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01二轮专题(概率与统计)(师)


二轮专题 01:概率与统计(师) 1. 2013 年 9 月 20 日是第 25 个全国爱牙日。某区卫生部门成立了调查小组,调查 “常吃零食与患龋齿的关系”,对该区 六年级 800 名学生进行检查,按患龋齿和不患龋齿分类,得汇总数据:不常吃零食且不患龋齿的学生有 60 名,常 吃零食但不患龋齿的学生有 100 名,不常吃零食但患龋齿的学生有 140 名. (1)能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下,认为该区学生的常吃零食与患龋齿有关系? (2)4 名区卫生部门的工作人员随机分成两组,每组 2 人,一组负责数据收集,另一组负责数据处理.求工作人员甲 分到负责收集数据组,工作人员乙分到负责数据处理组的概率.

附: k 2 ?

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K 2 ? k0 )
k0

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

【答案】 (1)能在犯错率不超过 0.001 的前提下,为该区学生常吃零食与患龋齿有关系 (2) P ?

2 1 ? 6 3

解: (1)由题意可得列联表: 不常吃零食 不患龋齿 患龋齿 总计
2

常吃零食 100 500 600

总计 160 640 800

60 140 200

800(60 ? 500 ? 100? 140)2 ? 16.667 ? 10.828。 因为 k ? 160? 640? 200? 600
所以能在犯错率不超过 0.001 的前提下,为该区学生常吃零食与患龋齿有关系。 (2)设其他工作人员为丙和丁,4 人分组的所有情况如下表 小组 收集数据 处理数据 1 甲乙 丙丁 2 甲丙 乙丁 3 甲丁 乙丙 4 乙丙 甲丁 5 乙丁 甲丙 6 丙丁 甲乙

分组的情况总有 6 中,工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占两种, 所以工作人员甲负责收集数据且工作人员处理数据的概率是 P ?

2 1 ? 。 6 3

2.已知某年级 1000 名学生的百米跑成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,为了了解学生的百米跑成绩情况,随机抽取了 若干学生的百米跑成绩,并按如下方式分成五组:第一组[13,14) ;第二组[14,15) ;?;第五组[17,18].按上 述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前 3 个组的频率之比为 1∶4∶10,且第二组的 频数为 8. (Ⅰ)请估计该年级学生中百米跑成绩在[16,17)内的人数; (Ⅱ)求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩; (Ⅲ)若从第一和第五组所有成绩中随机取出 2 个,求这 2 个成绩差的绝对值大于 1 秒的概率. 命题意图:本题考察频率分布直方图、古典概型,中等题.
1

频率

解: (Ⅰ)百米成绩在[16,17)内的频率为 0.32 ? 1=0.32. 0.32 ? 1000=320 ∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为 320 人. ……3 分

组距 0.32

0.08

(Ⅱ)设图中从左到右前 3 个组的频率分别为 x,4x ,10x 依题意,得 x+4x+10x+0.32 ? 1+0.08 ? 1=1 , ∴x=0.04 ……4 分
8 n
13 14 15 16 17 18 秒

第 17 题图

设调查中随机抽取了 n 个学生的百米成绩,则 4 ? 0.04 ? ∴调查中随机抽取了 50 个学生的百米成绩.

∴n=50

……6 分

(Ⅲ)百米成绩在第一组的学生数有 1 ? 0.04 ? 1 ? 50=2,记他们的成绩为 a,b 百米成绩在第五组的学生数有 0.08 ? 1 ? 50= 4,记他们的成绩为 m,n,p,q 则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有 {a,b},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q},共 15 个 ……9 分

设事件 A 为满足成绩的差的绝对值大于 1 秒,则事件 A 所包含的基本事件有{a,m},{a,n},{a,p},{a,q}, {b,m},{b,n},{b,p},{b,q},共 8 个, 所以 P(A )=
8 15

……10 分 ……12 分

本试题主要考查样本估计总体,考查古典概型的概率公式,考查频率分布直方图等知识,考查数据处理能力和分 析问题、解决问题的能力. 3.城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费;若太少又难以满足乘客需求.某市公交公司在某站台的 60 名候车 乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车时间作为样本分成 5 组,如下表所示(单位:分钟) : 组别 一 二 三 四 五 候车时间 人数 2 6 4 2 1

[0,5)

[5,10) [10,15)

[15, 20)
[20, 25]

(1)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (2)若从上表第三、四组的 6 人中任选 2 人作进一步的调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率. 解:(1)候车时间少于 10 分钟的概率为

2?6 8 ? , ??????4 分 15 15 8 ? 32 人. 所以候车时间少于 10 分钟的人数为 60 ? ?????????6 分 15 (2)将第三组乘客编号为 a1 , a2 , a3 , a4 ,第四组乘客编号为 b1 , b2 .从 6 人中任选两人有包
含以下基本事件: (a1 , a2 ),(a1 , a3 ),(a1, a4 ),(a1, b1 ),(a1, b2 ) ,

