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必修4第三章三角恒等变形经典练习题


必修四第三章三角恒等变形测试题
一. 选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1.

sin 15o ? cos15o 的值为( sin 15o ? cos15o
3 3


2? 6 4

A.

B.

2? 6 4

C.

D. ? 3

2.

1 3 cos ? ? sin ? 可化为( 2 2


?? ? B. sin? ? ?? ?3 ? ?? ? D. sin? ? ?? ?3 ?

?? ? A. sin? ? ?? ?6 ? ?? ? C. sin? ? ?? ?6 ?

4 1 ?? ? 3. 若 ?、? ? ? 0, ? ,且 tan ? ? , tan ? ? ,则 ? ? ? 的值是( ? 3 7 2?



A.

? 3

B.

? 4

C.

? 6

D.

? 8

4. 函数 y ? 8 sin x cos x cos 2 x 的周期为 T,最大值为 A,则( A. T ? ?,A ? 4 C. T ? ?,A ? 2 5. 已知 A.
? ,A ? 4 2 ? D. T ? ,A ? 2 2



B. T ?

1 1 ? ? 1 ,则 sin 2? 的值为( cos ? sin ?

) D. 2 ? 2 2

2 ?1

B. 1 ? 2
1 1 ,则 cos2 ? ? sin 2? ( 3 2 4 4 B. ? C. 5 5

C. 2 2 ? 2 ) D. ) C. ? ) C. ? 3 cos 2
2 3 6 5

6. 已知 tan ? ? A. ?
6 5

7. 设 f (tan x) ? tan 2 x ,则 f (2) ? ( A. 4 8. B.
4 5

D. ?

4 3

2 ? sin 2 2 ? cos 4 的值是(

A. sin 2

B. ? cos2

D.

3 cos 2


9. 在△ABC 中,若 2 cos B sin A ? sin C ,则△ABC 的形状一定是( A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 10. 要使斜边一定的直角三角形周长最大,它的一个锐角应是(



A. 30°

B. 45°

C. 60°

? ? ? 11. 已知向量 OB ? ?2 , 0? ,向量 OC ? ?2 , 2? ,向量 CA ?
? 与 OB 的夹角范围为(
?? ? A. ?0, ? 4? ? ?? ? 5? C. ? , ? 2? ? 12

?

? 2 cos ?, 2 sin ? ,则向量 OA

1 D. 正弦值为 的锐角 3

?


? ? 5? ? B. ? , ? ? 4 12 ? 5? ? ?? D. ? , ? ?12 12 ?

12. 已知: 3 cos?2? ? ?? ? 5 cos ? ? 0 ,则 tan?? ? ?? tan ? 的值为( A. ?4 B. 4 C. ?4 D. 1 二. 填空题(每小题 3 分,共 12 分) 1 13. 已知 sin ? ? cos ? ? ,则 cos4? ? _____________。 3



14. 函数 y ? 2 sin x cos x ? 2 sin 2 x ? 1 的最小正周期为_____________。 15. 已知 ? ? ? ?
? ,且 ?、? 满足关系式 3? tan ? tan ? ? a ? ? 2 tan ? ? 3 tan ? ? 0 ,则 6 tan ? ? _____________。

16. 已知 f ( x) ?

1? x ?? ? 。若 ? ? ? ,?? ,则 f (cos ? ) ? f ( ? cos ? ) 可化简为 ?2 ? 1? x

_____________。 三. 解答题(每小题 10 分,共 40 分) 17. 求值: tan 70 o cos10 o · ( 3 tan 20 o ? 1) 18. 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ? (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量 x 的集合; (3)求函数的单调区间,并指出在每一个区间上函数的单调性。
1 2

sin 2 x ? 2 sin 2 x 7? ?? ? 3 17 ? 19. 若已知 cos? ? x? ? , ,求 的值。 ?x? ?4 ? 5 12 4 1 ? tan x
20. 已知α、β为锐角,且 3 sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 1, 3 sin 2? ? 2 sin 2? ? 0 。 求证: ? ? 2? ?
? 2

[参考答案]
一. 选择题: 1. D 2. A 3. B 7. D 8. C 9. A 二. 填空题: 47 13. ? 14. ? 81 三. 解答题: 17. 解:原式 ? 4. D 10. B 15. 5. C 11. D 6. D 12. C 16.
2 sin ?

3?1 ? a ?

