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2013高考最后五天冲刺黄金卷:数学文3

2013 高考最后五天冲刺黄金卷:数学文 3
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知 x, y ? R , i 为虚数单位,且 ( x ? 2)i ? y ? ?1 ? i ,则 (1 ? i) x? y 的值为( A .4 B.一 4 C .4+4 i D.2 i ) )

2.在等差数列 {an } 中,若 a1004 ? a1005 ? a1006 ? 3 ,则该数列的前 2009 项的和为( A.3000 B.2009 C.2008 D. 2007 )

3.设 x 、y 均为正实数,且

3 3 ? ? 1,则 xy 的最小值为( 2? x 2? y
C.9 D.16

A.4

B. 4 3

4.已知直线 m、n 及平面 ? ,其中 m∥n,那么在平面 ? 内到两条直线 m、n 距离相等的点 的集合可能是: (1)一条直线; (2) 一个平面; (3)一个点; (4)空集。 其中正确的是 ( ) A、 (2) (1) (3) B、 (4) (1) C、 (2) (1) (4) D、 (4) (2) 5. 在△ABC 中, b, 分别为∠A、 a, c ∠B、 ∠C、 的对边, 若向量 m ? (a ? b,1) 和 n ? (b ? c,1) 平行,且 sin B ?

??

?

4 3 ,当△ABC 的面积为 时,则 b=( 5 2
B.2 C. 4



开始 输入 p

1? 3 A. 2

D.2+ 3

n ? 1,S ? 0
B14 C7 D 6

6.执行图 1 的程序框图,若输出的 n=5,则输入整数 p 的最小值是( ) A 15

S? p?




7.将一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为 a ,第二次出现的点 数记为 b,设两条直线 l1 : ax ? by ? 2, l2 : x ? 2 y ? 2 平行的概率为 P , 1 相交的概率为 P2 ,则复数 P ? P2i 所对应的点 P 与直线 l2 : x ? 2 y ? 2 1 的位置关系( ) B. P 在直线 l2 的右上方 D. P 在直线 l2 的左下方
2

S ? S ? 2n?1
n ? n ?1
图1

输出 n 结束

A. P 在直线 l2 的右下方 C. P 在直线 l2 上

8.已知抛物线 C : x ? 4 y ,直线 l : y ? ?1 . PA 、 PB 为曲线 C 的两切线,切点为 A, B . 令甲:若 P 在 l 上,乙: PA ? PB ;则甲是乙( A 充要 B 充分不必要 C 必要不充分 )条件 D 既不充分也不必要

第Ⅱ 卷 非选择题 (共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9—12 题) 9.某大型超市销售的乳类商品有四种:纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉,且纯奶、酸 奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有 30 种、10 种、 35 种、 25 种不同的品牌.现采用分层抽 样的方法从中抽取一个容量为 n 的样本进行三聚氰胺安全检测, 若抽取的婴幼儿奶粉的品牌 数是 7 ,则 n ? 10.已知函数 f ( x) ? .

1 3 x ? bx 2 ? c. (b, c 为常数) ,当 x ? 2 时,函数 f ( x ) 取得极值, 3

若函数 f (x) 只有三个零点,则实数 c 的取值范围______.

? ?x ? 0 ? x ? 2y ? 3 3 设 , z? 若 的最小值为 , a 的值______. 则 11. x,y 满足约束条件 ? y ? 0 x ?1 2 ?x y ? ? ?1 ? 3a 4a
12.定义一个对应法则 f : P ? m, n ? ? P
/

?

m , n , ? m ? 0, n ? 0 ? .现有点 A/ ?1,3? 与
/

?

点B ?3,1? ,点 M 是线段 A B 上一动点,按定义的对应法则 f : M / ? M 。当点 M / 在
/
/ / /

线段 A B 上从点 A 开始运动到点 B 结束时,点 M 的对应点 M 所经过的路线长度为 ______. (二)选做题(13—15 题,考生只能从中选做两题)

/

/

/

/

? 3 t ?x ? 2 ? ? 2 (t为参数) 13.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中,参数方程为 ? 的 ?y ? 1 t ? 2 ?
直线 l ,被以原点为极点、 x 轴的正半轴为极轴、极坐标方程为 ? ? 2 cos? 的曲线 C 所截, 则得的弦长是 .