(a2 , a3 ),(a2 , a4 ),(a2 , b1 ),(a2 , b2 ) , (a3 , a4 ),(a3 , b1 ),(a3 , b2 ) , (a4 , b1 ),(a4 , b2 ) ,
2

(b1 , b2 ) ,
其中两人恰好来自不同组包含 8 个基本事件,所以,所求概率为

??????10 分

8 . 15

????12 分

4.为了参加某项环保活动,用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中,抽取若干人组成环保志愿者小组,有关数据 见下表: 年级 高一 高二 高三 相关人数 36 72 54 抽取人数

x
y
3

(Ⅰ)分别求出样本中高一、高二年级志愿者的人数 x , y ; (Ⅱ) 用 Ai (i ?1 ,2 , ) L 表示样本中高一年级的志愿者,ai (i ? 1, 2,L ) 表示样本中高二年级的志愿者,现从样本中高一、 高二年级的所有志愿者中随机抽取 2 人. (1)按照以上志愿者的表示方法,用列举法列出上述所有可能情况; (2)求二人在同一年级的概率. 解: (Ⅰ)依题意,分层抽样的抽样比为

3 1 ? . 54 18 1 ? 2人 , 所以在高一年级抽取的人数为 x ? 36 ? 18 1 ? 4 人. 在高二年级抽取的人数为 y ? 72 ? 18

???4 分

(Ⅱ) (1)用 A 1, A 2 表示样本中高一年级的 2 名志愿者,用 a1 , a2 , a3 , a4 表示样本中 高二年级的 4 名志愿者.则抽取二人的情况为

A1 A2 , A1a1 , A1a2 , A1a3 , A1a4 , A2a1 , A2a2 , A2a3 , A2a4 , a1a2 , a1a3 , a1a4 , a2a3 , a2a4 , a3a4
种. (2)设 A 为事件“抽取的二人在同一年级”. 因为抽取的二人在同一年级的情况是 A 1A 2 , a1a2 , a1a3 , a1a4 , a2 a3 , a2 a4 , a3a4 共 7 种. 所以抽取的二人是同一年级的概率为 P ( A) ? ???9 分

共 15

7 . 15
第3次 76 87

???13 分

5. 甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔性测试.在相同的测试条件下,两人 5 次测试的成绩(单位:分)如下表: 第1次 甲 乙 58 65 第2次 55 82 第4次 92 85 第5次 88 95

(Ⅰ)请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好?说明理由(不用计算) ; (Ⅱ)若从甲、乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析,求抽到的两个成绩中至少有一个高于 90 分的概率. 解: (Ⅰ)茎叶图如右图所示,由图可知,乙的平均成绩大于甲的平均成绩,且乙的方差小于甲的方差,因此应选派乙
3

参赛更好.

……….6 分 的 基 本 事 件 如 下 :

(Ⅱ)设事件 A :抽到的成绩中至少有一个高于 90 分. 从甲、 乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一个成绩, 所有

?5 ?5 ?7 ?8 ?9

8 ,? 6 5 8 , ? 8 ?2 ? 5 ,? ? 5 ,? 6 5 5 , ? 8 ?2 ? 5 ,? ? 6 ,? 6 7 6 , ? 8 ?2 ? 5 ,? ? 8 ,? 6 8 8 , ? 8 ?2 ? 5 ,? ? 2 ,? 6 9 2 , ? 8 ?2 ? 5 ,? ?

, , , , ,

?5? 8 , ?5? 5 , ?7? 6 , ?8? 8 , ?9? 2 ,

8 ?7 8 ?7 8? 7 8 ?7 8 ?7

, , , ,

5 8 , 8 5 , 5 5 , 甲 8 5 , 7 6 , 8 5 ,
5 8

5 8 , 9 5 , 5 5 , 9乙 5 ,
5 6 7 8 9

7 6 , 9 5 ,
5

, 8 8 , 8 5 , 8 8 , 9 5 , 9 2 , 8 5 ,
6 8 2

9 2 , 9 5 ,
2 5 7 5

共 25 个. 事件 A 包含的基本事件有

?58,95? , ?55,95? , ?76,95? , ?88,95? , ?92, 65? , ?92,82? , ?92,87? , ?92,85? , ?92,95?
共 9 个. 所以 P ( A) ?

9 9 ,即抽到的成绩中至少有一个高于 90 分的概率为 . 25 25
频率
0.35

……….13 分

6.根据以往的成绩记录,甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示
频率

0.45

0.30 0.25

0.29 0.19

0.20 0.15 0.10

a
0.01

0.05

O

甲击中环数

O

乙击中环数

(Ⅰ)求上图中 a 的值; (Ⅱ)甲队员进行一次射击,求命中环数大于 7 环的概率(频率当作概率使用) ; (Ⅲ)由上图判断甲、乙两名队员中,哪一名队员的射击成绩更稳定(结论不需证明). 解: (Ⅰ)由上图可得 0.01 ? a ? 0.19 ? 0.29 ? 0.45 ? 1 , 所以 a ? 0.06 . ----------------------------------4 分

