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浙江省杭州市富阳市场口中学2014-2015学年高一下学期期末数学模拟试卷


浙江省杭州市富阳市场口中学 2014-2015 学年高一下学期期末数 学模拟试卷
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求) 1. (5 分)设 x= A.﹣ ,则 tan(π+x)等于() B. ﹣ C. D.

2. (5 分)设函数 f(x)= A.﹣2 B.﹣1
x

,则 f(f(﹣1) )的值为() C. 1 D.2

3. (5 分)函数 f(x)=e +2x﹣3 的零点所在的一个区间是() A.( ) B. ( ) C. ( ) D.( )

4. (5 分)函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x>0 时 f(x)=﹣x+1,则当 x<0 时,f (x)的表达式为() A.f(x)=﹣x+1 B.f(x)=﹣x﹣1 C.f(x)=x+ 1 D.f(x)=x﹣1

5. (5 分)设 D,E,F 分别为△ ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则 A. B. C. D.

+

=()

6. (5 分)函数 y=

+lnx 的图象可能是()

2

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)为了得到函数 y=sin(2x+ A.向左平行移动 C. 向左平行移动 个单位长度 个单位长度

)的图象,只需把函数 y=sin2x 图象上所有的点() B. 向右平行移动 D.向右平行移动 个单位长度 个单位长度

8. (5 分)已知函数 f(x)=sinx+λcosx 的图象的一个对称中心是点( =λsinxcosx+sin x 的图象的一条对称轴是直线() A.x= B.x= C.x=
2

,0) ,则函数 g(x)

D.x=﹣

9. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间 D. (0,2]

B.

C.

10. (5 分)已知函数 f(x)=lgx,若对任意的正数 x,不等式 f(x)+f(t)≤f(x +t)恒成 立,则实数 t 的取值范围是() A. (0,4) B. (1,4] C. (0,4] D. 表示不超过 x 的最大整数,例如=2, =2;=﹣3,那么+++…+的值为.

2

三、解答题: (本大题共 4 小题,共 42 分,要写出详细的解答过程或证明过程)

18. (10 分)已知 , 为平面向量,且| |= (Ⅰ)求| + |及| ﹣ |;

,| |=2, , 的夹角为 30°.

(Ⅱ)若向量 + 与 ﹣λ 垂直,求实数 λ 的值.
2

19. (10 分)已知集合 M={x|x ﹣3x≤10},N={x|a+1≤x≤2a+1}. (1)若 a=2,求 M∩(CRN) ; (2)若 M∪N=M,求实数 a 的取值范围. 20. (10 分)设函数 f(x)=sinx(sinx+cosx) . (Ⅰ)求 f( )的值;

(Ⅱ)若函数 f(x)在上的值域为,求实数 a 的取值范围. 21. (12 分)已知函数 f(x)=ax +2bx+c(x∈R,a≠0) (Ⅰ)若 a=﹣1,c=0,且 y=f(x)在上的最大值为 g(b) ,求 g(b) ; (Ⅱ)若 a>0,函数 f(x)在上不单调,且它的图象与 x 轴相切,求 的最小值.
2

浙江省杭州市富阳市场口中学 2014-2015 学年高一下学 期期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求) 1. (5 分)设 x= A.﹣ ,则 tan(π+x)等于() B. ﹣ C. D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用诱导公式求得所给式子的值. 解答: 解:由于 x= ,故 tan(π+x)=﹣tanx=﹣tan =﹣ ,

故选:A. 点评: 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,属于基础题.

2. (5 分)设函数 f(x)= A.﹣2 B.﹣1

,则 f(f(﹣1) )的值为() C. 1 D.2

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据分段函数 f(x)的解析式,求出 f(f(﹣1) )的值即可. 解答: 解:∵函数 f(x)= ∴f(﹣1)=﹣(﹣1)=1, ∴f(f(﹣1) )=f(1)=1 +1=2. 故选:D. 点评: 本题考查了根据分段函数的解析式,求函数值的问题,是基础题目. 3. (5 分)函数 f(x)=e +2x﹣3 的零点所在的一个区间是() A.( ) B. ( ) C. ( ) D.( )
x 2



考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 将选项中各区间两端点值代入 f(x) ,满足 f(a)?f(b)<0(a,b 为区间两端点) 的为答案. 解答: 解:因为 f( )= <0,f(1)=e﹣1>0,所以零点在区间( )上,