14.(不等式选讲选做题)设函数 f ( x) ?| x ? 4 | ? | x ? a | (a >1),且 f ( x) 的最小值为 3 ,若

f ( x) ? 5 ,则 x 的取值范围是__________________. 15.(几何证明选讲选做题)如图 3,点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线上,且 PB=OB=2,PC 切 圆 O 于 C 点,CD ? AB 于 D 点,则 PC= , C CD= .
A

O

D

B

P

图3 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16 . 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 a ? (5 3 cos x, cos x),b ? (sin x,2 cos x), 设 函 数 (

? ? ? 3 f ( x) ? a ? b? | b |2 ? . 2
(Ⅰ)当 x ? [ (Ⅱ)当 x ? [

? ? ? ?

, ] ,求函数 f (x) 的的值域; 6 2

, ] 时,若 f (x) =8, 求函数 f ( x ? ) 的值; 6 2 12 π (Ⅲ)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点的纵坐标向下 12
2 0 0 7

?

平移 5 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g ( x) 的表达式并判断奇偶性.
0

17. (本小题满分 12 分)为深入贯彻素质教育,增强学生体质,某中学从高一、高二、高三
1 2

三个年级中分别选了甲、乙、丙三支足球队举办一场足球赛。足球赛具体规则为:甲、乙、
6

丙三支足球队进行单循环赛(即每两个队比赛一场).共赛三场,每场比赛胜者积 3 分,负 者积 0 分,没有平局.在每一场比赛中,甲胜乙的概率为 概率为

1 1 ,甲胜丙的概率为 ,乙胜丙的 3 4

1 . 3

(Ⅰ)求甲队获得第一名且丙队获得第二名的概率; (Ⅱ)设在该次比赛中,甲队积分为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 18. (本小题满分 13 分)如图,分别是直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 直观图及其正视图、俯视图、 侧视图. (Ⅰ)求证: MN ∥平面 ACC1 A1 ; (Ⅱ)求证: MN ⊥平面 A1 BC ; (Ⅲ)求二面角 A ? A1 B ? C 的大小.

a

a

A1

A
a a a

C1
N

M

C

M

M
a 2 a 2

B1

B

正视图

俯视图

侧视图

19. (本小题满分 14 分)2008 年北京奥运会中国跳水梦之队 取得了辉煌的成绩. 据科学测算,跳水运动员进行 10 米跳台 跳水训练时, 身体 (看成一点) 在空中的运动轨迹 (如图所示) 是一经过坐标原点的抛物线(图中标出数字为已知条件) , 且在跳某个规定的翻腾动作时,正常情况下运动员在空 中的最高点距水面 10

2 米,入水处距池边 4 米,同时 3

运动员在距水面 5 米或 5 米以上时,必须完成规定的 翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误. (Ⅰ)求这个抛物线的解析式; (Ⅱ)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动轨迹 为(Ⅰ)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时 距池边的水平距离为 3

3 米,问此次跳水会不会失误? 5

请通过计算说明理由; (Ⅲ)某运动员按(Ⅰ)中抛物线运行, 要使得此次跳水成功, 他在空中调整好入水姿势时, 距池边的水平距离至多应为多大? 20 . 本 小 题 满 分 14 分 ) 在 直 角 坐 标 平 面 上 , O 为 原 点 , M 为 动 点 , (