(Ⅱ)设事件 A 为“甲队员射击,命中环数大于 7 环” ,它包含三个两两互斥的事件:甲队员射击,命中环数为 8 环,9 环,10 环. 所以 P( A) ? 0.29 ? 0.45 ? 0.01 ? 0.75 . (Ⅲ)甲队员的射击成绩更稳定. ----------------------------------9 分 ---------------------------------13 分

7.以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数字模糊,无法确认,假设 这个数字具有随机性,并在图中以 a 表示. (Ⅰ)若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,求 a 的值;
4

(Ⅱ)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率; (Ⅲ)当 a ? 2 时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过 2 分的概率. 甲组 8 2 ( Ⅰ ) 解 : 依 题 意 , 得 2 8 9 0 1 a 乙组

1 1 (88 ? 92 ? 92) ? [90 ? 91 ? (90 ? a)] , 3 3
解得 a ? 1 .

?????? 3 分 ?????? 4 分 ?????? 5 分 ?????? 6 分

(Ⅱ)解:设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件 A , 依题意 a ? 0,1, 2,

,9 ,共有 10 种可能.

由(Ⅰ)可知,当 a ? 1 时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同, 所以当 a ? 2,3, 4,

,9 时,乙组平均成绩超过甲组平均成绩,共有 8 种可能.? 7 分
8 4 ? . 10 5
?????? 8 分

所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率 P( A) ?

(Ⅲ)解:设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过 2 分”为事件 B ,???? 9 分 当 a ? 2 时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,所有可能的成绩结果有 3 ? 3 ? 9 种, 它们是:

(88,90) , (88,91) , (88,92) , (92,90) , (92,91) , (92,92) , (92,90) , (92,91) ,
(92,92) ,
??????10 分

所以事件 B 的结果有 7 种,它们是: (88,90) , (92,90) , (92,91) , (92,92) , (92,90) , (92,91) ,

(92,92) .

?????? 11 分

因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过 2 分的概率 P( B) ?

7 . 9

??????13 分 8.从一批草莓中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个)
[来源:Z.xx.k.Com]

[80,85)
10

[85,90)
5

[90,95)
20
[来源:Zxxk.Com]

[95,100)
15

(Ⅰ) 根据频数分布表计算草莓的重量在 [90,95) 的频率; (Ⅱ) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的草莓中 共抽取 5 个,其中重量在 [80,85) 的有几个? (Ⅲ) 在(Ⅱ)中抽出的 5 个草莓中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概率. 解: (Ⅰ)重量在 ?90,95? 的频率 ?

20 ? 0.4 ; ???2 分 50
5

(Ⅱ)若采用分层抽样的方法从重量在 80,85? 和 ?95,100? 的草莓中共抽取 5 个 , 则重量在 80,85? 的个数

?

?

?

10 ? 5 ? 2 ; ??5 分 10 ? 15

(Ⅲ)设在 ?80,85 ? 中抽取的 2 个草莓为 x ,y,在 ?95,100? 中抽取的三个草莓分别为 a, b, c ,从抽出的 5 个草莓中,任取 2 个共有 ( x, a),( x, b),( x, c),(a, b),(a, c),(b, c),( y, a),( y, b),( y, c),( x, y) ,10 种情况, ??8 分 其中符合“重量在 80,85? 和 ?95,100? 中各有一个”的情况共有 ( x, a),( x, b),( x, c),( y, a),( y, b),( y, c) 6 种; ?10 分 设 “ 抽 出 的 5 个 草 莓 中 , 任 取 2 个 , 求 重 量 在 ?80,85? 和 ?95,100? 中 各 有 一 个 ” 为 事 件 A , 则 事 件 A 的 概 率

?

P ( A) ?

6 3 ? ; ??12 分 10 5

[来源:Zxxk.Com]

9.某国际会议在北京召开,为了搞好对外宣传工作,会务组选聘了 16 名男记者和 14 名女记者担任对外翻译工作,调 查发现,男、女记者中分别有 10 人和 6 人会俄语. (Ⅰ)根据以上数据完成以下 2×2 列联表: 会俄语 男 女 总计 并回答能否在犯错的概率不超过 0.10 的前提下认为性别与会俄语有关? n(ad-bc)2 参考公式:K2= ,其中 n=a+b+c+d (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 参考数据: P (K2≥k0) 0.40 0.25 0.10 0.010 k0 0.708 1.323 2.706 6.635 (Ⅱ)会俄语的 6 名女记者中有 4 人曾在俄罗斯工作过,若从会俄语的 6 名女记者中随机抽取 2 人做同声翻译, 求抽出的 2 人都在俄罗斯工作过的概率. 解: (Ⅰ )由已知,得 2×2 列联表:
会俄语 男 女 总计 10 6 16 不会俄语 6 8 14 总计 16 14 30

