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江苏省2016届高三数学专题复习 专题五 解析几何真题体验 文


专题五
一、填空题 1.(2013?江苏高考)双曲线

解析几何

真题体验?引领卷

- =1 的两条渐近线的方程为________. 16 9
2 2

x2

y2

2.(2015?广东高考改编)平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x +y =5 相切的直线的方程是 ________. 3.(2012?江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 -

x2 y2 =1 的离心率为 5,则 2 m m +4

m 的值为______.
4.(2015?全国卷Ⅱ改编)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M、N 两点, 则|MN|=________. 5.(2015?江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m-1 =0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________. 6.(2010?江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 - =1 上一点 M 的横坐标是 4 12 3,则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为________. 7.(2015?湖南高考)设 F 是双曲线 C: 2- 2=1 的一个焦点,若 C 上存在点 P,使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为________. 8.(2012?江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x +y -8x+15=0,若直线
2 2

x2

y2

x2 y2 a b

y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大
值是________. 9.(2015?江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x -y =1 右支上的一个动 点.若点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为________. 10.(2015?全国卷Ⅱ改编)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等 腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为________. 二、解答题 11.(2013?江苏高考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4. 设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上.
2 2

1

(1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

12.(2015?江苏高考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离 心率为 2 ,且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. 2

x2 y2 a b

(1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C, 若 PC=2AB,求直线 AB 的方程.

13.(2015?天津高考)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F(-c,0),离心率为

x2 y2 a b

3 ,点 3

M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x +y = 截得的线段的长为 c,FM=
4 (1)求直线 FM 的斜率; (2)求椭圆的方程;

2

2

b2

4 3 . 3

(3)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范围.

2

专题五 解析几何 真题体验?引领卷 3 1.y=± x 4 3 [由双曲线方程可知 a=4,b=3,所以两条渐近线方程为 y=± x.] 4

2.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 [设所求的切线方程为 2x+y+c=0(c≠1),依题意,得 |0+0+c| = 5,则 c=±5.∴所求切线的方程为 2x+y+5=0 或 2x+y-5=0.] 2 2 2 +1 3.2 [建立关于 m 的方程求解.

c2 m+m2+4 2 ∵c =m+m +4,∴e = 2= =5,∴m -4m+4=0, a m
2 2 2

∴m=2.] 4.4 6 → → [易知AB=(3,-1),BC=(-3,-9).

→ → → → 则AB?BC=3?(-3)+(-1)?(-9)=0,所以AB⊥BC, 故过三点 A,B,C 的圆以 AC 为直径,其方程为(x-1) +(y+2) =25. 令 x=0,得(y+2) =24,解之得 y1=-2-2 6,y2=-2+2 6. 因此|MN|=|y1-y2|=4 6.] 5.(x-1) +y =2 [直线 mx-y-2m-1=0 恒过定点(2,-1),由题意,得半径最大的圆 的半径 r= (1-2) +(0+1) = 2. 故所求圆的标准方程为(x-1) +y =2.] 6.4 [法一
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 x=3 代入 - =1,y=± 15,不妨设 M(3, 15),右焦点 F(4,0).
4 12

∴MF= 1+15=4. 法二 由双曲线第二定义知,M 到右焦点 F 的距离与 M 到右准线 x= =1 的距离比为离心率

a2 c

c e= =2, a
∴ =2,得 MF=4.] 3-1 [不妨设 F(-c,0),虚轴的一个端点为 B(0,b).

MF

7. 5

依题意,点 B 恰为线段 PF 的中点,则 P(c,2b), 2 ?c? 将 P(c,2b)代入双曲线方程,得? ? =5,因此 e= 5.] a

? ?

3

4 2 2 8. [圆 C 的标准方程为(x-4) +y =1,设圆心 C(4,0)到直线 y=kx-2 的距离为 d,则 3

d=

|4k-2| |4k-2| 4 4 ,由题意知问题转化为 d≤2,即 d= ≤2,得 0≤k≤ ,所以 kmax= .] 2 2 3 3 k +1 k +1 [双曲线 x -y =1 的渐近线为 x±y=0.
2 2

9.