???? ? ???? 2 5 ???? ? | OM |? 5, ON ? OM . 过点 M 作 MM1⊥y 轴于 M1,过 N 作 NN1⊥x 轴于点 N1, 5
、B(1,0) ,过点 A 作直线 l OT ? M1M ? N1 N . 记点 T 的轨迹为曲线 C,点 A(5,0) 交曲线 C 于两个不同的点 P、Q(点 Q 在 A 与 P 之间). (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在直线 l,使得|BP|=|BQ|,并说明理由. 21.本小题满分 14 分) ( 已知数列 ?an ? 中的各项均为正数, 且满足 a1 ? 2,
2 记 bn ? an ? an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 x n ,且 f ( xn ) ?

an ?1 ? 1 2an ? ?n ? N? ? . an ? 1 an ?1

1 xn . 2

(Ⅰ)数列 ?bn ? 和 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求证:
f ? xn ? n n ? 1 f ? x1 ? f ? x2 ? ? ? ?L ? ? ?n ? N? ? . 2 f ? x2 ? f ? x3 ? f ? xn ?1 ? 2

2012 高考最后五天冲刺黄金卷:数学文 3
【答案及详细解析】
一、选择题:本大题理科共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1.B.解析:由 x ? 2 ? 1, y ? 1有 (1 ? i) 4 ? (?2i) 2 ? ?4 . 2. 解析: a1004 ? a1005 ? a1006 ? 3 得 a1005 ? 1 , C. 由 从而 S 2009 ?

a1 ? a2009 ? 2009 ? 2009 , 选 2

C.若直接用通项公式和求和公式求解较复杂,解答中应用等差数列的性质 am + an = a p +

aq ,结论巧妙产生,过程简捷,运算简单.
3.D.解析:由

3 3 ? ? 1 可 化 为 xy =8+x+y, ? x , y 均 为 正 实 数 , ? xy 2? x 2? y

=8+x+y ? 8 ? 2 xy (当且仅当 x=y 等号成立)即 xy-2 xy ? 16 故 xy 的最小值为 16. 解决本题的关键是先变形,再利用基本不等式 ab ? 的不等式.

xy -8 ? 0 ,可解得 xy ? 4 ,即

a?b (a ? 0, b ? 0) 来构造一个新 2

4.C.解析:如图(1) ,在平面内不可能有符合题意的点;如图(2) ,直线 a、b 到已知平 面的距离相等且所在平面与已知平面垂直,则已知平面为符合题意的点;如图(3) ,直线 a、 b 所在平面与已知平面平行,则符合题意的点为一条直线,从而选 C.
a b a

b

(1)

(3)

a

(2) b

5 . B . 解 析 : 由 向 量 m ? (a ? b,1) 和 n ? (b ? c,1) 共 线 知 a ? c ? 2b ① , 由

??

?

3 a2 ? c2 ? b2 3 1 3 15 ? ③, ac sin B ? ? ac ? ②,由 c>b>a 知角 B 为锐角,cos B ? ? 2 2 4 5 2ac 5
联立①②③得 b=2. 6.A.解析:当 n ? 1 时,此时 s ? 0 ;当 n ? 2 时,此时 s ? 0 ? 1 ;当 n ? 3 时,此时

s ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ; 当 n ? 4 时 , 此 时 s ? 0 ? 1 ? 2 ? 22 ? 7 ; 当 n ? 5 时 , 此 时

s ? 0 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 15 ;此时只要 p 的值为 15 即可使得判断框取“否” ,从而输出 n 的
值为 5. 处理此类问题时,一定要注意多写几步,从中观察得出答案;本题若将 n ? n ? 1 与

S ? S ? 2n?1 的位置调换一下,则情况又如何呢?同学们可以考虑一下.
7.D.解析:易知当且仅当

a 1 a 1 ? 时两条直线只有一个交点,而 ? 的情况有三种: b 2 b 2

; ; a ? 1, b ? 2 (此时两直线重合) a ? 2, b ? 4 (此时两直线平行) a ? 3, b ? 6 (此 时 两 直 线 平 行 ) . 而 投 掷 两 次 的 所 有 情 况 有 6 ? 6 ? 36 种 , 所 以 两 条 直 线 相 交 的 概 率