不会俄语

总计

30

假设是否会俄语与性别无关.由已知数据,可得 30×(10×8-6×6)2 K= ≈1.1575<2.706, (10+6)(6+8)(10+6)(6+8)
2

所以在犯错的概率不超过 0.10 的前提下不能判断会俄语与性别有关. (Ⅱ)会俄语的 6 名女记者分别为 A,B,C,D,E,F,其中 A,B,C,D 曾在俄罗斯工作过.从这 6 人任取 2 人有 AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF 共 15 种,其中 2 人都在俄罗斯工作 过的是 AB,AC,AD,BC,BD,CD 共 6 种,所以抽出的女记者中,2 人都在俄罗斯工作过的概率是 P= 6 2 = . 15 5

6

10.2013 年 4 月 14 日,CCTV 财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象.为了研究使用淡化海 砂与混凝土耐久性是否达标有关,某大学实验室随机抽取了 60 个样本,得到了相关数据如下表: 混凝土耐久性达标 使用淡化海砂 使用未经淡化海砂 总计 混凝土耐久性不达标 总计

25

t
15 20

30 30 60

s
40

(Ⅰ)根据表中数据,求出 s , t 的值,利用独立性检验的方法判断,能否在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为 使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关? (Ⅱ)若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了 6 个,现从这 6 个样本中任取 2 个,则取出的 2 个样本混 凝土耐久性都达标的概率是多少? 参考数据:

P(k 2 ? k )
k
2

0.10 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

n(ad ? bc)2 参考公式: k ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
解: (Ⅰ) s ? 15, t ? 5. 假设:是否使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关,由已知数据可求得: ??(2 分)

k2 ?

60 ? (25 ?15 ? 15 ? 5)2 ? 7.5 ? 6.635, 30 ? 30 ? 40 ? 20

因此,能在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关.?(6 分) (Ⅱ)用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了 6 个,其中应抽取“混凝土耐久性达标”的为 凝土耐久性不达标”的为 1. “混凝土耐久性达标”的记为 A 1, A 2, A 3 , A4 , A 5 , “混凝土耐久性不达标”的记为 B . 从这 6 个样本中任取 2 个,共有 15 可能, 设“取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标”为事件 A , 它的对立事件 A 为“取出的 2 个样本至少有一个混凝土耐久性不达标” ,包含( A1 , B ) , ( A2 , B ) , ( A3 , B ) , ( A4 , B ) , ( A5 , B )共 5 种可能, 所以 P ( A) ? 1 ? P ( A) ? 1 ?

25 ? 6 ? 5,“混 30

5 2 ? . 15 3
7

则取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标的概率是

2 . 3

??(12 分)

11 .甲、乙、丙三人中要选一人去参加唱歌比赛,于是他们制定了一个规则,规则为: ( 如图 ) 以 O 为起点 , 再从

A1 , A2 , A3 , A4 , A5 ,这 5 个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为 X ,若 X ? 0 就让甲去;若
X ? 0 就让乙去;若 X ? 0 就是丙去. (Ⅰ)写出数量积 X 的所有可能取值;
(Ⅱ)求甲、乙、丙三人去参加比赛的概率, 并由求出的概率来说明这个规则公平吗?











OA1 OA2 ? (1,0) (1, ?1) ? 1

OA1 OA3 ? (1,0) (0, ?1) ? 0 OA1 OA4 ? (1,0) (0,1) ? 0 OA2 OA3 ? (1, ?1) (0, ?1) ? 1 OA2 OA5 ? (1, ?1) (?1,1) ? ?2 OA3 OA5 ? (0, ?1) (?1,1) ? ?1 OA1 OA5 ? (1,0) (?1,1) ? ?1 OA2 OA4 ? (1, ?1) (0,1) ? ?1 OA3 OA4 ? (0, ?1) (0,1) ? ?1 OA4 OA5 ? (0,1) (?1,1) ? 1

??????????3 分

X 的所有可能取值为 ?2, ?1, 0,1 ??????????5 分
(Ⅱ)P(甲去)=

3 10 2 P(乙去)= 10 5 P(丙去)= 10

??????????7 分 ??????????9 分 ??????????11 分

甲乙丙去的概率不相同,所以这个规则不公平??????????12 分 12.在某高校自主招生 考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试, 成绩分为 A, B, C , D, E 五个等级. 某考 场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. (Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (Ⅱ)若等级 A, B, C , D, E 分别对应 5 分, 4 分, 3 分, 2 分, 1 分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A . 在至少一科成绩为 A 的考生中,随机抽取两人进 行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.

8

解:(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10 ? 0.25 ? 40 人……………………2 分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为

40 ? (1 ? 0.375 ? 0.375 ? 0.15 ? 0.025) ? 40 ? 0.075 ? 3 ……………………4 分
(2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1? 0.2 ? 2 ? 0.1 ? 3 ? 0.375 ? 4 ? 0.25 ? 5 ? 0.075 ? 2.9 ……………………7 分

[来源:学,科,网]

(3)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A, 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A, 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学,则在至少一科成绩等级为 A 的考生中,随机抽取 两人进行访谈,基本事件空间为

? ? { {甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙} ,{乙, 丁},{丙,丁} } ,有 6 个基本事件
设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包含的基本事件有 1 个 ,则

1 P( B) ? . ……………………12 分 6
13.天津市为增强市民的环保意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分 组:第 1 组 ? 20,25? ,第 2 组 ? 25,30? ,第 3 组 ?30,35? ,第 4 组 ?35,40? , 第 5 组 [40, 45] ,得到的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动,应从第 3,4,5 组各抽取多少名志 愿者? (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组至少有一名志愿者被 抽中的概率.

