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(衡水万卷)2016届高三二轮复习数学(文)周测卷(九)立体几何周测专练2 Word版含解析


衡水万卷周测卷九文数
立体几何周测专练
姓名:__________班级:__________考号:__________
题号 得分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求 的) 1.在底面为正方形的长方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点,①矩形; ②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体; ④每个面都是等腰三角形的四面体; ⑤每个面都是直角三角形的四面体.这些几何形体是 ( ) A.①②④⑤ B.①②③⑤ C.①②③④ D.①③④⑤ 2.如图为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是( ) 一 二 三 总分

C.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α D.若 m∥α ,α ⊥β ,则 m⊥β 6.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,P.Q.E.F 分别是 AB . AD . B1C1 . C1D1 的中点,则正方体的过 P.Q.E.F 的截面图形的形状是 ( ) A.正方形 B.平行四边形 C.正五边形 D.正六边形 7.如图,已知圆柱的底面半径为 2,高为 4,从 A 点绕着圆柱转两圈到 B 点, 则最短的路线长是( )

A. 4 1 ? 4? 2

B. 2 1 ? 4? 2

C. 4 1 ? 2? 2

D. 2 1 ? 2? 2 )

8.向高为 H 水瓶中注水,注满为止.如果注水体积 V 与水深 h 的函数关系如图,那么水瓶的形状是图中的(

?ABC ? 150 , 9.已知菱形 ABCD 的边长为 4, 若在菱形内任取一点, 则该点到菱形的四个顶点的距离大于 1 的概率 ( )
0

A. 1 ?

? 8

B. 1 ?

? 6

C.

? 8

D.

? 6

10.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形, 其正(主)视图如右图所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是 (A) 4 5,8 (B) 4 5,

8 3

(C) 4( 5 ? 1),

8 3

(D) 8,8

3.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( A.



160 3

B. 160

C. 64 ? 32 2

D. 88 ? 8 2

11.如图,设 AB ? 平面 ? , CD ? 平面 ? ,垂足分别为 B, D ,且 AB ? CD .EF 是平面 ? 与平面 ? 的交线,如果增加一个条 件就能推出 BD ? EF ,给出四个条件不可能是 ①AC ? 平面 ? ; ②AC ? EF ; ③AC 与 BD 在平面 ? 内的射影在同一条直线上;
④AC 与 BD 在平面 ? 内的射影所在的直线交于一点.

4.若 a , b 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列命题正确的是( A.若 a∥? , b∥? ,则 a∥b B.若 a∥ ? , a∥b ,则 b∥? C.若 a∥? , a ? ? , ? ? ? ? b ,则 a∥b D.若 a ? ? , ? ? ? ? b , a ? b ,则 a ? ?



那么这个条件不可能是( ) A. ①② B. ②③ C. ③

D. ④

12.在三棱锥 A - BCD 中,已知 AB⊥平面 BCD,∠BCD=90°, 2 2 2 AB =a,BC =b,CD =c,a +b +c =4,则三棱锥 A- BCD 的外接球的表面积为( A.



4? 3

B.

8? 3

C. 4?

D. 16?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.过正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 BDD1B1 平行的直线有 14.若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示(单位:cm), 则它的侧视图的面积为 对.

5.设 m.n 是两条不同的直线,α .β 是两个不同的平面, A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B.若 m∥α ,m∥β ,则α ∥β

cm2 .

15.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3 它的三视图的俯视图如图,左视图是一个矩形,则矩形的面积 是
3

正 视 图

1

俯 视 图

2 主视图 O 1 2 3 O左视图 2 俯视图 OO

19. 如图 4,三棱柱 ABC ?ABC 1 1

1

中,侧面 AA1C1C ? 底面 ABC , AA1 ? A1C ? AC ? 2, AB ? BC , 且 AB ? BC ,O 为 AC 中点.
A1 B1 C1

(第 14 题图)

(第 15 题图)

(第 16 题图)

(Ⅰ)在 BC1 上确定一点 E ,使得 OE // 平面 A1 AB ,并说明理由;

16.已知一个三棱锥的三视图如图 2 所示, 其中俯视图是顶角为120 的等腰三角形,则该三棱锥的外接球体积为 三、解答题(本大题共 6 小题,第一题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分) 17.如图在三棱锥 A ? BOC 中, AO ? 平面 COB , ?OAB ? ?OAC ? ? , AB ? AC ? 2, BC ? 2, D . E 分别为 AB . OB 的中点.
6
?

