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2015-2016学年度南昌市高三第一轮复习训练题数学(14)(简单几何体)1


2015-2016 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题

数 学(十四) (简单几何体)
命题人: 学校: 审题人: 学校: 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1. 在正四棱锥 P-ABCD 中,点 P 在底面上的射影为 O,E 为 PC 的中点,则直线 AP 与 OE 的位置关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.都有可能 l 2.设 是直线,? , ? 是两个不同的平面 B A. 若 l ∥? , l ∥ ? ,则? ∥ ? C. 若? ⊥ ? , l ⊥? ,则 l ⊥ ? B. 若 l ∥? , l ⊥ ? ,则? ⊥ ? D. 若? ⊥ ? , l ∥? ,则l ⊥ ?

3.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a 且长为 a 的棱 与长为 2 的棱异面,则 a 的取值范围是 (A) (0, 2) (B) (0, 3) (C) (1, 2) (D) (1, 3) 4.已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图,则四棱锥 P ? ABCD 的全 面积为

2

A. 3 ? 5 B. 2 ? 5 C. 5 D. 4 1 5.空间四边形 ABCD,若 AB、AC、AD 与平面 BCD 所成角相等,则 A 点在 侧视图 主视图 平面 BCD 的射影为 ?BCD A. 外 心 B . 内 心 C. 重 心 D. 垂 心 1 6.已知 a、b、c 为三条不重合的直线,下面结论:①若 a⊥b,a⊥c, 则 b∥c;②若 a⊥b,a⊥c 则 b⊥c;③若 a∥b,b⊥c,则 a⊥c.其中 俯视图 正确的个数为 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 7.将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的左视图为

8.已知三边长分别为 4、5、6 的△ABC 的外接圆恰好是球 O 的一个大圆,P 为球面上一点,若点 P 到△ABC 的三个顶点的距离相等,则三棱锥 PABC 的体积为 A.30 B.20 C.10 D.5 9.如图所示,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45° , ∠BAD=90° ,将△ ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成 三棱锥 A-BCD,则在三棱锥 A-BCD 中,下列命题正确的是 A. 平面 ABD⊥平面 ABC B. 平面 ADC⊥平面 BDC C. 平面 ABC⊥平面 BDC D. 平面 ADC⊥平面 ABC
高三数学(十三)第 1 页 共 6 页

10.已知平面? ,直线 a, b, l ,且 a ? ? , b ? ? ,则“ l ? a 且 l ? b ”是“ l ? ? ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 11.平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距离为 2,则此球的体积为 (A) 6π (B)4 3π (C)4 6π (D)6 3π ' C ' D ' ' 中,若点 P (异于点 B )是棱上一点,则满足 BP 与 AC ' 所成 12.在正方体 ABCD - A B 的角为 45 ° 的点 P 的个数为 A.0 B.3 C.4 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 答案 二、填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上。 13.如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图、侧(左)视图与俯视图.已知 CF=2AD,侧视图是边 长为 2 的等边三角形,俯视图是直角梯形,有关数据如图所示.求该几何体的体积是__________.

M 、 N 分别是 CD 、CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 14.在正方体 ABCD ?ABC 1 1 D 1 1 中,
所成的角的大小是____________。. 15.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 ________. 16.已知正方形 ABCD 的边长为 2,E,F 分别为 BC,DC 的中点,沿 AE,EF,AF 折成一个四面体, 使 B,C,D 三点重合,则这个四面体的体积为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。 17. 如图 5 所示, 在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? 平面 PAD ,AB // CD ,PD ? AD ,E 是 PB 的中点, F 是 CD 上的点且 DF ? (1)证明: PH ? 平面 ABCD ;

1 AB , PH 为△ PAD 中 AD 边上的高. 2

(2)若 PH ? 1, AD ? 2 , FC ? 1 ,求三棱锥 E ? BCF 的体积; (3)证明: EF ? 平面 PAB .
P

E

D
H
A B

F

C

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BD . 18.如图,几何体 E ? ABCD 是四棱锥,△ ABD 为正三角形, CB ? CD ,EC ? (1)求证: BE ?DE ; (2)若∠ BCD ? 120? ,M 为线段 AE 的中点,求证: DM ∥平面 BEC .

