数、导数的计算


第一节 变化率与导数、导数的计算 一、基础知识
一、导数的概念 1.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义: 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
Δx→0

lim

f?x0+Δx?-f?x0? Δy Δy = lim 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数, 记作 f′(x0)或 y′|x=x0, 即 f′(x0)= lim = lim Δx Δx→0 Δx Δx→0 Δx Δx→0

f?x0+Δx?-f?x0? . Δx (2)几何意义: 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移 函数 s(t)对时间 t 的导数).相应地,切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 2.函数 f(x)的导函数 称函数 f′(x)= lim →
Δx 0

f?x+Δx?-f?x? 为 f(x)的导函数. Δx 原函数 f(x)=c(c 为常数) 导函数 f′(x)=0 f′(x)=nxn
-1

二、基本初等函数的导数公式

三、导数的运算法则 1.[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); 2.[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? 3.? ′= (g(x)≠0). ?g?x?? [g?x?]2 (理)4.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u= g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′· ux′,即 y 对 x 的 导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x

f′(x)=cos_x f′(x)=-sin_x f′(x)=axln_a f′(x)=ex 1 f′(x)= xln a 1 f′(x)= x

二、例题讲解
【1】概念 1.(教材习题改编)若 f(x)=xe ,则 f′(1)=( A.0 B.e C.2e
x

) D.e2 )

2.曲线 y=xln x 在点(e,e)处的切线与直线 x+ay=1 垂直,则实数 a 的值为( A.2 B.-2 1 C. 2 1 D.- 2

1 3.(教材习题改编)某质点的位移函数是 s(t)=2t3- gt2(g=10 m/s2),则当 t=2 s 时,它的加速度是( 2 A.14 m/s2 B.4 m/s2 C.10 m/s2 D.-4 m/s2

)

4.(2012· 广东高考)曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为________.
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5.函数 y=xcos x-sin x 的导数为________. 【2】利用导数的定义求函数的导数 [例 1] 用定义法求下列函数的导数. 4 (1)y=x2; (2)y= 2. x

【3】导数的运算 [例 2] 求下列函数的导数. ex+1 (1)y=x2sin x;(2)y= x ; e -1

2.求下列函数的导数. 1 1? 2 (1)y=ex· ln x;(2)y=x? ?x +x+x3?;

【4】导数的几何意 [例 3] (1)(2011· 山东高考)曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( A.-9 B.-3 C.9 D.15 )

(2)设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处切 线的斜率为( 1 A.- 4 ) B.2 C.4 1 D.- 2

若例 3(1)变为:曲线 y=x3+11,求过点 P(0,13)且与曲线相切的直线方程. 3.(1)(2012· 新课标全国卷)曲线 y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为________. 1 1 (2)(2013· 乌鲁木齐诊断性测验)直线 y= x+b 与曲线 y=- x+ln x 相切,则 b 的值为( 2 2 A.-2 B.-1 1 C.- 2 D.1 )

三、习题训练
A组 1.函数 f(x)=(x+2a)(x-a) 的导数为( A.2(x2-a2) B.2(x2+a2)
2

) D.3(x2+a2) )

C.3(x2-a2)

3 2.已知物体的运动方程为 s=t2+ (t 是时间,s 是位移),则物体在时刻 t=2 时的速度为( t 19 A. 4 17 B. 4 15 C. 4 13 D. 4

3. (2012· 哈尔滨模拟)已知 a 为实数,函数 f(x)=x3+ax2+(a-2)x 的导函数 f′(x)是偶函数,则曲线 y=f(x)在 原点处的切线方程为( A.y=-3x ) B.y=-2x C.y=3x D.y=2x
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1+cos x π ? 4.设曲线 y= 在点? ?2,1?处的切线与直线 x-ay+1=0 平行,则实数 a 等于( sin x A.-1 1 B. 2 C.-2 D.2 )

)

5.若点 P 是曲线 y=x2-lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为( A.1 B. 2 C. 2 2 D. 3

6.f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x),g(x)满足 f′(x)=g′(x),则 f(x)与 g(x)满足( A.f(x)=g(x) C.f(x)-g(x)为常数函数 B.f(x)=g(x)=0 D.f(x)+g(x)为常数函数

)

7.(2013· 郑州模拟)已知函数 f(x)=ln x-f′(-1)x2+3x-4,则 f′(1)=________. 8.(2012· 辽宁高考)已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2,过 P,Q 分别作抛 物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为________. 1 1 3 9.(2012· 黑龙江哈尔滨二模)已知函数 f(x)= x- sin x- cos x 的图象在点 A(x0,y0)处的切线斜率为 1,则 tan 2 4 4 x0=________. 10.求下列函数的导数. (1)y=x· tan x; (2)y=(x+1)(x+2)(x+3);

2 11.已知函数 f(x)=x- ,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率相同,求 a x 的值,并判断两条切线是否为同一条直线. 12.设函数 f(x)=x3+ax2-9x-1,当曲线 y=f(x)斜率最小的切线与直线 12x+y=6 平行时,求 a 的值.

B组 1.(2012· 商丘二模)等比数列{an}中,a1=2,a8=4,f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),f′(x)为函数 f(x)的导函数, 则 f′(0)=( A.0 ) B.26 C.29 D.212

π? ?π? 2.已知 f1(x)=sin x+cos x,记 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn(x)=fn-1′(x)(n∈N*,n≥2),则 f1? + f 2 ?2? ?2? π? +…+f2 012? ?2?=________. 3.已知函数 f(x)=x3-3x 及 y=f(x)上一点 P(1,-2),过点 P 作直线 l,根据以下条件求 l 的方程. (1)直线 l 和 y=f(x)相切且以 P 为切点; (2)直线 l 和 y=f(x)相切且切点异于 P.

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