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2013高考百天仿真冲刺卷(理科数学试卷四)


2013 高考百天仿真冲刺卷

数 学(理) 试 卷(四)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1.在复平面内,复数 z ?

1 ? 2i 对应的点位于 1? i
(C) 第三象限 (D) 第四象限
2 (B) ?x ? R , x ? 3x ? 1 ? 0

(A) 第一象限 (B) 第二象限 2.下列四个命题中,假命题为
x (A) ?x ? R , 2 ? 0

(C) ?x ? R , lg x ? 0

(D) ?x ? R , x 2 ? 2

1

3.已知 a>0 且 a≠1,函数 y ? log a x , y ? a x , y ? x ? a 在同一坐标系中的图象可能是 y y y y

1 O 1

1

1 1

x (A)

O

x (B)

O

1

x (C)

1 O 1

x (D)

? x ? 2cos ?, 4.参数方程 ? (? 为参数 ) 和极坐标方程 ? ? 4sin ? 所表示的图形分别是 ? y ? 3sin ?,
(A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 (D) 椭圆和圆 5.由 1,2,3,4,5 组成没有重复数字且 2 与 5 不相邻的四位数的个数是 (A) 120 (B) 84 (C) 60 (D) 48 6.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象如图所示,则该函数的解析式可能是

4 4 1 y sin( x ? ) 5 5 5 1 3 1 (B) y ? sin(2 x ? ) 2 5 4 4 1 ? 2? (C) y ? sin( x ? ) O 5 5 5 4 1 -1 (D) y ? sin(2 x ? ) 5 5 7 . 已 知 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 (A , B 不 全 为 0) , 两 点 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) , 若 1 2
(A) y ?

x

( Ax1 ? By1 ? C)( Ax2 ? By2 ? C) ? 0 ,且 Ax1 ? By1 ? C ? Ax2 ? By2 ? C ,则
(A) 直线 l 与直线 P1P2 不相交 (C) 直线 l 与线段 P1 P2 的延长线相交
2

(B) 直线 l 与线段 P2 P1 的延长线相交 (D) 直线 l 与线段 P1P2 相交

8.已知函数 f ( x) ? x ? 2x , g ( x) ? ax ? 2 (a>0),若 ?x1 ?[ ?1, 2], ?x2 ?[?1, 2] ,使得 f(x1)= g(x2),则实数 a 的取值范围是 (A) (0, ]

1 2

(B) [ , 3]

1 2

(C) (0,3]

(D) [3, ??)

-1-

第Ⅱ 卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.圆 C: x ? y ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 的圆心到直线 3x+4y+14=0 的距离 是 . 10.如图所示,DB,DC 是⊙O 的两条切线,A 是圆上一点,已知 ∠D=46°,则∠A= .
2 2

B O D C A

11. 函数 y ? 3sin x cos x ? sin2 x 的最小正周期为 , 最大值为 12.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 . 1 1
正视图 侧视图



开始

3 a ? ,n ?1 5
a ? 1? 1 a

2
0.6

2.4 俯视图

0.6 是

n ? n ?1

n ? 2011


输出 a 结束 B 13.如果执行上面的程序框图,那么输出的 a =___. 14.如图所示,∠AOB=1rad,点 Al,A2,?在 OA 上,点 B1,B2,?在 OB 上,其 中的每一个实线段和虚线段的长均为 1 个长度单位,一个动点 M 从 O 点出发, 沿着实线段和以 O 为圆心的圆弧匀速运动, 速度为 l 长度单位/秒, 则质点 M 到达 A3 点处所需要的时间为__秒,质点 M 到达 An 点处所需要的时间为 秒. B B B B2 O
1 3 4

A
1

A
2

A
3

A
4

A

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,a2=4, S5=35. (Ⅰ)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn ; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? e n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
a

-2-

16.(本小题共 14 分) 张先生家住 H 小区,他在 C 科技园区工作,从家开车到公司上班 有 L1,L2 两条路线(如图) 1 路线上有 A1,A2,A3 三个路口,各路口 ,L

A1 H B1

A2 L1 L2

A3 C B2

1 ;L2 路线上有 B1,B2 两个路口,各路口遇到红 2 3 3 灯的概率依次为 , . 4 5
遇到红灯的概率均为 (Ⅰ)若走 L1 路线,求最多遇到 1 次红灯的概率; ..