A

O
B

C

20.一个几何体是由圆柱 ADD1 A1 和三棱锥 E ? ABC 组成的,点 A . B . C 在圆 O 的 (1)求证: AC ? BD ; (2)求三棱锥 E—BCD 的体积.

圆周上,

(1)求证: CO ? 平面 AOB ;(2)在线段 CB 上是否存在一点 F ,使得平面 DEF ∥平面 AOC ,若 存在,试确定 F 的位置;若不存在。请说明理由.

其正(主)视图.侧(左)视图的面积非别为 10 和 12.如图所示,其中 EA ? 平面 ABC , AB ? AC , AB ? AC , AE ? 2 ;

18.如图所示,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BB1 , AC1 ? 平面 A1 BD, D 为 AC 的中点。 (Ⅰ)求证: B1C / / 平面 A1 BD ; (Ⅱ)求证: B1C1 ? 平面 ABB1 A1 ; (Ⅲ)设 E 是 CC1 上一点,试确定 E 的位置,使平面 A1 BD ? 平面 BDE ,并说明理由。

21.如(图 24—5) ,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ?ADC ? 45? , , AD ? AC ? 1 O 为 AC 的中点, PO ? 平面 ABCD , PO ? 2 , M 为 PD 的中点 (1)证明 : PB ∥平面 ACM ; (2)证明: AD ? 平面 PAC ; (3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值.

22. 一个多面体的直观图和三视图如图所示

(1)求证: PA ? BD ; (2)是否在线段 PD 上存在一 Q 点,使二面角 Q ? AC ? D 的平
? 面角为 30 ,设 ? ?

DQ ,若存在,求 ? ;若不存在,说明理由 DP

P

A

7
B C

7
2

7
2
侧 视 图

7

2

D

2
俯 视 图

正 视 图

0.衡水万卷周测卷九文数答案解析 一、选择题 1.D 2.C【解析】根据直观图的画法规则可知只有选项 C 符合题意. 3.C 4.C 5.【答案】C 6.D【解析】如图所示,

14.S=

1 3 3 ? ? 3? . 2 2 4
3

15. 2 3 【解析】设正三棱柱的底面边长为 a ,利用体积为 2 所以底面正三角形的高为 3 故所求矩形的面积为 2 3 . 16.

,很容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是 2,

20 5 ? 3

三、解答题 17.解:(1)因为 AO ? 平面 COB ,所以 AO ? CO, AO ? BO . 即 ?AOC 与 ?AOB 为直角三角形. 取 B1 B 中点 G ,连接 EG , GP 取 D1D 的中点 H ,连接 HF , HQ ,由分析可知,正方体过 P . Q . E . F 的截面为六边形, 且 EFHQPG 为正六边形故选 D. 7.A【解析】由题意,可以把圆柱的侧面展开两次,如图 又因为 ?OAB ? ?OAC ? , AB ? AC ? 2 ,所以
6

?

OB ? OC ? 1 .由 OB ? OC ? 1 ? 1 ? 2 ? BC ,可知 ?BOC 为直角三角形.所以 CO ? BO ,又因为 AO ? BO =0

2

2

2

AB ' 即为所求. AB ' ? 16 ? (8? )2 ? 4 1 ? 4? 2 ,选 A.