9

第(15)题图

解: 解:(1) 第 3 组的人数为 0.3×100=30, 第 4 组的人数为 0.2×100=20, 第 5 组的人数为 0.1×100=10. ???? 3分 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,每组抽取的人数分别为: 第 3 组:
30 20 10 ×6=3; 第 4 组: ×6=2; 第 5 组: ×6=1. 60 60 60

所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人. ????6 分 (2)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名志愿者为 C1.则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有: (A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),( A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2), (A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有 15 种. ????8 分 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有: (A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3, B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有 9 种,????10 分

9 3 = . ????13 分 15 5 14. 对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查,得到统计数据如下: 教师 教龄 5 年以下 5 至 10 年 10 至 20 年 20 年以上 8 10 30 18 教师人数 经常使用信息技术实 2 4 10 4 施教学的人数 ( Ⅰ ) 求 该 校 教 师 在 教 学 中 不 . 经 常 使 用 信 息 技 术 实 施 教 学 的 概 率 ;
所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为

(Ⅱ)设经常使用信息技术实施教学,教龄在 5 年以下的教师为 ai (i=1,2) ,教龄在 5 至 10 年的教师为 bi (j=1, 2,3,4) ,那么任选 2 人的基本事件为 (a1 , a2 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) , (a1 , b4 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) ,
10

(a2 , b4 ) , (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b1 , b4 ) , (b2 , b3 ) , (b2 , b4 ) , (b3 , b4 ) 共 15 个.
设“任选 2 人中恰有一人的教龄在 5 年以下”为事件 B, 包括的基本事件为 (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b4 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) , (a2 , b4 ) 共 8 个, (a1 , b3 ) , 所以恰有一人教龄在 5 年以下的概率是 则 P( B) ?

8 . 15

8 . 15

15.国家教育部、体育总局和共青团中央曾共同号召,在全国各级各类学校要广泛、深入地开展全国亿万大中小学生阳 光体育运动 为此某网站于 2010 年 1 月 18 日至 24 日,在全国范围内进行了持续一周的在线调查,随机抽取其中 200 名大中小学生的调查情况,就每天的睡眠时间分组整理如下表所示: 每天睡 序 号( i ) 眠时间 (小 时) 1 2 3 4 5 6 [4,5) [5,6) [6,7) [7,8) [8,9) [9, 10) 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 8 52 60 56 20 4 0.04 0.26 0.30 0.28 0.10 0.02 组中 值( mi ) 数 频 ( fi ) 频率

(Ⅰ)估计每天睡眠时间小于 8 小时的学生所占的百分比约是多少? (Ⅱ)该网站利用右边的算法流程图,对样本数据作进一步统计分析,求输出的 S 的值, 并说明 S 的统计意义。 解:(Ⅰ)由样本数据可知,每天睡眠时间小于 8 小时的频率是 P ? 1 ? (0.10 ? 0.02) ? 0.88 . ??????? 4 分 由此估计每天睡眠时间小于 8 小时的学生约占 88%. ??????? 6 分 (Ⅱ)输入 m1 , f1 的值后,由赋值语句 S ? S ? mi ? fi 可知, 流程图进入一个求和状态. 设 ai ? mi ? fi (i ? 1, 2,

,6) ,数列 ?ai ? 的前项和为 Ti ,则

T6 ? 4.5 ? 0.04 ? 5.5 ? 0.26 ? 6.5 ? 0.30 ? 7.5 ? 0.28 ? 8.5 ? 0.10 ? 9.5 ? 0.02 ? 6.7 .
故输出的 S 值为 6.7. ??????? 11 分 S 的统计意义是指被调查者每天的平均睡眠时间估计为 6.7 小时. ??????? 12 分 16.为了培养学生的安全意识,某中学举行了一次“安全自救”的知识竞赛活动,共有 800 名学生参加了这次竞赛,为 了解本次竞赛的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计,请你根据频率分 布表解答下列问题: (1)求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值; (2)为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识,成绩不低于 85 分的学生能获奖,请估计在参加的 800 名学生中 大约有多少名学生获奖? (3)在上述统计数据的分析中,有一项计算的程序框图如右图所示,求输出的 S 的值。

11

17. 某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:万元)之间有如下对应数据: x 2 4 5 6 y 30 40 60 50

8 70

(Ⅰ)求回归直线方程; (Ⅱ)试预测广告费支出为 10 万元时,销售额多大? (Ⅲ)在已有的五组数据中任意抽取两组,求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过 5 的概率。 (参考
2 数据: ? xi ? 145 i ?1 5

? yi2 ? 13500
i ?1

5

?x y
i ?1 i

5

i

? 1380 )

(Ⅰ)解: x ?
5

2+4+5+6+8 25 30+40+60+50+70 250 = ? 5, y ? = ? 50 5 5 5 5
5 i ?1

2 又已知 ? xi ? 145 , ? xi yi ? 1380 i ?1

于是可得: b ?