(Ⅱ)若走 L2 路线,求遇到红灯次数 X 的数学期望; (Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生从上述两条路线中选择 一条最好的上班路线,并说明理由.

17.(本小题共 13 分) 已知平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=10,BD=8,E 是线段 AD 的中点.沿 BD 将△BCD 翻折 到△ BC ?D ,使得平面 BC ?D ⊥平面 ABD. (Ⅰ)求证: C ?D ? 平面 ABD; C? (Ⅱ)求直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 D ? BE ? C ? 的余弦值. B C

A

E

D

-3-

18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? (a ? 2) x . (Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 在 [a 2 , a] 上的最大值.

19.(本小题共 14 分) 2 已知抛物线 P:x =2py (p>0). (Ⅰ)若抛物线上点 M (m, 2) 到焦点 F 的距离为 3 . (ⅰ)求抛物线 P 的方程; (ⅱ)设抛物线 P 的准线与 y 轴的交点为 E,过 E 作抛物线 P 的切线,求此切线方程; (Ⅱ)设过焦点 F 的动直线 l 交抛物线于 A,B 两点,连接 AO , BO 并延长分别交抛物 线的准线于 C, D 两点,求证:以 CD 为直径的圆过焦点 F.

-4-

20.(本小题共 13 分) 用 [ a ] 表示不大于 a 的最大整数.令集合 P ? {1, 2,3, 4,5} ,对任意 k ? P 和 m ? N* ,定义

k ?1 ] ,集合 A ? {m k ? 1 | m ? N*, k ? P},并将集合 A 中的元素按 i ?1 i ?1 照从小到大的顺序排列,记为数列 {an } . (Ⅰ)求 f (1, 2) 的值; (Ⅱ)求 a9 的值; f (m, k ) ? ?[m
5

(Ⅲ)求证:在数列 {an } 中,不大于 m0 k0 ? 1 的项共有 f (m0 , k0 ) 项.

2013 高考百天仿真冲刺卷

数学(理)试卷(四)参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 D 5 B 6 A 7 C 8 D

-5-

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.3 10.67° 11. ? ,

1 2

12.12

13. ?

2 3

? n(n ? 1) ? 2 , n 为奇数, ? 14.6, an ? ? ? n(n ? 3) , n 为偶数. ? 2 ?

注:两个空的填空题第一个空填对得 2 分,第二个空填对得 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,a2=4, S5=35. (Ⅰ)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn ; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? e n ,求数列 {bn } 的前 n 项的和 Tn .
a

解: (Ⅰ)设数列 {an } 的首项为 a1,公差为 d.

?a1 ? d ? 4 ?a1 ? 1 ? 则? ∴? , 5(5 ? 1) 5a1 ? d ? 35 ?d ? 3 ? ? 2 ∴ an ? 3n ? 2 . n(1 ? 3n ? 2) n(3n ? 1) ? ∴ 前 n 项和 S n ? . 2 2 (Ⅱ)∵ an ? 3n ? 2 ,
∴ bn ? e3n?2 ,且 b1=e. 当 n≥2 时,

??????5 分

??????7 分

??????8 分

bn e3n?2 ? 3( n?1)?2 ? e3 为定值, bn?1 e 3 ∴ 数列 {bn } 构成首项为 e,公比为 e 的等比数列.
∴ Tn ? 13 分 数列 {bn } 的前 n 项的和是 Tn ?

??????10 分 ??????11 分 ??????

e(1 ? e ) e ? e ? 3 . 1 ? e3 e ?1
3n

3 n ?1

e3n?1 ? e . e3 ? 1

16.(本小题共 14 分) 张先生家住 H 小区, 他工作在 C 科技园区, 从家开车到公司上班路上有 L1, 2 两条路线 L (如 图) 1 路线上有 A1,A2,A3 三个路口,各路口遇到红灯的概率均为 ,L 个路口,各路口遇到红灯的概率依次为

1 ;L2 路线上有 B1,B2 两 2
A1 H A2 L1 L2 B1 B2 A3 C

3 3 , . 4 5

(Ⅰ)若走 L1 路线,求最多遇到 1 次红灯的概率; ..
-6-

(Ⅱ)若走 L2 路线,求遇到红灯次数 X 的数学期望; (Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条 最好的上班路线,并说明理由. 解: (Ⅰ)设走 L1 路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件,则

1 1 1 1 1 P( A)=C30 ? ( )3 ? C3 ? ? ( ) 2 ? . 2 2 2 2
所以走 L1 路线,最多遇到 1 次红灯的概率为 (Ⅱ)依题意, X 的可能取值为 0,1,2.

