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空间向量与立体几何.板块六.用空间向量解锥体问题(2).学生版


板块六.用空间向量解锥体问 题 典例分析 【例1】 如图, 在四面体 ABOC 中, OC ? OA , OC ? OB , ?AOB ? 120? ,且 OA ? OB ? OC ? 1 . Q ?O A , ⑴设 P 为 AC 的中点. 证明: 在 AB 上存在一点 Q , 使P 并计算 AB 的值; AQ ⑵求二面角 O ? AC ? B 的平面角的余弦值. C P O A B 【例2】 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD , PD ? DC ? BC ? 1 , AB ? 2 , AB∥DC , ?BCD ? 90? ⑴ 求证: PC ? BC ; ⑵ 求点 A 到平面 PBC 的距离. P D C A B 【例3】 已知三棱锥 P ? ABC 中,PA ? 平面 ABC ,AB ? AC ,PA ? AC ? 1 AB ,N 为 AB 2 上一点, AB ? 4 AN , M , S 分别为 PB , BC 的中点. ⑴证明: CM ? SN ; ⑵求 SN 与平面 CMN 所成角的大小. P M N B A S C 【例4】 如图,四棱锥 S ? ABCD 中, SD ? 底面 ABCD , AB ∥ DC , AD ? DC , AB ? AD ? 1, DC ? SD ? 2 , E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC ? 平面 SBC . S E A D B C ⑴证明: SE ? 2 EB ; ⑵求二面角 A ? DE ? C 的大小 . AB ∥ CD , AC ? BD 垂足为 H , 【例5】 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为等腰梯形, PH 是四棱锥的高, E 为 AD 中点. P D E A H C B ⑴证明: PE ? BC ⑵若 ?APB ? ?ADB ? 60? ,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值. 【例6】 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D 中 , 底 面 A B C D是 矩 形 , PA ? 平 面 A B C D, AP ? AB ? 2 , BC ? 2 2 , E , F 分别是 AD , PC 的中点. ⑴证明: PC ? 平面 BEF ; ⑵求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小. z P F A B x C E D y 【例7】 如 图 , 正 方 形 A B C D和 四 边 形 ACEF 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 , CE ? AC , EF ∥ AC , AB ? 2 , CE ? EF ? 1 . E F C B D A (Ⅰ)求证: AF ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证: CF ? 平面 BDE ; (Ⅲ)求二面角 A ? BE ? D 的大小. 【例8】 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 矩 形 , PA ? 底 面 A B C D, PA ? AB ? 6 ,点 E 是棱 PB 的中点. ⑴求直线 AD 与平面 PBC 的距离; ⑵若 AD ? 3 ,求二面角 A ? EC ? D 的平面角的余弦值. P E A B C D 【例9】 如图,在底面是正方形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 面 ABCD , BD 交 AC 于点 E , F 是 PC 中点, G 为 AC 上一点. ⑴求证: BD ? FG ; ⑵确定点 G 在线段 AC 上的位置,使 F

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