? x y ? 5x y
i ?1 5 i i

5

?x
i ?1

2 i

? 5x

2

?

1380 ? 5 ? 5 ? 50 ? 6.5 , a ? y ? bx ? 50 ? 6.5 ? 5 ? 17.5 145 ? 5 ? 5 ? 5

因此,所求回归直线方程为: y ? 6.5x ?17.5 (Ⅱ)解: 根据上面求得的回归直线方程,当广告费支出为 10 万元时,

y ? 6.5?10 ?17.5=82.5 (万元) 即这种产品的销售收入大约为 82. 5 万元.

12

x
y
(Ⅲ)解:

2 30 30.5

4 40 43.5

5 60 50

6 50 56.5

8 70 69.5

? y

基本事件: (30,40) , (30,60) , (30,50) , (30,70) , (40,60) , (40,50) , (40,70) , (60,50) , (60,70) , (50,70)共 10 个 两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过 5: (60,50) 所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过 5 的概率为 1 ?

1 9 ? 10 10

18.2012 年 3 月 2 日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》 .其中规定:居民区的 PM2.5 年平均浓度不 得超过 35 微克/立方米,PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区 去年 20 天 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测数据,数据统计如下: PM2.5 浓度 组别 (微克/立方米) 第一组 第二组 第三组 第四组 (0,25] (25,50] (50,75] (75,100) 5 10 3 2 0.25 0.5 0.15 0.1 频数(天) 频率

(Ⅰ)从样本中 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 50 微克/立方米的 5 天中,随机抽取 2 天,求恰好有一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 75 微克/立方米的概率;

(Ⅱ)求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从 PM2.5 的年平均浓度考虑,判断该居民区的环 境是否需要改进?说明理由.
解: (Ⅰ) 设 PM2.5 的 24 小时平均浓度在(50,75]内的三天记为 A1 , A2 , A3 , PM2.5 的 24 小时平均浓度在(75,100)内的 两天记为 B1 , B2 .

所以 5 天任取 2 天的情况有: A1 A2 , A1 A3 , A1B1 , A1B2 , A2 A3 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 共 10 种. ????????4 分

其中符合条件的有:

A1B1 , A1B2 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 共 6 种. ????6 分
13

所以所求的概率 P ?

6 3 ? . 10 5

????????8 分

12.5 ? 0.25 ? 37.5 ?0.5 ? 62.5 ?0.15 ?87.5 ?0.1 ?40 (微克/立方米) (Ⅱ) 去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为: .
?????????????????10 分 因为 40 ? 35 ,所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要改 进. ????????????12 分

19.为了解某校高三学生质检数学成绩分布,从该校参加质检的学生数学成绩中抽取一个样本,并分成 5 组,绘成 如图所示的频率分布直方图.若第一组至第五组数据的频率之比为 1: 2 : 8 : 6 : 3 ,最后一组数据的频数是 6. (Ⅰ) 估计该校高三学生质检数学成绩在 125~140 分之间的概率, 并求出样本容量; (Ⅱ)从样本中成绩在 65~95 分之间的学生中任选两人,求至少有一人成绩在 65~ 80 分之间的概率.

解: (Ⅰ)估计该校高三学生质检数学成绩在 125~140 分之间的概率 p1 为

3 3 ? 1 ? 2 ? 6 ? 8 ? 3 20 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 6 3 又设样本容量为 m ,则 ? ,解得, m ? 40 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 m 20 1 2 ? 40 =2 人,记为 x, y ;成绩在 80~95 分之间的学生 ? 40 =4 (Ⅱ)样本中成绩在 65~80 分之间的学生有 20 20 人,记为 a, b, c, d , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分

?x, y?,?x, a?,?x, b?,?x, c?,?x, d?, ? y, a?,? y, b?,? y, c?,? y, d?, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ?a, b?,?a, c?,?a, d?, ?b, c?,?b, d?,?c, d? ,共 15 种, ·
· · · · · · · · 11 分 ?x, y?,?x, a?,?x, b?,?x, c?,?x, d?, ? y, a?,? y, b?,? y, c?,? y, d?, 共 9 种, · 因此,所求的概率 p2 ? 至少有 1 人在 65~80 分之间的可能情形有

从上述 6 人中任选 2 人的所有可能情形有:

9 3 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 15 5

20.为了培养学生的安全意识,某中学举行了一次“安全自救”的知识竞赛活动,共有 800 名学生参加了这次竞赛,为 了解本次竞赛的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计,请你根据频率分 布表解答下列问题: (1)求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值; (2)为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识,成绩不低于 85 分的学生能获奖,请估计在参加的 800 名学生中 大约有多少名学生获奖? (3)在上述统计数据的分析中,有一项计算的程序框图如右图所示,求输出的 S 的值。