??????4 分

1 . 2
??????5 分

3 3 1 P( X =0)=(1 ? ) ? (1 ? ) ? , 4 5 10 3 3 3 3 9 P( X =1)= ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? , 4 5 4 5 20 3 3 9 P ( X =2)= ? ? . 4 5 20 随机变量 X 的分布列为: 0 X 1 P 10 1 9 9 27 EX ? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? . 10 20 20 20

??????8 分

1

2

9 20

9 20
??????10 分

(Ⅲ)设选择 L1 路线遇到红灯次数为 Y ,随机变量 Y 服从二项分布, Y ? B (3, ) , 所以 EY ? 3 ?

1 2

1 3 ? . 2 2 因为 EX ? EY ,所以选择 L2 路线上班最好.

??????12 分 ??????14 分

17.(本小题共 13 分) 已知平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=10,BD=8,E 是线段 AD 的中点.沿直线 BD 将△BCD 翻折成△ BC ?D ,使得平面 BC ?D ⊥平面 ABD. (Ⅰ)求证: C ?D ? 平面 ABD; C? (Ⅱ)求直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 D ? BE ? C ? 的余弦值. 证明: (Ⅰ)平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=10,BD=8, B 沿直线 BD 将△BCD 翻折成△ BC ?D 可知 CD=6,BC’=BC=10,BD=8, 即 BC '2 ? C ' D2 ? BD 2 , 故 D A E C ' D ? BD . ??????2 分 ∵平面 BC ?D ⊥平面 ABD ,平面 BC ?D ? 平面 ABD = BD , C ?D ? 平面 BC ?D , ∴ C ?D ? 平面 ABD . ??????5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 C ?D ? 平面 ABD,且 CD ? BD , z 如图,以 D 为原点,建立空间直角坐标系 C? D ? xyz . ??????6 分 则 D(0,0,0) , A(8,6,0) , B(8,0,0) , C '(0,0,6) . x ∵E 是线段 AD 的中点, B
-7-

C

C

A

E y

D

∴ E (4,3,0) , BD ? (?8,0,0) .

??? ?

在平面 BEC ? 中, BE ? (?4,3,0) , BC ' ? (?8,0,6) , 设平面 BEC ? 法向量为 n ? ( x, y, z ) , ??? ? ? ? BE ? n ? 0 ??4 x ? 3 y ? 0 ? ∴ ? ???? ? ,即 ? , ? ??8 y ? 6 z ? 0 ? BC ' ? n ? 0 ?

??? ?

???? ?

?

, 4 令 x ? 3, y ? 4 z ? , n ?3 得 故 () 4 ,
8分

?



??????

设直线 BD 与平面 BEC ? 所成角为 ? ,则 ? ??? ? ? ??? ? | n ? BD | 3 41 ? . sin ? ?| cos ? n, BD ?|? ? ??? ? 41 | n | ? | BD | ∴ 直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值为

??????9 分

3 41 . ??????10 分 41 ? (Ⅲ)由(Ⅱ)知平面 BEC ? 的法向量为 n ? (3,4,4) , ???? ? 而平面 DBE 的法向量为 DC? ? (0,0,6) , ? ???? ? ? ???? ? n? ?D C 4 41 ? ∴ cos ? n, C ?D ?? ? ???? ? , 41 | n | ? | C ?D | 因为二面角 D ? BE ? C ? 为锐角, 4 41 所以二面角 D ? BE ? C ? 的余弦值为 . 41
18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? (a ? 2) x . (Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 在 [a 2 , a] 上的最大值. 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ln x ? ax2 ? (a ? 2) x , ∴ f ?( x) ?