3 11 2 1 1 11 两条直线平行的概率为 P = P ? ; ? , 1 ? P2i 所对应的点为 P ( , ) , 1 36 12 36 18 18 12 1 11 易判断 P ( , ) 在 l2 : x ? 2 y ? 2 的左下方,选 D. 18 12 P2 ? 1 ?
本题 融合了直线、线性规划、概率及复数等有关知识,在处理方法上可采用枚举法处 理,注意不等忽视了直线重合这种情况,否则会选 C. 8 . A . 解 析 : 设 A( x1 ,

x12 x2 ), B( x2 , 2 ) , 由 导 数 不 难 知 道 直 线 PA, PB 的 斜 率 分 别 为 4 4

k PA ?

1 1 x2 x2 1 1 x1 , k PB ? x2 . 进一步得 PA : y ? x1 x ? 1 . ① PB : y ? x2 x ? 2 . ②,由①②可 2 2 2 4 2 4

得 点 P(

x1 ? x 2

2

xx 2 xx , 1 ,( 1 ) 因 为 P 在 l 上 , 所 以 1 2 ? ?1 , 所 以 ) 4 4
P ;( 2 ) 若 P A B ? P, B

k PA ? k PB ?

xx 1 1 ? x 1 ? x 2 ? 1 2 ? ?1 , 所 以 P A 2 2 4

k PA ? k PB ?

xx 1 1 x 1 ? x 2 ? 1 2 ? ?1 ,即 y p ? ?1 ,从而点 P 在 l 上. 2 2 4

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-12 题)

7 35 35 ? ? ,从而 n ? 20 . n 30 ? 10 ? 35 ? 25 100 4 1 3 2 2 10. 0 ? c ? . 解析:? f ( x) ? x ? bx ? c ? f ?( x) ? x ? 2bx ,当 x ? 2时, f ( x) 取 3 3
9. n ? 20 .解析: 得极值,得 b ? 1 又当 x 充分小时 f ( x) ? 0 又当 x 充分大时, f ( x) ? 0. 若 f ( x) ? 0 有 3

? f (0) ? c ? 0 4 ? 个实根,则 ? ,得 0 ? c ? . 1 3 2 3 ? f (2) ? 3 ? 2 ? 2 ? c ? 0 ?
本题在函数、导数、方程的交汇处命题,具有较强的预测性,解题的关键是:深刻理解 函数“零点”的定义及数形结合方法的使用.

x ? 2y ? 3 2? y ? 1? y ?1 ? 1? ,而 表示过点(x,y)与(-1.-1)连线的斜率, x ?1 x ?1 x ?1 y ?1 1 易 知 a?0 , 所 以 可 作 出 可 行 域 , 知 的 最 小 值 是 即 4 x ?1
11.1.解析:?

(

y ?1 0 ? (?1) 1 1 )min ? ? ? ? a ? 1. x ?1 3a ? (?1) 3a ? 1 4

y 4a

3a o (-1,-1) x

涉及到线性规划的题目,每年必考;就此题而言,式子 z ?

x ? 2y ? 3 的处理应当成为 x ?1

解决本题的关键,一般来说,高考题中的分式结构在处理方式上一般是分离变形,这样其几 何意义就表现来了. 12.

? .解析:本题以定义的一种新的变换为入手点,主要考查直线与圆的有关知识.由题 3
/ /

/ 2 2 意知 A B 的方程为: x ? y ? 4 ,设 M ( x, y ) ,则 M ( x 2 , y 2 ) ,从而有 x ? y ? 4 ,易知

A/ ?1, 3? ? A (1, 3) , B / ? 3,1? ? B( 3,1) , 不 难 得 出 ?AOX ?

?
3

, ?BOX ?

?
6

,则

?AOB ?

