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圆锥曲线焦点弦的一个重要结论秒杀高考难题


圆锥曲线焦点弦的一个重要结论秒杀高考难题
陆河外国语学校---杜耀航 20100901
高考数学过焦点弦是高考的重点考点。题目虽然不难,也常常难倒诸多学子,高考得 分率极低。实际上此题若不掌握技巧,短时间内确实不易拿准。因此笔者给学子们介绍解决 此类题的秘诀,可以秒杀! 已知点 F 是离心率为 e 的圆锥曲线 C 的焦点,过点 F 的弦 AB 与 C 的焦点所在的轴的夹 角为θ ,且 AF ? ? FB(? ? 0) ,则有 e cos? ? 证明:由圆锥曲线统一定义: ? ?

? ? ?1 (0, ) (? ? 2 ? ?1

ep 1 ? e cos ?

题 1: 过抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 300 的直线与抛物线交于 A、 B 两点 (点 A 在 y 轴左侧) ,则

AF ? FB
1 ? -1 AF 1 ? ?1 得: ? ,解得 ? =3,? ? 2 ? ?1 FB 3 ? ?1

解:由公式: e cos? ?

题 2:双曲线

x2 y2 ? ? 1 ,AB 过右焦点 F 交双曲线与 A、B,若直线 AB 的斜率为 3 , a2 b2

AF ? 4FB 则双曲线的离心率 e=
解:∵由已知 tanθ = 3 ∴θ =600, 由公式: e cos? ?

1 ? -1 4 -1 ? ?1 得:e ? = 2 ? ?1 4 ?1 ? ?1

∴ e=

6 5

题 3: (2010 高考全国卷)已知椭圆 C:

x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a>b>0),离心率 e ? ,过右焦点 2 2 a b

且斜率为 k(k>0)的直线与 C 相交于 A、B 两点,若 AF ? 3FB ,则 k=( B ) A 、1 B、 2 C、 3 D、2

解:由公式: e cos? ?

1 ? ?1 得 cosθ = ∴ k=tanθ = 2 ;故选 B。 ? ?1 3


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