??????13 分

∴函数的定义域为 (0, ??) .
2

???1 分

1 1 ? 2ax ? (a ? 2) x ?(2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (a ? 2) ? ? .?3 分 x x x ∵ f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值, 即 f ?(1) ? ?(2 ? 1)(a ? 1) ? 0 , ∴ a ? ?1 . ??????5 分 1 当 a ? ?1 时,在 ( ,1) 内 f ?( x) ? 0 ,在 (1, ??) 内 f ?( x) ? 0 , 2 ∴ x ? 1 是函数 y ? f ( x) 的极小值点. ∴ a ? ?1 . ??????6 分
(Ⅱ)∵ a ? a ,∴ 0 ? a ? 1 .
2

??????7 分
2

1 1 ? 2ax ? (a ? 2) x (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (a ? 2) ? ?? x x x ∵ x∈ (0, ??) , ∴ ax ? 1 ? 0 , 1 1 ∴ f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增;在 ( , ??) 上单调递减, ????9 分 2 2 1 2 ①当 0 ? a ? 时, f ( x ) 在 [a , a] 单调递增, 2 f ?( x) ?
-8-

∴ fmax ( x) ? f (a) ? ln a ? a3 ? a2 ? 2a ;

??????10 分

1 ? ?a? 2 1 1 2 ? 2 1 ②当 ? ,即 ? a ? 时, f ( x ) 在 ( a , ) 单调递增,在 ( , a ) 单调递减, 2 2 2 2 ?a 2 ? 1 ? ? 2 1 a a?2 a ? ? 1 ? ln 2 ; ∴ f max ( x) ? f ( ) ? ? ln 2 ? ? ??????11 分 2 4 2 4 1 2 2 ③当 ? a ,即 ? a ? 1时, f ( x) 在 [a2 , a] 单调递减, 2 2 ∴ fmax ( x) ? f (a2 ) ? 2ln a ? a5 ? a3 ? 2a2 . ??????12 分 1 综 上 所 述 , 当 0?a? 时 , 函 数 y ? f ( x ) 在 [ a 2 , a] 上 的 最 大 值 是 2 3 2 ln a ? a ? a ? 2a ; a 1 2 当 ?a? 时,函数 y ? f ( x) 在 [a 2 , a] 上的最大值是 ? 1 ? ln 2 ; 4 2 2 2 当 a? 时 , 函 数 y ? f ( x ) 在 [ a 2 , a] 上 的 最 大 值 是 2 5 3 2 2ln a ? a ? a ? 2a .??????13 分
19.(本小题共 14 分) 2 已知抛物线 P:x =2py (p>0). (Ⅰ)若抛物线上点 M (m, 2) 到焦点 F 的距离为 3 . (ⅰ)求抛物线 P 的方程; (ⅱ)设抛物线 P 的准线与 y 轴的交点为 E,过 E 作抛物线 P 的切线,求此切线方程; (Ⅱ)设过焦点 F 的动直线 l 交抛物线于 A,B 两点,连接 AO , BO 并延长分别交抛物线 的准线于 C,D 两点,求证:以 CD 为直径的圆过焦点 F. 解: (Ⅰ) (ⅰ)由抛物线定义可知,抛物线上点 M (m, 2) 到焦点 F 的距离与到准线距离相等, 即 M (m, 2) 到 y ? ? ∴ ?

p 的距离为 3; 2

p ? 2 ? 3 ,解得 p ? 2 . 2 ∴ 抛物线 P 的方程为 x2 ? 4 y . ??????4 分 (ⅱ)抛物线焦点 F (0,1) ,抛物线准线与 y 轴交点为 E (0, ?1) , 显然过点 E 的抛物线的切线斜率存在,设为 k ,切线方程为 y ? kx ? 1 .
由?

? x2 ? 4 y

? y ? kx ? 1 ? ? 16k 2 ? 16 ? 0 ,解得 k ? ?1 . ∴切线方程为 y ? ? x ? 1 .