?
6

,点 M 的对应点 M 所经过的路线长度为 2? ? 2 ?
/

1 ? ? . 12 3

Y _

A _ B _ B _ O _ X _

弄懂定义的本质是解题关键;针对本题,通过阅读题意,不难知道由变换得到点的轨迹 是圆的一部分. (二)选做题(13-15 题,考生只能从中选做两题) 13. 3 .解析:由题意知,直线 l 的倾斜角为 30 ,并过点 A (2,0) ;曲线 C 是以(1,0) 为圆心、半径为 1 的圆,且圆 C 也过点 A (2,0) ;设直线 l 与圆 C 的另一个交点为 B ,在
?

Rt?OAB 中, AB ? 2 cos30? ? 3 .
14. 3 ? x ? 8 .解析:由题意知,满足条件的 a ? 7 ;解不等式 x ? 4 ? x ? 7 ? 5 有

3 ? x ? 8.
15. 2 3 , 3 .解析:由切割线定理得 PC ? PB ? PA ? 12 ,
2

C

1 ? PC ? 2 3 ;连结 OC,则 OC ? OP ,??P ? 30? , 2 1 ? CD ? PC ? 3 . 2

A

O

D

B

P

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ? a ? b? | b | ?
2

3 3 ? 5 3 sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 4 cos 2 x ? sin 2 x ? ??2 分 2 2 5 5 1 ? cos 2 x 5 ? 5 3 sin x cos x ? 5cos 2 x ? ? 3 sin 2 x ? 5 ? ? ????3 分 2 2 2 2

? ?

?

7? 1 ? , ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 ??????6 分 6 2 2 6 6 2 6 ? ? 5 ? ? x ? 时, 函数f ( x)的值域为[ ,10]. ????????7 分 6 2 2 ? ? 3 (Ⅱ) f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ? 5 ? 8, 则 sin(2 x ? ) ? , 6 6 5 ? ? ? ? 7? ? x ? , 得 ? 2x ? ? ; ???????8 分 6 2 2 6 6 ? 4 所以 cos(2 x ? ) ? ? , ?????9 分 6 5


? 5sin(2 x ? ) ? 5 ; 6

?

??????????4 分

?

?x?

?

,得

?

? 2x ?

?

?

f (x ?

?
12

) = ? 5sin 2 x ? 5 ? 5sin(2 x ?

?

? 3 3 ? )?5 ? ? 7. 6 6 2
?

???????10 分

(Ⅲ)由题意知 f ( x) ? 5sin(2 x ? 所以 g ( x) ? 5sin 2 x ;

?
6

) ? 5 ? g ( x) ? 5sin[2( x ?

) ? ) ? 5 ? 5 ? 5sin 2 x , 12 6
??????12 分 ????13 分

?

g (? x) ? 5sin(?2 x) ? ?5sin 2 x ? ? g ( x) ,故 g ? x ? 为奇函数.
17. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设甲队获第一且丙队获第二为事件 A,则 p? A? ? (Ⅱ) ? 可能取值为 0、3、6,

1 1 ? 1? 1 ? ? ?1 ? ? ? . ???3 分 3 4 ? 3 ? 18
????4 分

则甲两场皆输:

? 1 ?? 1 ? 1 P?? ? 0? ? ?1 ? ??1 ? ? ? . ? 3 ?? 4 ? 2 1 ? 1? ? 1? 1 5 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 3 ? 4 ? ? 3 ? 4 12

????5 分

甲两场只胜一场: p?? ? 3? ? 甲两场皆胜: p?? ? 6 ? ?

????6 分

1 1 1 ? ? . 3 4 12

????8 分

? ? 的分布列为:

?
P

0

3

6

1 2

5 12

1 12
????10 分

E? ? 0?