8.B【解析】本题考查对几何体的体积公式的理解.如果水瓶形状的圆柱, V ? ? r 2 h ,当底面半径 r 不变时,V 是 h 的正 比例函数,其图像应该是过原点的直线,与已知图像不符.由图知函数图像的切线斜率大于 0,且随着高度 h 的增 加,切线斜率逐渐变小,可以看出,随着高度 h 的增加 V 也增加,但随着 h 的变大,体积 V 在单位高度的增加是变 小,图像上升趋势变缓,所以瓶子平行于底的截面的半径由底到顶逐渐变小. 9.A 10.B 11.D【解析】本题考查直线与直线垂直的判定.直线与平面垂直的判定. AC ? 平面 ? 时 AC ? EF ,又 AB ? 平面 ? ,所 以 AB ? EF ,故 EF ? 平面 ABCD ,从而 EF ? BD ,故条件① 可以; AC ? EF 时,同①易知 EF ? 平面 ABCD ,从而 EF ? BD ,故条件②可以;AC 与 BD 在 ? 内的射影在同 一条直线上时,即 A.B.D.C 四点在平面 ? 内的射影在同一条直 线上。此时 EF 垂直于 BD 在 ? 内的射影,即 EF ? BD ,条件③也可以; AC 与 BD 在平面 ? 内的射影所在的直线交 于一点时, EF 与平面 ABCD 不垂直,不能推出 BD ? EF ,故条件④ 不可以. 12.C 二、填空题 13.12【解析】如(答图 3) ,

所以 CO ? 平面 AOB (2)在线段 CB 上存在一点 F ,使得平面 DEF ∥平面 AOC , 此时 F 为线段 CB 的中点, 连接 DF , EF 因为 D . E 分别为 AB . OB 的中点,所以 DE ∥ OA ,又 DE ? 平面 AOC 所以 DE∥平面 AOC 因为 E . F 分别为 OB . BC 的中点, 所以 EF ∥ OC .又 EF ? 平面 AOC ,所以 EF ∥平面 AOC ,又 EF ? DE ? E , EF ? 平面 DEF , DE ? 平面 DEF 所以平面 DEF ∥平面 AOC . 18.(Ⅰ)证明:连接 AB1 ,与 A1 B 相交于 M ,则 M 为 A1 B 的中点,连接 MD ,又 D 为 AC 的中点,? B1C / / MD 又 B1C ? 平面 A1 BD, MD ? 平面 A1 BD , ? B1C / / 平面 A1 BD (Ⅱ)证明:? AB ? B1 B ? 四边形 ABB1 A1 为正方形 ? A1 B ? AB1 又? AC1 ? 面 A1 BD ? AC1 ? A1 B ? A1 B ? 面 AB1C1 ? A1 B ? B1C1 又在直棱柱 ABC ? A1 B1C1 中 BB1 ? B1C1 ? B1C1 ? 平面 ABB1 A. (Ⅲ)解:当点 E 为 C1C 的中点时,平面 A1 BD ? 平面 BDE , ? D, E 分别为 AC , C1C 的中点, ? DE / / AC1 ? AC1 ? 平面 A1 BD , ? DE ? 平面 A1 BD 又 DE ? 平面 BDE ,

? 平面 A1 BD ? 平面 BDE

19.解: (Ⅰ) E 为 BC1 中点. 证法一:取 BC 中点 F ,连接 OF , EF . 所以可得 OF // AB, EF // BB1 ,所以面 OEF // 面 A1 AB . 所以 OE // 平面 A1 AB . 证法二:因为 A1 A ? A1C ,且O为 AC 的中点,所以 A1O ? AC .又由题意可知, 平面 AA1C1C ? 平面 ABC ,交线为 AC , 且 A1O ? 平面 AA1C1C ,所以 A1O ? 平面 ABC . 以O为原点, OB, OC , OA1 所在直线分别 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知, A1 A ? A1C ? AC ? 2, 又 AB ? BC , AB ? BC ,? OB ?
1 AC ? 1, 2

圆 O 的半径为 r ,圆柱的高为 h ,如图根据正(主)视图.侧(左)视图的面积可得, 1 ? 2rh ? r ? 2 ? 10 ?r ? 2 ? ? 2 解得 ? ? ?h ? 2 ? 2rh ? 1 ? 2r ? 2 ? 12 ? ? 2 所以 BC ? 4, AB ? AC ? 2 2 因为 EA ? 平面 ABC 所以
1 1 VE ? BCD ? VE ? ABC ? VD ? ABC ? S?ABC ? EA ? S?ABC ? DA 3 3
?