故选 C. 点评: 本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用, 属于容易题. 函数零点附近函数值 的符号相反,这类选择题通常采用代入排除的方法求解. 4. (5 分)函数 f(x)是定义 域为 R 的奇函数,当 x>0 时 f(x)=﹣x+1,则当 x<0 时,f (x)的表达式为() A.f(x)=﹣x+1 B.f(x)=﹣x﹣1 C.f(x)=x+1 D.f(x)=x﹣1 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 转化思想. 分析: 根据函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x>0 时 f(x)=﹣x+1,要求 x<0 时, f(x)的表达式,转化到 x>0 时求解. 解答: 解:当 x<0 时,则﹣x>0 ∵x>0 时 f(x)=﹣x+1, ∴f(﹣x)=﹣(﹣x)+1=x+1, ∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数, ∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣x﹣1

故选 B. 点评: 考查利用函数的奇偶性求函数的解析式问题, 一般方法是把要求区间上的问题转化 为已知区间上来解决,体现了转化的数学思想,属基础题.

5. (5 分)设 D,E,F 分别为△ ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则 A. B. C. D.

+

=()

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量加法的三角形法则,将 , 分解为 + 和 + 的形式,进而根据

D,E,F 分别为△ ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,结合数乘向量及向量加法的平行四 边形法则得到答案. 解答: 解:∵D,E,F 分别为△ ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点, ∴ + =( + )+( + )= + = ( + )= ,

故选:A

点评: 本题考查的知识点是向量在几何中的应用, 熟练掌握向量加法的三角形法则和平行 四边形法则是解答的关键.
2

6. (5 分)函数 y=

+lnx 的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 由 x ≠0,可知 x≠0,满足定义域关于原点对称,再利用函数的奇偶性,最后利用函 数的单调性即可得到答案. 2 解答: 解:∵x ≠0, ∴x≠0, ∴函数 y=lnx 的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) , 又 f(﹣x)=﹣ +ln(﹣x) ,
2 2

∴函数 y=为非奇非偶函数, 当 x>0 时,函数 y=1+2lnx,函数为增函数, 当 x<0 时,函数 y=﹣1+2ln(﹣x)函数为减函数, 故选:B 点评: 本题考查函数的图象,着重考查函数的奇偶性和单调性,属于中档题.

7. (5 分)为了得到函数 y=sin(2x+ A.向左平行移动 C. 向左平行移动 个单位长度 个单位长度

)的图象,只需把函数 y=sin2x 图象上所有的点() B. 向右平行移动 D.向右平行移动 个单位长度 个单位长度

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质.

分析: 函数 y=sin(2x+ 到.

)=sin,故只需 故把函数 y=sin2x 的图象向左平移

各单位得

解答: 解:函数 y=sin(2x+ 即可得到函数 y=sin(2x+

)=sin,故把函数 y=sin2x 的图象向左平移

各单位,

)的图象,

故选:A. 点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+?)图象的平移变换规律,把已知函数的解析式化为 y=sin 是解题的关键. 8. (5 分)已知函数 f(x)=sinx+λcosx 的图象的一个对称中心是点( =λsinxcosx+sin x 的图象的一条对称轴是直线() A.x= B.x= C.x= D.x=﹣
2

,0) ,则函数 g(x)

考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的对称性. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由对称中心可得 λ=﹣ (2x+ ) ,令 2x+ =kπ+ ,代入 g(x)由三角函数公式化简可得 g(x)= ﹣sin

解 x 可得对称轴,对照选项可得. ,0) ,

解答: 解:∵f(x)=sinx+λcosx 的图象的一个对称中心是点( ∴f( )=sin +λcos =
2

+ λ=0,解得 λ=﹣



∴g(x)=﹣ = sin2x+

sinxcosx+sin x

= ﹣sin(2x+ 令 2x+ =kπ+

) , 可得 x= + + ,k∈Z,

∴函数的对称轴为 x=

,k∈Z, 符合题意,

结合四个选项可知,当 k=﹣1 时 x=﹣

故选:D 点评: 本题考查两角和与差的三角函数,涉及三角函数对称性,属中档题.

9. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间 D. (0,2]

B.

C.

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据偶函数的定义将所给的式子化为:f(|log2a|)≤f(1) ,再利用偶函数的单调性 列出关于 a 的不等式求解. 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴ , ∴ 即 f(|log2a|)≤f(1) , 又∵在区间 C. (0,4] D. 分析: 若不等式 f(x)+f(t)≤f(x +t)恒成立,则 x ﹣tx+t≥0 对任意的正数恒成立,进 而根据对数的真 数大于 0,可得 t>0 且 解答: 解:∵函数 f(x)=lgx, 2 若不等式 f(x)+f(t)≤f(x +t)恒成立, 2 则 x ﹣tx+t≥ 0 对任意的正数恒成立, 则 t>0 且 , ,解得答案.
2 2

可变为 f(log2a)≤f(1) ,

解得:t∈(0,4], 故选:C. 点评: 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质, 二次函数的图象和性质, 恒成立问题, 难度中档. 二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. (4 分)求值:sin52°cos83°+cos52°cos7°= .