1 5 1 7 ? 3? ? 6 ? ? . 2 12 12 4

????12 分

18. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)以 C 为原点,分别以 CB、 CC1 、 CA 为 x、y、z 轴建立坐标系,则
AC ? BC ? CC1 ? a , A ? 0 , 0 , a ? , C1 ? 0 , a , 0 ? ,
A1

z

A

y
C1
N

M

?a a a? ?a ? M? , , ? , N? , a , 0? , ?2 ? ? 2 2 2?
???? ? a ? a? AC1 ? ? 0 , a , ? a ? , MN ? ? 0 , , ? ? ,……3 分 ? 2 2? ???? ? ???? ? ∴ AC1 ? 2MN , AC1 ∥MN,故 MN∥平面 ACC1 A1 .……4 分
(Ⅱ)∵ A1 ? 0 , a , a ? 、 B ? a , 0 , 0? ,

C

B1

B
x

???? ? ∴ A1B ? ? a , ? a , ? a ? ;……6 分

???? ???? ? ? a ? a? 又 MN ? A1B ? 0 ? a ? a ? ? a ? ? ? ? ? 0 ,……7 分 2 ? 2? ???? ??? ? ? a ? a? MN ? CB ? 0 ? a ? 0 ? ? 0 ? ? ? ? ? 0 ,∴MN⊥ A1B ,MN⊥CB, 2 ? 2?
∴ MN ⊥平面 A1 BC . (Ⅲ)作 CH⊥AB 于 H 点, ∵平面 ABC⊥平面 ABB1A1 ,∴CH⊥平面 A1BA ,……10 分 ……………………………………… 9 分

??? ? a ? a? 故平面 A1BA 的一个法向量为 CH ? ? , 0 , ? , ?2 2? ???? ? a ? a? 而平面 A1BC 的一个法向量为 MN ? ? 0 , , ? ? ,……11 分 ? 2 2?
???? ???? ? ???? ???? ? CH ? MN ∴ cos CH , MN ? ???? ???? ? ? CH ? MN a a ? ? 2 2 ? ? 1 ,……12 分 2 2a 2a ? 2 2

故二面角 A ? A1 B ? C 的大小为

? . ……………………… 13 分 3

19. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) 由题设可设抛物线方程为 y ? f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) ,且 ?
2

∴ c ? 0 , b ? ?5 ? 2a ,

? f (0) ? 0 , ? f (2) ? ?10

5 ? 2a 2 (5 ? 2a) 2 ) ? (a ? 0) ; 即 y ? f ( x) ? ax ? (5 ? 2a) x ? a( x ? 2a 4a
2

∴ [ f ( x)]max ? ?

5 ? 2a (5 ? 2a)2 2 ? 0 , 得 (6a ? 25)(2a ? 3) ? 0 且 ? (a ? 0) 且 2a 4a 3

5 a?? . 2 25 10 25 10 , b ? ,所以解析式为: y ? ? x 2 ? x . ∴a ? ? ????5 分 6 3 6 3 3 3 8 (Ⅱ) 当运动员在空中距池边的水平距离为 3 米时,即 x ? 3 ? 2 ? 时, 5 5 5 8 25 8 10 8 16 y ? f ( ) ? ? ? ( )2 ? ? ? ? , ????7 分 5 6 5 3 5 3 16 14 ? ? 5 ,故此次跳水会出现失误. ???9 分 所以此时运动员距水面距离为 10 ? 3 3 (Ⅲ) 设要使跳水成功,调整好入水姿势时,距池边的水平距离为 m (m ? 2) ,则 f (m ? 2) ? ?5 . 25 10 12 ? 34 (m ? 2) 2 ? (m ? 2) ? ?5 ,即 5m2 ? 24m ? 22 ? 0 ∴ 2 ? m ? ,?13 分 6 3 5 12 ? 34 所以运动员此时距池边的水平距离最大为 米. ???14 分 5
∴? 20. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)设点 T 的坐标为 ( x, y ) ,点 M 的坐标为 ( x ?, y ?) ,则 M1 的坐标为(0, y ? ) ,

???? 2 5 ???? 2 5 ? 2 5 2 5 ON ? OM ? ( x?, y?) ,于是点 N 的坐标为 ( x?, y ?) ,N1 的坐标 5 5 5 5
为(

?????? ????? 2 5 2 5 x ?,0) ,所以 M1M ? ( x?, 0), N1 N ? (0, y?). 5 5

????2 分

? x ? x?, 2 5 ? 由 OT ? M 1 M ? N1 N , 有( x, y) ? ( x?,0) ? (0, y ?), 所以? 2 5 5 y ?. ?y ? 5 ?
由此得 x ? ? x, y ? ?