?BAD ? 45? ,AD ? 1 ,AB ? 2 , 19. 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, △PAD 是正三角形,平面 PAD ? 平面 PBD .
(Ⅰ)求证: PA ? BD ; (Ⅱ)求三棱锥 P ? BCD 的体积.

P

D
A

C

B

.

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20.在如图多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,且 AC=AD=CD=DE=2,AB=1. (1)请在线段 CE 上找到点 F 的位置,使得恰有直线 BF∥平面 ACD,并证明这一结论; (2)求多面体 ABCDE 的体积.

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21.如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 AA1B1B 为正方形,侧面 BB1C1C 为菱形,∠CBB1=60° , AB⊥B1C. (1)求证:平面 AA1B1B⊥平面 BB1C1C; (2)若 AB=2,求三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积.

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22. 如图所示,PA⊥平面 ABC,点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上,∠CBA=30° ,PA=AB=2,点 E 为线 段 PB 的中点,点 M 在弧 AB 上,且 OM∥AC. (1)求证:平面 MOE∥平面 PAC. (2)求证:平面 PAC⊥平面 PCB. (3)(理科)设二面角 M—BP—C 的大小为 θ,求 cos θ 的值.

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2013-2014 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题

数学(十三)参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 A 5 A 6 B 7 B 8 C 9 D 10 B 11 B 12 B

二.填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分 13. 3 3 14.

? 2

15. 3 3

16.

7? 2 a 3
P

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 17. 解: (1) 证明: 因为 AB ? 平面 PAD , 所以 PH ? AB 。 因为 PH 为△ PAD 中 AD 边上的高,所以 PH ? AD 。 因为 AB ? AD ?A , 所以 PH ? 平面 ABCD 。 (2)连结 BH ,取 BH 中点 G ,连结 EG 。 因为 E 是 PB 的中点, 所以 EG // PH 。 因为 PH ? 平面 ABCD ,所以 EG ? 平面 ABCD 。 则 EG ?

E D
F

C

1 1 H PH ? , A 2 2 B 1 1 1 2 VE ? BCF ? S ?BCF ? EG ? ? ? FC ? AD ? EG ? 。 3 3 2 12 (3)证明:取 PA 中点 M ,连结 MD , ME 。 1 1 // DF , 因为 E 是 PB 的中点,所以 ME // AB 。因为 DF // AB ,所以 ME ? ? 2 ? 2 所以四边形 MEDF 是平行四边形,所以 EF // MD 。因为 PD ? AD , 所以 MD ? PA 。 因为 AB ? 平面 PAD , 所以 MD ? AB 。因为 PA ? AB ?A ,所以 MD ? 平面 PAB , 所以 EF ? 平面 PAB 。
18.(1)设 BD 中点为 O,连接 OC,OE,则由 BC ? CD 知 , CO ? BD , 又已知 CE ? BD ,所以 BD ? 平面 OCE. 所以 BD ? OE ,即 OE 是 BD 的垂直平分线,所以 BE ?DE . (2)取 AB 中点 N,连接 MN ,DN , ∵M 是 AE 的中点,∴ MN ∥ BE , ∵△ ABD 是等边三角形,∴ DN ? AB . 由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°, 即 BC ? AB ,所以 ND∥BC, 所以平面 MND∥平面 BEC,故 DM∥平面 BEC. 19. (Ⅰ)证明:由 ?BAD ? 45? , AD ? 1 , AB ? 2 ,利用余弦定理,可得

BD ? AD 2 ? AB 2 ? 2 ? AD ? AB ? cos ?BAD ? 12 ? ( 2) 2 ? 2 ?1? 2 ? cos 45? ? 1 ,
故 AD ? BD ,又由平面 PAD ? 平面 PBD ,可得 BD ? 平面 PAD ,又 PA ? 平面 PAD ,故 PA ? BD . (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 BD ? 平面 PAD ,又 BD ? 平面 ABCD ,故平面 PAD ? 平面 ABCD .取 AD 的中点 E ,连结 PE ,由于 △PAD 是正三角形,故 PE ? AD .
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可知 PE ? 平面 ABCD ,即 PE 为三棱锥 P ? BCD 的高. 在正 △PAD 中, AD ? 1 ,故 PE ? 三棱锥 P ? BCD 的体积V ?