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由诱导公式以及两角和与差的三角函数公式化简可得. 解答: 解:sin52°cos83°+cos52°cos7° =sin52°cos(90°﹣7°)+cos52°cos7° =sin52°sin7°+cos52°cos7° =cos(52°﹣7°) =cos45°=

故答案为: 点评: 本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及诱导公式的应用,属基础题.

12. (4 分)

=



考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数幂的运算性质化简计算即可. 解答: 解: = ﹣ 1﹣

= ﹣1﹣ = 故答案为: .



点评: 本题考查了函数的饿指数幂的运算性质,属于基础题.

13. (4 分)圆心角为

,半径为 3 的扇形的弧长等于 2π.

考点: 弧长公式. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用弧长公式即可得出. 解答: 解:l=αr= .

故答案为:2π. 点评: 本题考查了弧长公式,属于基础题.

14. (4 分)函数

的递减区间为(5,+∞) .

考点: 复合函数的单调性. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 求出函数的定义域,确定内外函数的单调性,即可得到结论. 2 解答: 解:由 x ﹣4x﹣5>0,可得 x<﹣1 或 x >5 2 2 令 t=x ﹣4x﹣5=(x﹣2) ﹣9,则函数在(5,+∞)上单调递增 ∵ 在定义域内为单调递减

∴函数

的递减区间为(5,+∞)

故答案为: (5,+∞) 点评: 本题考查复合函数的单调性, 考查学生的计算能力, 确定内外函数的单调性是关键.

15. (4 分)已知﹣

,cos(a﹣β)= ,sinβ=

,tanα=﹣



考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据已知条件,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosβ 与 sin(α﹣β)的值,利 用两角和与差的正弦、余弦函数公式求出 sinα 与 cosα 的值,即可求出 tanα 的值. 解答: 解:∵﹣ ∴sin(α﹣β)=﹣ <α<0<β< ,cos(a﹣β)= ,sinβ= = + × + × = =﹣ , , , ,

=﹣ ,cosβ=

∴cosα=cos=cos(α﹣β)cosβ﹣sin(α﹣β)sinβ= × sinα=sin=sin(α﹣β)cosβ+cos(α﹣β)sinβ=﹣ × 则 tanα=﹣ ,

故答案为:﹣ 点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

16. (4 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 2,点 P 是线段 BC 上的动点,则( 的最小值为 .

+

)?

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 建立平面直角坐标系 A﹣xy,设 P(2,x) ,则 ﹣x ) , =(0,2﹣x) ,利用 x 表示( + )? =(0,﹣x) ,x∈, =(﹣2,2

的函数求最值.

解答: 解:建立平面直角坐标系 A﹣xy,设 P(2,x) , 则 =(0,﹣x) ,x∈, + )?
2

=(﹣2,2﹣x) ,
2

=(0,2﹣x) ,

所以(

=2x ﹣6x+4=2(x﹣1.5) +4﹣4.5,

因为 x∈, 所以 x=1.5 时, ( 故答案为: . + )? 的最小值为﹣0.5 即 ;

点评: 本题考查了向量的数量积以及二次函数闭区间的最值, 关键是建立坐标系, 将问题 转化为二次函数的最值求法. 17. (4 分) 对于任意实数 x, 符号表示不超过 x 的最大整数, 例如=2, =2; =﹣3, 那么+++…+ 的值为 857. 考点: 专题: 分析: 解答 : 对数的运算性质. 函数的性质及应用. 利用取整函数的性质和对数的运算法则求解. 解:由题意可知:设=b

log3a=b+x,a,b 为整数 b+x a=3 ,0≤x<1, x 因为 y=3 为单调增函数 当 a 在时 因为 3 =1,3 =3 则 0<b+x<1 所以 b=0 时,+=0 当 a 在时 同理 1<b+x<2 b=1 时,++…+=1 b=2 时,++…+=2. b=3 时,++…+=3. b=4 时,++…+=4. b=5 时,=5. ∴++++…+ =1×6+2×18+3×54+4×162+5=857. 故答案为:857. 点评: 本题考查函数值的求法, 解题时要认真审题, 注意取整函数的性质和对数的运算法 则的合理运用. 三、解答题: (本大题共 4 小题,共 42 分,要写出详细的解答过程或证明过程) 18. (10 分)已知 , 为平面向量,且| |= (Ⅰ)求| + |及| ﹣ |; ,| |=2, , 的夹角为 30°.
0 1