5 y. 2
2 2

????4 分

由 | OM |?

5 , 有x ? ? y ?

? 5, 所以x ? (
2

5 2

y)

2

? 5, 得

x2 5

?

y2 4

? 1,

即所求的方程表示的曲线 C 是椭圆. ????????6 分 (Ⅱ)点 A(5,0)在曲线 C 即椭圆的外部,当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 与椭圆 C 无交点,所以直线 l 斜率存在,并设为 k. 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 5). ???8 分

? x2 y2 ? 1, ? ? 由方程组 ? 5 得(5k 2 ? 4) x 2 ? 50k 2 x ? 125k 2 ? 20 ? 0. 4 ? y ? k ( x ? 5) ?
依题意 ? ? 20(16 ? 80k ) ? 0, 得 ?
2

5 5 ?k? . 5 5

????10 分

当?

5 5 时,设交点 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ), PQ 的中点为 R( x0 , y0 ) , ?k? 5 5
x ? x2 50k 2 25k 2 , x0 ? 1 ? 2 . 2 5k 2 ? 4 5k ? 4
25k 2 ? 20k ? 5) ? 2 . 2 5k ? 4 5k ? 4
????12 分

则 x1 ? x 2 ?

? y 0 ? k ( x0 ? 5) ? k (

又 | BP |?| BQ |? BR ? l ? k ? k BR ? ?1,

k ? k BR

20k 2 20k 2 ? k ? 5k ? 4 ? ? ?1 ? 20k 2 ? 20k 2 ? 4, 25k 2 4 ? 20k 2 1? 2 5k ? 4
2 2

而 20k ? 20k ? 4 不可能成立,所以不存在直线 l,使得|BP|=|BQ|. ????14 分 21. (本小题满分 14 分) 解: (I)

an?1 ? 1 2an 2 2 ? ? an?1 ? an?1 ? 2(an ? an ) , an ? 1 an?1

??????2 分

2 ? bn ? an ? an , bn?1 ? 2bn ,?数列 bn }是公比和首项均为 2 的等比数列, {

?bn ? 2n ,
2 n n

??????????????????????????4 分

1 ? 1 ? 2 n? 2 即 a ? an ? 2 ? an ? (? an ? 0). ????????????6 分 2
(II)证明:因为等比数列{ bn }的前 n 项和 x n ? 所以 f ( xn ) ? 2 ? 1.
n

2(2 n ? 1) ? 2 n?1 ? 2, 2 ?1

??7 分

??????????????????????8 分

f ( xk ) 2k ? 1 ? ? 故 f ( x k ?1 ) 2 k ?1 ? 1

2k ? 1 1 ? , k ? 1,2,3,?, n, 1 2 2(2 k ? ) 2

????????10 分

所以

f ( xn ) n f ( x1 ) f ( x2 ) ? ??? ? . f ( x 2 ) f ( x3 ) f ( xn?1 ) 2

????????????11 分

f ( xk ) 2k ? 1 1 1 另一方面 ? k ?1 ? ? , k ?1 f ( xk ?1 ) 2 ? 1 2 2(2 ? 1)
? 1 1 1 1 ? k ?1 ? ? k ?1 , k ? 1,2,?, n. k ?1 2 2 ? 2k ? 2 2 2
????12 分

? ?

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ? ??? f ( x 2 ) f ( x3 ) f ( x n ?1 ) n 1 1 1 n 1 1 n ?1 ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ) ? ? (1 ? n ) ? . 2 2 2 2 2 2 2 2

?

f ( xn ) n n ? 1 f ( x1 ) f ( x2 ) ? ? ??? ? . 2 f ( x 2 ) f ( x3 ) f ( xn?1 ) 2

????????????14 分