14

21.某游艇制造厂研发了一种新游艇,今年前 5 个月的产量如下: 月份 x 游艇数 y (艘) 1 2 2 3 3 5 4 7 5 8

? 的值为 1.6 ,试求 a 的值,并估 ? ?a ? ? bx ? .现根据表中数据已经正确计算出了 b (Ⅰ)设 y 关于 x 的回归直线方程为 y

计该厂 6 月份的产量(计算结果精确到个位). (Ⅱ)质检部门发现该厂 1 月份生产的游艇存在质量问题,要求厂家召回;现有一旅游公司曾向该厂购买了今年前 . 两 个月 生产的游艇 2 艘,求该旅游公司有游艇被召回的概率. . .. 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 2?3?5? 7 ?8 解: (Ⅰ) x ? ? 3, y ? ? 5 ??????2 分 5 5 ? ?a ? ? bx ? 过点 ( x , y ) , 回归直线 y ? ? 5 ?1.6?3 ? 0.2 ? ? y ? bx ?a ?????????????3 分
? ? 1.6 x ? 0.2 ?y ? ? 1.6 ? 6 ? 0.2 ? 9.8 ? 10 当 x ? 6 时, y ? 估计该厂 6 月份的产量为 10 艘.???????????5 分 (Ⅱ)解法一: 设一月份生产的 2 艘游艇为 a1 , a2 ,二月份生产的 3 艘游艇为 b1 ,b2 , b3 , 旅游公司向该厂购买了一、二月份生产的两艘游艇的所有可能结果有: ?a1 , a2 ? , ?a1 , b1? , ?a1 , b2 ? , ?a1 , b3 ? , ?a2 , b1? , ?a2 , b2 ? , ?a2 , b3 ? , ?b1 , b2 ? , ?b1 , b3? , ?b2 , b3 ? 共 10

种 ???????????????9 分 其中 2 艘游艇全为二月份生产的结果有 ?b1 , b2 ? , ?b1 , b3 ? , ?b2 , b3 ? 共 3 种??10 分
15

? 两艘游艇全部为二月份生产的概率为 P ?

3 10
7 10

? 两艘游艇中至少一艘为一月份生产的概率为 1 ? P ?
即该旅游公司有游艇被召回的概率为
7 10

???????????12 分

解法二: 设一月份生产的 2 艘游艇为 a1 , a2 ,二月份生产的 3 艘游艇为 b1 ,b2 , b3 旅游公司向该厂购买了一、二月份生产的两艘游艇的所有可能结果有: ?a1 , a2 ? , ?a1 , b1? , ?a1 , b2 ? , ?a1 , b3 ? , ?a2 , b1? , ?a2 , b2 ? , ?a2 , b3 ? , ?b1 , b2 ? ,

?b1 , b3 ? , ?b2 , b3 ? 共 10 种

????????????????9 分

其中,两艘游艇中至少一艘为一月份生产的结果有: ?a1 , a2 ? , ?a1 , b1? , ?a1 , b2 ? , ?a1 , b3 ? , ?a2 , b1? , ?a2 , b2 ? , ?a2 , b3 ? 共 7 种??10 分

? 两艘游艇中至少一艘为一月份生产的概率为 P ?
即该旅游公司有游艇被召回的概率为

7 10

7 .????????????12 分 10

22.某学校为调查高三年学生的身高情况,按随机抽样的方法抽取 80 名学生,得到男生身高情况的频率分布直方图 (图(1) )和女生身高情况的频率分布直方图(图(2) ).已知图(1)中身高在 170 ~175cm 的男生人数有 16 人.

图(1)

图(2)

(Ⅰ)试问在抽取的学生中,男、女生各有多少人? (Ⅱ) 根据频率分布直方图,完成下列的 2× 2 列联表,并判断能有多大 (百分几)的把握认为 “身高与性别有关” ? ≥170cm <170cm 男生身高 女生身高 总计 (Ⅲ)在上述 80 名学生中,从身高在 170~175cm 之间的学生中按男、女性别分层抽样的方法,抽出 5 人,从这 5 人中选派 3 人当旗手,求 3 人中恰好有一名女生的概率. 参考公式: K ?
2

总计

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
P ( K 2 ? k0 )
0.025 0.010 0.005 0.001

16

参考数据:

k0

5.024

6.635

7.879

10.828

解: (Ⅰ)直方图中,因为身高在 170 ~175cm 的男生的频率为 0.08 ? 5 ? 0.4 , 设男生数为 n1 ,则 0.4 ?

16 ,得 n1 ? 40 .???????????????4 分 n1

由男生的人数为 40,得女生的人数为 80-40=40. ( Ⅱ ) 男 生 身 高 ? 170 cm 的 人 数 ? (0.08 ? 0.04 ? 0.02 ? 0.01) ? 5 ? 40 ? 30 , 女 生 身 高 ? 170 cm 的 人 数

0.02 ? 5 ? 40 ? 4 ,所以可得到下列列联表:
≥170cm <170cm 男生身高 女生身高 总计 30 4 34 10 36 46 总计 40 40 80

????????????????6 分

K2 ?