1 S?ABC ? ED .易知 ED ? EA ? DA ? 2 ? 2 ? 4 .因为 3

AB ? AC, AB ? AC ? 2 2 所以
S ?ABC ? 1 2 ? AC ? AB ?

1 2

?2 2?2 2 ? 4

所以 VE ? BCD ?

1 3

? 4? 4 ?

16 3

.

21.解: (1)由三视图可知 P ? ABCD 为四棱锥,底面 ABCD 为正方形,且 PA ? PB ? PC ? PD 连接 AC, BD 交于点 O ,连接 PO , 因为 BD ? AC, BD ? PO ,所以 BD ? 平面 PAC ,即 BD ? PA ; (2)由三视图可知, BC ? 2, PA ? 2 2 ,假设存在这样的 D 点 因为 AC ? OQ, AC ? OD ,所以 ?DOQ 为二面角 Q ? AC ? D 的平面角,

所以得: O(0,0,0), A(0, ?1,0), A1 (0,0, 3), C(0,1,0), C1 (0,2, 3), B(1,0,0)

???? ? ???? ??? ? 则有: AC ? (0,1, ? 3), AA1 ? (0,1, 3), AB ? (1,1,0) . 1
设平面 AA1 B 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则有

?PDO 中, PD ? 2 2 , OD ? 2 ,则 ?PDO ? 60? ,

?DQO 中, ?PDO ? 60? ,且 ?QOD ? 30? .所以 DP ? OQ,
3 ). 3
所以OD ? 2, QD ?
DQ 1 2 = ?? DP 4 2

???? ? 3 ?n ? AA1 ? 0 ? ? y ? 3z ? 0 ,令 y ? 1 ,得 x ? ?1, z ? ? ?? ? ? ??? 3 ? x? y?0 ? ? ? n ? AB ? 0
??? ? ???? ? 设 E ? ( x0 , y0 , z0 ), BE ? ? BC1 ,

所以 n ? (?1,1, ?

? x0 ? 1 ? ? ? 即 ( x0 ? 1, y0 , z0 ) ? ? (?1,2, 3) ,得 ? y0 ? 2? ? ? z0 ? 3?

22.解: (1)连接 BD , MO ,在平行四边形 ABCD 中,因为 O 为 AC 的中点,所以 O 为 BD 的中点,又 M 为 PD 的中点,所以 PB ∥ MO .因为 PB ? 平面 ACM , MO ? 平面 ACM ,所 以 PB ∥平面 ACM . (2)因为 ?ADC ? 45? ,且 AD ? AC ? 1 ,所以 ?DAC ? 90? ,即 AD ? AC .又 PO ? 平面 ABCD , ADC ? 平面ABCD 所以 PO ? AD .而 AC ? PO ? O ,所 以 AD ? 平面 PAC . (3)取 DO 的中点 N,连接 MN,AN.因为 M 为 PD 的 中点所以 MN ∥ PO .且 MN ?
1 PO ? 1 .由 PO ? 平面 ABCD ,得 MN ? 平面 ABCD ,所以 ? MAN 是直线 AM 与平面 2 1 5 1 5 ,所以 DO ? .从而 AN ? DO ? .在 Rt ?ANM 中, 2 2 2 4

??? ? 所以 E ? (1 ? ?, 2?, 3? ), 得 OE ? (1 ? ?,2?, 3? ), 由已知 OE // 平面 A1 AB ,
??? ? 1 得 OE ? n = 0 , 即 ?1 ? ? ? 2? ? ? ? 0, 得 ? ? . 2

即存在这样的点 E , E 为 BC1 的中点. 20.解: (1)因为 EA ? 平面 ABC , AC ? 平面 ABC 所以 EA ? AC 即 ED ? AC .又因为 AC ? AB, AB ? ED ? A,所以 AC ? 平面 EBD .因为 BD ? 平面 EBD ,所以 AC ? BD . (2)因为点 A . B . C 在圆 O 的圆周上,且 AB ? AC ,所以 BC 为圆 O 的直径.设

ABCD 所成的角.在 Rt ?DAO 中, AD ? 1, AO ?

tan ?MAN ?

MN 1 4 5 4 5 ? ? ,即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 . AN 5 5 5 2


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