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福州一中2009年高中招生(面向市区以外)综合素质测试数学试卷


福州一中 2009 年高中招生(面向福州以外地区) 综合素质测试数学试卷
(满分 100 分,考试时间 60 分钟)

学 校

姓 名

准考证号

注意:请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡的相应位置上。 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分。在每小题给出的四 个选项中,只有一个选项是正确的。 ) 1. 如图, 在 ?ABC 中,?A ? 36? ,AB ? AC ,CD 、BE 分别是 ?ACB ,?ABC 的平分线, CD 、 BE 相交于 F 点,连结 DE ,则图中全等的三角形有( )组。 A.3 B. 4 C. 5 D. 6 2.一组样本容量为 5 的数据中,其中 a1 ? 2.5 ,a 2 ? 3.5 ,a3 ? 4 ,a4 与 a5 的 和为 5,当 a4 、 a5 依次取( A.1.5 , 3.5 B.1 , 4 )时,这组样本方差有最小值。 C. 2.5 , 2.5 D. 2 , 3

(第 1 题图)

(第 3 题图)

(第 4 题图)

3.如图,在正方体的表面展开图中,要将 ? a 、 ? b 、 ? c 填入剩下的三个 空白处, (彼此不同) ,则正方体三组相对的两个面中数字和均为零的概率为 ( ) 。 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 4 6 3 4.如图,反比例函数 y ? ? ( x >0 ) 图象经过矩形 OABC 边 AB 的中点 E , x 交边 BC 于 F 点,连结 EF 、 OE 、 OF ,则 ?OEF 的面积是( ) 。 A.
3 2

B.

9 4

C.

7 3

D.

5 2

数学试卷

第1 页

共3页

5.设[ x ]表示不超过 x 的最大整数,如 [ 3] ? 1, , [? ] ? 3 ,……
? 7 ? 3? 那么 ? ? ?( 2 ? ?

) C.4 D.5

A.2

B.3

6.在三角形 ABC 中 AB < AC < BC ,若在 BC 上存在一点 D ,使把这三角形 沿 AD 剪开后的两个三角形相似, 且较大的三角形面积是较小三角形面积的 2 倍, 则 AB : AC : BC =( ) 。 A. 1: 2 : 3 B. 1: 2 : 3 C. 1: 4 : 9 D.以上答案均不对

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分。 ) 7.计算: ? 3?2 ? ( 3 ? ? ) 0 ? 2 sin 45? ?

1 1? 2

= ★★★★



8.如图,正方形的边长为 6,经过点(0, ? 4 )的直线,把正方形分成面 积为 2:1 的两部分,则直线的函数解析式 ★★★★ 。 9 . 如 图 , 梯 形 ABCD 的 四 个 顶 点 均 在 已 知 圆 上 , AC 平 分 ?B C D , ?ADC ? 120 ? ,四边形 ABCD 的周长为 20, P 是 BC 上一点,则阴影部分的面积 等于 ★★★★ 。

(第 8 题图)

(第 9 题图)

10.如图,已知二次函数 y= ax2 ? bx ? c (a ? 0 )的图象,则下列结论正确序号 是★★★★ (只填序号) 。 ① abc >0 ② c ? ?3a ③ b2 ? ac ? 0 ④ a ? b < m ? am ? b ? (m ? 1 的实数)

(第 10 题图)
数学试卷 第2 页 共3页

三、解答题(本大题共 4 小题。每小题 10 分,共 40 分。 ) 11. 设 ? 是一元二次方程 x 2 ? 8 x ? 5 ? 0 的一个正根, 求 ? 3 ? 7? 2 ? 13? ? 6 的值



12.如图,在 ?ABC 中, ?ACB ? 120 ? ,

AC ? 7 , BC ? 2 7 , D 、 E 是线段
AB 上两点且 ?CDE 为等边三角形,

①求线段 AD 的长; ②求 ?CDB 的面积。

13.如图,在圆 O 中 AB 是直径, AT 是经过点 A 的切线,弦 CD 垂直 AB 于
P 点,线段 CP 的中点为 Q ,连结 BQ 并延长交切线 AT 于 T 点,连结 OT 。

①求证: BC ∥ OT ; ②若⊙ O 直径为 10 , CD ? 8 ,求 AT 的长; ③延长 TO 交直线 CD 于 R ,若⊙ O 直径为 10 , CD ? 8 ,求 TR 的长。

数学试卷

第3 页

共3页

(第 13 题图)

14.已知函数 y ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 在 0 ? x ? 3 范围内有最大值 24 最小值 3, 求实数 a 的值。

