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《三维设计》2015届高考数学大一轮配套课时训练 平面向量的基本定理及坐标表示


课时跟踪检测(二十七) 第Ⅰ组:全员必做题

平面向量的基本定理及坐标表示

1.(2013· 辽宁高考)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量 AB 同方向的单位向量为( 4? ?3 A.?5,-5? ? ? 3? ?4 B.?5,-5? ? ? ? 3 4? C.?-5,5? ? ? ? 4 3? D.?-5,5? ? ?

)

2. 已知△ABC 中, 点 D 在 BC 边上, 且 CD =2 DB , 则 r+s 的值是( CD =r AB +s AC , 2 A.3 4 B.3 C.-3 D.0

)

1 ? ? 3.(2014· 江苏五市联考)已知向量 a=?8,2x?,b=(x,1),其中 x>0,若(a-2b)∥(2a+b), ? ? 则 x 的值为( A.4 ) B.8 C.0 D.2

4.?创新题?若 α,β 是一组基底,向量 γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量 γ 在基底 α, β 下的坐标,现已知向量 a 在基底 p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则 a 在另一 组基底 m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为( A.(2,0) B.(0,-2) ) C.(-2,0) D.(0,2)

5.如图,在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线 AC,BD 的交点,N 是线段 OD 的中点,AN 的延长线与 CD 交于点 E,则下列说法错误的是( A. AC = AB + AD 1 1 C. AO =2 AB +2 AD B. BD = AD - AB 5 D. AE =3 AB + AD )

6.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且 BP =2 OB ,点 Q 是 AC 的中点,若 PA =(4,3), PQ = (1,5),则 BC =________. 7.(2014· 九江模拟)P={a|a=(-1,1)+m(1,2),m∈R},Q={b|b=(1,-2)+n(2,3),n∈R} 是两个向量集合,则 P∩Q 等于________. 8.已知向量 OA =(1,-3), OB =(2,-1), OC =(k+1,k-2),若 A,B,C 三点能构 成三角形,则实数 k 应满足的条件是________. 9.已知 a=(1,0),b=(2,1).求: (1)|a+3b|;(2)当 k 为何实数时,ka-b 与 a+3b 平行,平行时它们是同向还是反向?

10.已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6), OM =t1 OA +t2 AB . (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A,B,M 三点都共线.

第Ⅱ组:重点选做题 1.在△ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且 BC =3 CD ,点 O 在线段 CD 上(与点 C、 D 不重合),若 AO =x AB +(1-x) AC ,则 x 的取值范围是( 1? ? A.?0,2? ? ? 1? ? B.?0,3? ? ? ? 1 ? C.?-2,0? ? ? ) ? 1 ? D.?-3,0? ? ?

2.(2014· 湖南五市联合检测)设向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积 a?b=(a1b1, 1? ? ?π ? a2b2),已知向量 m=?2,2?,n=?3,0?,点 P(x,y)在 y=sin x 的图像上运动.Q 是函数 y ? ? ? ? =f(x)图像上的点,且满足 OQ =m? OP +n(其中 O 为坐标原点),则函数 y=f(x)的值域是 ________.

答 第Ⅰ组:全员必做题 1.选 A



AB =(3,-4),则与其同方向的单位向量 e=

4? 1 AB ?3 =5(3,-4)=?5,-5?. ? ? | AB |

2.选 D ∵ CD =2 DB , 2 2 ∴ CD =3 CB =3( AB - AC ), 2 2 ∴ CD =3 AB -3AC, 2 2 又 CD =r AB +s AC ,∴r=3,s=-3, ∴r+s=0.故选 D. 1 ? ? 3.选 A a-2b=?8-2x,2x-2?,2a+b=(16+x,x+1), ? ? 由已知(a-2b)∥(2a+b),显然 2a+b≠0, 1 ? ? 故有?8-2x,2x-2?=λ(16+x,x+1), ? ? λ∈R, 8-2x=λ?16+x?, ? ? ∴?1 x-2=λ?x+1? ? ?2

?x=4(x>0).

4.选 D ∵a 在基底 p,q 下的坐标为(-2,2), 即 a=-2p+2q=(2,4), 令 a=xm+yn=(-x+y,x+2y), ?-x+y=2, ?x=0, ∴? 即? ?x+2y=4, ?y=2. ∴a 在基底 m,n 下的坐标为(0,2). 5.选 D 由向量减法的三角形法则知, BD = AD - AB ,排除 B;由向量加法的平行 1 1 1 四边形法则知, AC = AB + AD , AO =2 AC =2 AB +2 AD ,排除 A、C. 6.解析: AQ = PQ - BF =(-3,2), ∴ AC =2 AQ =(-6,4).

PC = BF + AC =(-2,7),
∴ BD =3 PC =(-6,21). 答案:(-6,21)

7.解析:P 中,a=(-1+m,1+2m),Q 中, b=(1+2n,-2+3n). ?-1+m=1+2n, ?m=-12, 则? 得? ?1+2m=-2+3n. ?n=-7. 此时 a=b=(-13,-23). 答案:{?-13,-23?} 8.解析:若点 A,B,C 能构成三角形, 则向量 AB , AC 不共线. ∵ AB = OB - OA =(2,-1)-(1,-3)=(1,2),

AC = OC - OA =(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),
∴1×(k+1)-2k≠0,解得 k≠1. 答案:k≠1 9.解:(1)因为 a=(1,0),b=(2,1), 所以 a+3b=(7,3), 故|a+3b|= 72+32= 58. (2)ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3), 因为 ka-b 与 a+3b 平行, 1 所以 3(k-2)+7=0,即 k=-3. ? 7 ? 此时 ka-b=(k-2,-1)=?-3,-1?, ? ? a+3b=(7,3),则 a+3b=-3(ka-b), 即此时向量 a+3b 与 ka-b 方向相反. 10.解:(1) OM =t1 OA +t2 AB =t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2). 当点 M 在第二或第三象限时, ?4t2<0, 有? ?2t1+4t2≠0, 故所求的充要条件为 t2<0 且 t1+2t2≠0. (2)证明:当 t1=1 时, 由(1)知 OM =(4t2,4t2+2). ∵ AB = OB - OA =(4,4),
AM = OM - OA =(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2 AB ,

∴A,B,M 三点共线. 第Ⅱ组:重点选做题 4 1. 选 D 依题意, 设 BO =λ BD , 其中 1<λ<3, 则有 AO = AB + BO = AB +λ BD = AB +λ( AC - AB )=(1-λ) AB +λ AC . ? 1 ? 又 AO =x AB +(1-x) AC ,且 AB , AC 不共线,于是有 x=1-λ∈?-3,0?,即 x 的 ? ? ? 1 ? 取值范围是?-3,0?. ? ? 2.解析:令 Q(c,d),由新的运算可得 π c = 2 x + ? 3, π 1 1 π ? ? ? 2x+3,2sin x?,? OQ =m? OP +n=2x,2sin x+3,0=? ? ? 1 ? ?d=2sin x, 1 ?1 π? 消去 x 得 d=2sin?2c-6?, ? ? 1 ?1 π? 所以 y=f(x)=2sin?2x-6?, ? ? ? 1 1? 易知 y=f(x)的值域是?-2,2?. ? ? ? 1 1? 答案:?-2,2? ? ?


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