? 3 sin 20 o ? sin 70 o o · cos 10 ? 1? ? o o cos 70 ? cos 20 ?

sin 70 o cos 70 o cos10 o · cos 20 o o ? 3 cos10 ? 2 sin 10 o · cos10 o ? 3 cos10 o ? cos10 o · 3 sin 20 o ? cos 20 o 2 sin 10 o sin 20· cos 30 o ? cos 20 o · sin 30 o ? sin 10 o sin 20 o ? 30 o ? sin 10 o ? ?1 ?

?

?

18. 解: f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3 1 ? sin 2 x ? 2 2 2

2? 2? (1) T ? ? ?? ? 2 ? ? (2)当 2 x ? ? 2 k? ? ? k ? Z? 6 2
? ? sin 3 sin 2 ? 2 x ? ? 2 x ? 1 2 cos 1 2 x ? ? 6 ? ? ? ?

?

1

? ? ? 即 x ? ?x| x ? k? ? ,k ? Z? 时, f ( x) max ? 2 3 ? ?

当 2x ?

? ? ? 2 k? ? ? k ? Z? 6 2

? ? ? 即 x ? ?x| x ? k? ? ,k ? Z? 时, f ( x) min ? 0 6 ? ?

? ? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? ? k ? Z? 2 6 2 ? ? 即 k? ? ? x ? k? ? ? k ? Z? 时, f ( x) 单调递增。 6 3 ? ? 3? 当 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? ? k ? Z? 2 6 2

(3)当 2 k? ?

即 k? ?

? 5? ? x ? k? ? ?k ? Z? 时, f ( x) 单调递减。 3 6
?? ?k ? Z? 3? ?

? ? 故 f ( x) 的单调递增区间为 ? k? ? ,k? ? 6 ?

? 5 ? ? f ( x) 的单调递减区间为 ? k? ? ,k? ? ? ? ? k ? Z? 3 6 ? ? 7? ?? ? 3 17 ? 19. 解法 1: ∵ cos? ? ?? ? , ?x? ?4 ? 5 12 4



3? ? 4 ?? ? ? ? x ? 2 ? ,则 sin? ? x? ? ? ?4 ? 5 4 5

?? ? ? ?? 从而 cos x ? cos?? ? x? ? ? ? 4? ?? 4

? ? ?? ? ?? ? ? cos? ? x? cos ? sin? ? x? sin ?4 ? ? ? 4 4 4 ? 3 2 ? 4? 2 ? ? ?? ? ? 5 2 ? 5? 2 2 10
7 2 , tan x ? 7 10
2

??

∴ sin x ? ? 1 ? cos2 x ? ?

? 7 2? ? ? 7 2? 2? 2 ? ?? ? ? ?? ? ? 2 ? ?? ? ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? 2 sin x cos x ? 2 sin 2 x ? 故原式 ? 1? 7 1 ? tan x 28 ?? 75

解法 2:原式 ?

2 sin x cos x ? 2 sin 2 x 1 ? tan x

17 7? 5? ? ∵ ??x? ,∴ ? ? x ? 2? 12 4 3 4
? ? 2 sin 2 x cos x 1 ? ? tan x

?

1

sin

x

tan

? tan x ? ? ? ? ? 4

? x ? ?

4 ?? ? 3 ?? ? 又 cos? ? x? ? ,∴ sin? ? x? ? ? ?4 ? 5 ?4 ? 5 4 ?? ? 即 tan? ? x? ? ? ?4 ? 3

? ?? ? ?? 则 sin 2 x ? sin ?2? ? x? ? ? ? 2? ? ?4

?? ? ? ? cos2? ? x ? ?4 ? ? ?? ? ? 7 ? ??2 cos2 ? ? x ? ? 1? ? ?4 ? ? 25 ?
故原式 ?
7 ? 4? 28 ? ?? ? ? ? 25 ? 3 ? 75

20. 证法 1:由已知 3 sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 1

3

sin 3

2

?
2

?

2

sin 1

2 ? 2 2

?

0
2



sin

? ?

sin

2 ?

? 3 2

?

sin

? 3

?

cos ?

2 ? ?

sin

?

?

sin

cos

∴ cos?? ? 2?? ? cos ? cos 2? ? sin ? sin 2? ? cos ?· 3 sin 2 ? ? sin ?· 3 sin ? cos ? ?0
∵α、β为锐角, ∴ 0 ? ? ? 2? ?
? 2 证法 2:由已知条件得: ∴? ? 2? ? 3? 2

3 sin 2 ? ? cos 2? 3 sin ? cos ? ? sin 2?

?1? ?2?
∴? ? ? ? ? 2? ,即 ? ? 2? ? 2 2

又∵α、β为锐角


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