福州一中 2009 年高中招生(面向福州以外地区) 综合素质测试数学答案

1、B 2、C 3、D 4、B(提示:证明 F 为 BC 中点) 5、B(提示:证 14 ? 6 > 6 ) 6、A(提示:证 ?ABC 为直角三角形) 1 7、 ? 9 7 7 8、 y ? x ? 4 或 y ? x ? 4 4 2 8 9、 ? 3 (证 BC 为直径,设圆心为 O , S阴影 ? S扇形AOD ) 10、①②③④ (提示: b ? ?2a , c ? ?3a 即 b 2 ? ac >0;
a ? b ? c < am2 ? bm ? c )

11、解法一:

?? 是一元二次方程 x 2 ? 8x ? 5 ? 0 的一个正根
?? 2 ? 8? ? 5 ? 0 即 ? 2 ? 8? ? 5

数学试卷

第4 页

共3页

? ? 3 ? 7? 2 ? 13? ? 6 ? ? ? 2 ? 8? ? ? 2 ? 13? ? 6 ? 5? ? ? 2 ? 13? ? 6???????????5分 ? ? 2 ? 8? ? 6 ? 5?6 ? 11??????????????????10分
解法二:

?

?

?? 是一元二次方程 x 2 ? 8x ? 5 ? 0 的一个正根
? ? ? ?? 8? ? 4 ?1? ?? 5? ? 84
2

解方程得 x ? 4 ? 21
? ? ? 4 ? 21????????????3分

? 3 ? 7? 2 ? 13? ? 6

? 4 ? 21 ? 7 4 ? 21 ? 13 4 ? 21 ? 13 4 ? 21 ? 6 ? 11????????????????10分

?

? ?
3

?

2

?

?

2

?

?

12、过 C 点作 CF ? AB交AB于F点

数学试卷

第5 页

共3页

? ?CDE为等边三角形 ? ?CDE ? ?CED ? 60? ? ?ADC ? ?BEC ? 120? 在?ACD和?ABC中 ??ADC ? ?ACB ? ? ?A ? ?A ? ?ACD ∽ ?ABC AD CD ? ? AC BC ? 设AD ? x AC ? 7 , BC ? 2 7 ? CD ? 2 x ??????????????? 4分 同理BE ? 4 x ? ?ADE为等边三角形 , CF ? AB 1 1 ? DF ? DE ? CD ? x 2 2 CF ? 3 x AF ? 2 x ? 在Rt?ACF中 AC ? 7 即?2 x ? ?
2

? x ? 1?x ? ?1舍去?

? 3x ? ? ? 7 ?
2

2

即AD ? 1?????????????? 7分 ? BD ? BE ? DE ? 4 ? 2 ? 6 1 ? S ?CDB ? ? 6 ? 3 ? 3 3 ???????10分 2

13、①

取PB的中点E ? Q是PC的中点 E是PB的中点 ? QE为?PBC的中位线
QE ∥ BC
数学试卷 第6 页 共3页

? AT为经过A点的切线 AB为直径 ? AT ? AB ? CD ? AB ? AT ∥ CD ?TAO ? ?QPE ? 90? ? ?BPQ ∽ ?BAT QP AT ? ? PB AB ? PB ? 2 PE AB ? 2 AO QP AT ? ? PE AO ? ?TAO ∽ ?QPE ? ?AOT ? ?PEQ ? OT ∥ QE ? QE ∥ BC ? BC ∥ OT ?????????????? 4分



数学试卷

第7 页

共3页

?AOT ? ?CBP ? CD ? AB AB为直径 CD ? 8 ? CP ? PD ? 4 连结OC 在Rt?OCP中 ? PC ? 4, OC ? 1 AB ? 5 2

? OP ? 3 ? PB ? OB ? OP ? 2 ? ?ATO ∽ ?CPB AT CP ? ? AO PB 1 ? AO ? AB ? 5 2 ? AT ? 10???????????? 7分
在Rt?OAT中 OT ? AT 2 ? AO 2 ? 5 5 ? AT ∥ CR ? ?AOT ∽ ?POR OT OA ? ? OR OP 5 5 ?3 OR ? ?3 5 5 ? TR ? OT ? OR ? 8 5 ?????????10分

14、 解:配方 y ? ?x ? a? ? 1
2

函数的对称轴为直线 x ? ?a 顶点坐标为 ?? a,?1? ① 当 0 ? ?a ? 3 即 ? 3 ? a ? 0 时 函数最小值为-1,不合题意……………3 分 ② 当? a<0 即a >0 时

?当x ? 3时,y有最大值;当 x ? 0时,y有最小值

数学试卷

第8 页

共3页

?9 ? 6a ? a 2 ? 1 ? 24 即? a2 ?1 ? 3 ?

解得 a ? 2

…………………………………………6 分 ③当 ? a >3,即 a <-3 时 当 x=3 时 y 有最小值 当 x=0 时 y 有最大值

? a 2 ? 1 ? 24 解之得 a ? ?5 ? 2 9 ? 6 a ? a ? 1 ? 3 ?
…………………………………………10 分 ? 实数 a 的值为 2 或-5.

数学试卷

第9 页

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