80 ? (30 ? 36 ? 10 ? 4)2 ? 34.58 ? 10.828 ,???????????????7 分 40 ? 40 ? 34 ? 46

所以能有 99.9%的把握认为身高与性别有关;????????????????8 分 (Ⅲ)在 170~175cm 之间的男生有 16 人,女生人数有 4 人. 按分层抽样的方法抽出 5 人,则男生占 4 人,女生占 1 人. ?????????9 分 设男生为 A1 , A2 , A3 , A4 ,女生为 B . 从 5 人任选 3 名有: ( A 1, A 2, A 3 ), ( A 1 , A2 , A4 ), ( A 1 , A2 , B), ( A 1, A 3, A 4 ), ( A 1, A 3 , B), ( A 1 , A4 , B),

( A2 , A3 , A4 ), ( A2 , A3 , B), ( A2 , A4 , B), ( A3 , A4 , B) ,共 10 种可能,????????????10 分
3 人中恰好有一名女生有 : ( A1 , A2 , B), ( A1 , A3 , B), ( A1 , A4 , B), ( A2 , A3 , B), ( A2 , A4 , B), ( A3 , A4 , B), 共 6 种可 能,?????????11 分 故所求概率为

6 3 ? .????????????????12 分 10 5

23.已知 A 、 B 两个盒子中分别装有标记为 1 , 2 , 3 , 4 的大小相同的四个小球,甲从 A 盒中等可能地取出 1 个球,乙从 中等可能地取出 1 个球. (Ⅰ)用有序数对 (i, j ) 表示事件“甲抽到标号为 i 的小球,乙抽到标号为 j 的小球” ,试写出所有可能的事件;

(Ⅱ)甲、乙两人玩游戏,约定规则:若甲抽到的小球的标号比乙大,则甲胜;反之,则乙胜.你认为此规则是否公平? 明理由.
17

解: (I) .甲、乙二人抽到的小球的所有情况为:

?1,1? 、 ?1, 2? 、 ?1,3? 、 ?1, 4? 、 ? 2,1? 、 ? 2, 2 ? 、 ? 2,3? 、 ? 2, 4 ? 、 ?3,1? 、 ? 3, 2? 、 ? 3,3? 、 ? 3, 4? 、 ? 4,1? 、 ? 4, 2 ? 、 ? 4,3? 、 ? 4, 4 ? ,共 16 种不同情况.????????????6 分
(Ⅱ) . 甲 抽 到 的 小 球 的 标 号 比 乙 大 , 有 ? 2,1? 、 ? 3,1? 、 ? 3, 2 ? 、 ? 4,1? 、 ? 4, 2 ? 、 ? 4,3? , 共 6 种 情 况,????????????8 分 故甲胜的概率 p1 ? 因为

6 3 3 5 ? ,乙获胜的概率为 p2 ? 1 ? ? .????????????11 分 16 8 8 8

3 5 ? ,所以此游戏不公平.????????????12 分 8 8

24.某食品厂对生产的某种食品按行业标准分成五个不同等级,等级系数 X 依次为 A , B , C , D , E .现从该种 食品中随机抽取 20 件样品进行检验,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:

X
频率

A

B
0.2

C
0.45

D

E

a

b

c

(Ⅰ)在所抽取的 20 件样品中,等级系数为 D 的恰有 3 件,等级系数为 E 的恰有 2 件,求 a, b, c 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,将等级系数为 D 的 3 件样品记为 x1 , x2 , x3 ,等级系数为 E 的 2 件样品记为 y1 , y 2 ,现 从 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 这 5 件样品中一次性任取两件(假定每件样品被取出的可能性相同),试写出所有可能的结 果,并求取出的两件样品是同一等级的概率. 解: (Ⅰ)由频率分布表得 a ? 0.2 ? 0.45 ? b ? c ? 1 ,即 a ? b ? c ? 0.35 . 因为抽取的 20 件样品中,等级系数为 D 的恰有 3 件,所以 b ? 等级系数为 E 的恰有 2 件,所以 c ?

3 ? 0.15 . 20

从而 a ? 0.35 ? b ? c ? 0.1 。 所以 a ? 0.1, b ? 0.15, c ? 0.1 . -----------------------------------------6 分 (Ⅱ)从样品 x1 , x2 , x3 , y1 , y 2 中任取两件,所有可能的结果为:

2 ? 0.1 . 20

( x1 , x2 ) , ( x1 , x3 ) , ( x1 , y1 ) , ( x1 , y2 ) , ( x2 , x3 ) , ( x2 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y1 ) , ( x3 , y2 ) , ( y1 , y2 ) ,共计 10 个 设事件 A 表示“从样品 x1 , x2 , x3 , y1 , y 2 中任取两件,其等级系数相等”, 则 A 包含的基本事件为: ( x1 , x2 ) , ( x1 , x3 ) , ( x2 , x3 ) , ( y1 , y2 ) ,共 4 个. 4 ? 0.4 . ---------------------------------------12 分 故所求的概率 P ( A) ? 10

18


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