(Ⅱ)若向量 + 与 ﹣λ 垂直,求实数 λ 的值. 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (I)利用数量积定义和运算性质即可得出; (II) 由向量 + 与 ﹣λ 垂直, 可得 ( + ) ? ( ﹣λ ) = 代入解出即可. 解答: 解: (I)∵| |= ∴ = = = ,| |=2, , 的夹角为 30°, = = =3, ; =1. =0,

∴| + |= | ﹣ |=

(II)∵向量 + 与 ﹣λ 垂直, ∴( + )?( ﹣λ )= ∴3﹣4λ+3(1﹣λ)=0,解得 . =0,

点评: 本题考查了数量积定义和运算性质、向量垂直于数量积的关系,属于基础题. 19. (10 分)已知集合 M={x|x ﹣3x≤10},N={x|a+1≤x≤2a+1}. (1)若 a=2,求 M∩(CRN) ; (2)若 M∪N=M,求实数 a 的取值范围. 考点: 并集及其运算;交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: (Ⅰ)a=2 时,M={x|﹣2≤x≤5},N={3≤x≤5},由此能求出 M∩(CRN) . (Ⅱ)由 M∪N=M,得 N?M,由此能求出实数 a 的取值范围. 解答: (本小题满分 8 分) 解: (Ⅰ)a=2 时,M={x|﹣2≤ x≤5},N={3≤x≤5}, CRN={x|x<3 或 x>5}, 所以 M∩(CRN)={x|﹣2≤x<3}. (Ⅱ)∵M∪N=M,∴N?M, ①a+1>2a+1,解得 a<0;
2



,解得 0≤a≤2.

所以 a≤2.

点评: 本题考查交集、实集的应用,考查实数的取值范围的求法,是基础题. 20. (10 分)设函数 f(x)=sinx(sinx+cosx) . (Ⅰ)求 f( )的值;

(Ⅱ)若函数 f(x)在上的值域为,求实数 a 的取值范围. 考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)将 x= 代入 f(x)=sinx(sinx+cosx) ,整理计算即可求得 f( sin(2x﹣ )的值;

(Ⅱ)利用三角恒等变换可得 f(x)= +

) ,结合函数的图象,利用正弦函

数的单调性与最值即可求得实数 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)f( 分 (Ⅱ)f(x)=sin x+sinxcosx= = + 当 x= sin(2x﹣ )…6 分 ,f(0)=f( )=0,
2

)=sin

(sin

+cos

)=

sin

sin

=

sin

cos

= …4

+ sin2x

时,f(x)的最大值为

所以,当 a∈时,函数 f(x)在上的值域为…8 分

点评: 本题考查三角恒等变换的应用,着重考查正弦函数的单调性与最值,考查分析、作 图与运算求解能力,属于中档题. 21. (12 分)已知函数 f(x)=ax +2bx+c(x∈R,a≠0) (Ⅰ)若 a=﹣1,c=0,且 y=f(x)在上的最大值为 g(b) ,求 g(b) ; (Ⅱ)若 a>0,函数 f(x)在上不单调,且它的图象与 x 轴相切,求 的最小值.
2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;二次函数的性质. 专题: 分类讨论;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)求出 a=﹣1,c=0 时的 f(x)解析式,配方求出对称轴,讨论区间与对称轴 的关系,运用单调性即可得到最大值 g(b) ;

(Ⅱ)由图象与 x 轴相切,可得判别式为 0,由 f(x)在上不单调,可得对称轴介于﹣8 和 ﹣2 之间,再对所求式子整理变形,令 t= ∈,结合基本不等式,即可得到最小值 4. 解答: 解: (Ⅰ)a=﹣1,c=0 时,f(x)=﹣x +2bx=﹣(x﹣b) +b , ∴对称轴是直线 x=b, ①b<﹣1 时,为减区间,即有 f(x)max=f(﹣1)=﹣1﹣2b; ②当﹣1≤b≤3 时,即有 ;
2 2 2

③当 b>3 时,为增区间,即有 f(x)max=f(3)=﹣9+6b.

综上所述,



(Ⅱ)∵函数 f(x)的图象和 x 轴相切, ∴ ∵f(x)在上不单调, ∴对称轴 ∴ , , ,

即有









=

≥ =3+ ∴

. 的最小值为 3+ ,此时当且仅当 t﹣2=2 ∈(0,6)?t=2 .

点评: 本题考查二次函数的最值求法, 主要考查函数的单调性的运用, 注意分类讨论的思 想方法的运用和基本不等式的运用,同时考查化简整理的运算能力,属于中档题和易错题.


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