2 2

又直线 x-y+1=0 与渐近线 x-y=0 平行, 所以两平行线间的距离 d= |1-0| 1 +(-1)
2 2



2 , 2

由点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立. 所以 c≤ 10. 2 2 2 ,故 c 的最大值为 .] 2 2 [

如图,设双曲线 E 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则 AB=2a,由双曲线的对称性,可设点

x2 y2 a b

M(x1,y1)在第一象限内,过 M 作 MN⊥x 轴于点 N(x1,0).
∵△ABM 为等腰三角形,且∠ABM=120°, ∴BM=AB=2a,∠MBN=60°. 在 Rt△BMN 中,y1=MN=2asin 60°= 3a,

x1=OB+BN=a+2acos 60°=2a.
将点 M(x1,y1)的坐标代入 2- 2=1,可得 a =b , 所以双曲线 E 的离心率 e= =

x2 y2 a b c a

2

2

a2+b2 = 2.] a2

11.解 (1)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2),于是切 线的斜率必存在. |3k+1| 3 设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3,由题意,得 =1,解得 k=0 或- ,故 2 4 k +1 所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上, 所以圆 C 的方程为(x-a) +[y-2(a-2)] =1. 设点 M(x,y),因为 MA=2MO,所以 x +(y-3) =2
2 2 2 2

x2+y2,化简得 x2+y2+2y-3=

4

0,即 x +(y+1) =4,所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点, 则|2-1|≤CD≤2+1, 即 1≤ a +(2a-3) ≤3. 整理得-8≤5a -12a≤0. 12 2 2 由 5a -12a+8≥0,得 a∈R;由 5a -12a≤0,得 0≤a≤ . 5
2 2 2

2

2

? 12? 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围是?0, ?. 5? ?
12.

c 2 a2 解 (1)由题意,得 = 且 c+ =3, a 2 c
解得 a= 2,c=1,则 b=1, 所以椭圆的标准方程为 +y =1. 2 (2)当 AB⊥x 轴时,AB= 2,又 CP=3,不合题意. 当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 将 AB 的方程代入椭圆方程, 得(1+2k )x -4k x+2(k -1)=0,
2 2 2k ± 2(1+k ) ? 2k 2, -k 2?, 则 x1,2= ,C 的坐标为? ? 2 1+2k ?1+2k 1+2k ? 2 2 2 2 2

x2

2

且 AB= (x2-x1) +(y2-y1) = (1+k )(x2-x1) 2 2(1+k ) = . 2 1+2k
2

2

2

2

2

若 k=0,则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而 k≠0,故直线 PC 的方程为

y+

2k ? 1? =- ?x- 2 , 1 + 2k ? 1+2k k? ?

k

2

2

5k +2 ? ? 则 P 点的坐标为?-2, , 2 k ( 1+2k )? ? ? 2(3k +1) 1+k 从而 PC= . 2 |k|(1+2k )
2 2

2

5

2(3k +1) 1+k 4 2(1+k ) 因为 PC=2AB,所以 = , 2 2 |k|(1+2k ) 1+2k 解得 k=±1. 此时直线 AB 的方程为 y=x-1 或 y=-x+1. 13.解 (1)由于椭圆的离心率 e= ∴a =3c ,且 b =2c , 设直线 FM 的斜率为 k(k>0),且焦点 F(-c,0). 则直线 FM 的方程为 y=k(x+c). 由已知,有? 3 ? kc ?2 ?c?2 ?b?2 ? +?2? =?2? ,解得 k= 3 . 2 ? k +1? ? ? ? ?
2 2 2 2 2 2

2

2

2

3 2 2 2 ,且 a =b +c , 3

x y 3 (2)由(1)得椭圆方程为 2+ 2=1,直线 FM 的方程为 y= (x+c),两个方程联立,消去 3c 2c 3 y,整理得 3x2+2cx-5c2=0,
5 解之得 x=- c 或 x=c. 3

? 2 3c? 因为点 M 在第一象限,则点 M 的坐标为?c, ?. 3 ? ?
由|FM|= (c+c) +?
2

?2 3 ?2 4 3 . c-0? = 3 ? 3 ?
x2 y2

解得 c=1,所以椭圆的方程为 + =1. 3 2 (3)设点 P 的坐标为(x,y),直线 FP 的斜率为 t, 得 t=

y ,即 y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立. x+1

y=t(x+1), ? ? 2 2 2 2 2 消去 y,整理得 2x +3t (x+1) =6, ?x y + =1, ? ?3 2
又由已知,得 t= 6-2x 2> 2, 3(x+1)
2

3 解得- <x<-1,或-1<x<0. 2

y 2 2 2 设直线 OP 的斜率为 m,得 m= ,即 y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理得 m = 2- . x x 3

? 3 ? ①当 x∈?- ,-1?时,有 y=t(x+1)<0. ? 2 ?

6

因此 m>0,于是 m=

2

x2 3

2 ? 2 2 3? - ,得 m∈? , ?. 3 ? ?3

②当 x∈(-1,0)时,有 y=t(x+1)>0. 因此 m<0,于是 m=- 2

x2 3

2 2 3? ? - ,得 m∈?-∞,- ?. 3 ? ?

2 3? ? 2 2 3 ? ? 综上,直线 OP 的斜率的取值范围是?-∞,- ?∪? , ?. 3 ? ?3 3 ? ?

7


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