, 消 y 得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ,
2

??????6 分 ??????7 分 ??????8 分

(Ⅱ)直线 l 的斜率显然存在,设 l : y ? kx ? 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

p , 2

-9-

? x 2 ? 2 py ? 由? 消 y 得 x2 ? 2 pkx ? p2 ? 0 . 且 ? ? 0 . p ? y ? kx ? ? 2 ∴ x1 ? x2 ? 2 pk , x1 ? x2 ? ? p2 ; y ∵ A( x1 , y1 ) , ∴ 直线 OA : y ? 1 x , x1 p px px p p 与 y ? ? 联立可得 C (? 1 , ? ) , 同理得 D(? 2 , ? ) .?????10 分 2 2 y1 2 2 y2 2 p ∵ 焦点 F (0, ) , 2 ??? ? ??? ? px px ∴ FC ? (? 1 , ? p) , FD ? (? 2 , ? p) , ??????12 分 2 y1 2 y2 ??? ??? ? ? px px px px2 p 2 x1 x2 ∴ FC ? FD ? (? 1 , ? p) ? (? 2 , ? p) ? 1 ? p2 ? ? p2 2 y1 2 y2 2 y1 2 y2 4 y1 y2 p 2 x1 x2 p4 p4 ? p2 ? ? p2 ? ? p2 ? 0 2 2 2 x x x1 x2 ?p 4 1 2 2p 2p ∴ 以 CD 为直径的圆过焦点 F . ??????14 分 ?
20.(本小题共 13 分) 用 [ a ] 表示不大于 a 的最大整数.令集合 P ? {1, 2,3, 4,5} ,对任意 k ? P 和 m ? N* ,定义

k ?1 ] ,集合 A ? {m k ? 1 | m ? N*, k ? P},并将集合 A 中的元素按 i ?1 i ?1 照从小到大的顺序排列,记为数列 {an } . (Ⅰ)求 f (1, 2) 的值; (Ⅱ)求 a9 的值; f (m, k ) ? ?[m
5

(Ⅲ)求证:在数列 {an } 中,不大于 m0 k0 ? 1 的项共有 f (m0 , k0 ) 项. 解: (Ⅰ)由已知知 f (1, 2) ? [ 所以 f (1, 2) ? 2 .

3 3 3 3 3 ] ?[ ] ?[ ] ?[ ] ?[ ] 2 3 4 5 6 ? 1?1? 0 ? 0 ? 0 ? 2 .
??????4 分

(Ⅱ)因为数列 {an } 是将集合 A ? {m k ? 1 | m ? N*,k ? P} 中的元素按从小到大的顺序 排成而成, 所以我们可设计如下表格 m

K
1 2 3 4 5

1

2

3

4

5 ‥‥ ‥‥ ‥‥ ‥‥ ‥‥

‥‥

m0
‥‥

2

2 2

3 2

4 2

3
4

2 3
2 4

3 3
3 4

4 3
‥‥ ‥‥ ‥‥

5 6

2 5 2 6
- 10 -

3 5 3 6

从上表可知,每一行从左到右数字逐渐增大,每一列从上到下数字逐渐增大.

3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 4 ? 3 2 ? 2 5 ? ‥‥ 所以 a9 ? 3 2 . ??????8 分 (Ⅲ)任取 m1 , m2 ?N* , k1 , k2 ? P ,
若 m1 k1 ? 1 ? m2 k2 ? 1 ,则必有 m1 ? m2 ,k1 ? k2 . 即在(Ⅱ)表格中不会有两项的值相等. 对于 m0 k0 ? 1 而言,若在(Ⅱ)表格中的第一行共有 m1 的数不大于 m0 k0 ? 1 , 则 m1

且 2 ?

2 ? m0 k0 ? 1 ,即 m1 ?

m0 k0 ? 1 2

,所以 m1 ? [

m0 k0 ? 1 2 k0 ? 1

],

同理,第二行共有 m2 的数不大于 m0 k0 ? 1 ,有 m2 ? [ 第 i 行共有 mi 的数不大于 m0 k0 ? 1 ,有 mi ? [ 所以,在数列 {an } 中,不大于 m0 ??????13 分

m0

]. i ?1 5 k ?1 k0 ? 1 的项共有 ?[m0 0 ] 项,即 f (m0 , k0 ) 项. i ?1 i ?1

m0

3 k0 ? 1

],

- 11 -


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