3 . 2

1 1 1 3 3 ? S△BCD ? PE ? ? ?1?1? ? 3 3 2 2 12

20.解: (1)如图所示,由已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,∴AB∥ED, 设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 CD 的中点,连接 BF、FH、AH, 1 1 则 FH∥ ED,又 AB∥ ED, ∴FH∥AB,且 FH=AB 2 2 ∴四边形 ABFH 是平行四边形,∴BF∥AH, 又因为 BF?平面 ACD,AH?平面 ACD,∴BF∥平面 ACD. (2)取 AD 中点 G,连接 CG. 因为 AB⊥平面 ACD,∴CG⊥AB,又 CG⊥AD,∴CG⊥平面 ABED,即 CG 为四棱 1 ?1+2? 锥 C—ABED 的高,求得 CG= 3, ∴VC—ABED= · ·2· 3= 3. 3 2 21.解 (1)由侧面 AA1B1B 为正方形,知 AB⊥BB1. 又 AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,所以 AB⊥平面 BB1C1C, 又 AB?平面 AA1B1B,所以平面 AA1B1B⊥平面 BB1C1C. (2)由题意,CB=CB1,设 O 是 BB1 的中点,连接 CO,则 CO⊥BB1. 3 3 由(1)知,CO⊥平面 AA1B1B,且 CO= BC= AB= 3. 2 2 1 1 2 3 连结 AB1,则 VC—ABB1= S△ABB1· CO= AB2· CO= . 3 6 3 1 2 3 因为 VB1—ABC=VC—ABB1= VABC—A1B1C1= , 3 3 故三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积 VABC—A1B1C1=2 3. 22. 解:(1)因为点 E 为线段 PB 的中点,点 O 为线段 AB 的中点,所以 OE∥PA. 因为 PA?平面 PAC,OE?平面 PAC, 所以 OE∥ 平面 PAC. 因为 OM∥AC, 因为 AC?平面 PAC,OM?平面 PAC, 所以 OM∥平面 PAC. 因为 OE?平面 MOE,OM?平面 MOE,OE∩OM=O, 所以平面 MOE∥平面 PAC. (2)因为点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上,所以∠ACB=90° ,即 BC⊥AC. 因为 PA⊥平面 BAC,BC?平面 ABC,所以 PA⊥BC. 因为 AC?平面 PAC,PA?平面 PAC,PA∩AC=A,所以 BC⊥平面 PAC. 因为 BC?平面 PCB,所以平面 PAC⊥平面 PCB. (3)如图,以 C 为原点,CA 所在的直线为 x 轴,CB 所在的直线为 y 轴,建 立空间直角坐标系 C—xyz.因为∠CBA=30° ,PA=AB=2, 所以 CB=2cos 30° = 3,AC=1.延长 MO 交 CB 于点 D. 1 3 1 3 因为 OM∥AC,所以 MD⊥CB,MD=1+ = ,CD= CB= . 2 2 2 2 3 3 所以 P(1,0,2),C(0,0,0),B(0, 3,0),M? , ,0?. 2 2 ? ? → → 所以CP=(1,0,2),CB=(0, 3,0). 设平面 PCB 的法向量 m=(x,y,z).
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→ ?m· ?1,0,2?=0, CP=0, ? ??x,y,z?· ?x+2z=0, 因为? 所以? 即? → ?0, 3,0?=0, ??x,y,z?· ? 3y=0. ?m· CB=0. ? 令 z=1,则 x=-2,y=0. 所以 m=(-2,0,1).同理可求平面 PMB 的一个法向量 n=(1, 3,1). 1 m· n 所以 cos〈m,n〉= =- . |m|· |n| 5 1 因为二面角 M—BP—C 为锐二面角,所以 cos θ= . 5

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