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2008高考湖南数学文科试题及详细解答(全word版)080625


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2008 高考湖南文科数学试题及全解全析
在每小题给出的四个选项中, 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 选择题 本大题共 小题, 只有一项是符合题目要求的. 只有一项是符合题目要求的 1.已知 U = {2,3,4,5,6,7}, M = {3,4,5,7} , N = {2,4,5,6} ,则( A. M ∩ N = {4, 6} C. (C u N ) ∪ M = U 【答案】B 【解析】由 U = {2,3,4,5,6,7}, M = {3,4,5,7} , N = {2,4,5,6} ,易知 B 正确. 2. x 1 < 2 ”是“ x < 3 ”的( “ A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

B. M ∪ N = U
D. (C u M ) ∩ N = N

【解析】由 x 1 < 2 得 1 < x < 3 ,所以易知选 A.

x ≥ 1, 3.已条变量 x, y 满足 y ≤ 2, 则 x + y 的最小值是( x y ≤ 0,
A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【解析】如图得可行域为一个三角形,其三个顶点 分别为 (1,1), (1, 2), (2, 2), 代入验证知在点

)
y x - y= 0 y =2 O
(1,2) (2,2) (1,1)

1

x

(1,1) 时, x + y 最小值是 1 + 1 = 2. 故选 C.
4.函数 f ( x ) = x 2 ( x ≤ 0) 的反函数是( )
1

x =1

A. f C. f

1

( x ) = x ( x ≥ 0) ( x ) = x ( x ≤ 0)

B. f D. f

( x ) = x ( x ≥ 0) ( x ) = x 2 ( x ≤ 0)

1

1

【答案】B 【解析】用特殊点法,取原函数过点 (1,1), 则其反函数过点 (1, 1), 验证知只有答案 B 满足. 也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。
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5.已知直线 m、n 和平面 α 、 β 满足 m ⊥ n, m ⊥ α , α ⊥ β ,则(

)

A. n ⊥ β

B.n // β , 或 n β

C.n ⊥ α

D.n // α , 或 n α

【答案】D 【解析】易知 D 正确. 6.下面不等式成立的是( A. log 3 2 < log 2 3 < log 2 5

) B. log 3 2 < log 2 5 < log 2 3 D. log 2 3 < log 2 5 < log 3 2

C. log 2 3 < log 3 2 < log 2 5 【答案】A

【解析】由 log 3 2 < 1 < log 2 3 < log 2 5 , 故选 A. 7.在 ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10 ,则 AB AC = ( A. )

3 2

B.

2 3

C.

2 3

D.

3 2

【答案】D 【解析】由余弦定理得 cos ∠CAB =

1 1 3 , 所以 AB AC = 3 × 2 × = , 选D. 4 4 2

8.某市拟从 4 个重点项目和 6 个一般项目中各选 2 个项目作为本年度启动的项目, 则重点项目 A 和一般项目 B 至少有一个被选中的不同选法种数是( ) A.15 B.45 C.60 D.75 【答案】C 【解析】用直接法: C3C5 + C3C5 + C3 C5 = 15 + 30 + 15 = 60,
1 1 1 2 2 1

或用间接法: C4 C6 C3 C5 = 90 30 = 60, 故选C.
2 2 2 2

9.长方体 ABCD A1 B1C1 D1 的 8 个顶点在同一个球面上,且 AB=2,AD= 3 ,

AA1 = 1 ,则顶点 A、B 间的球面距离是(
A.

)

D1

C1

2π 4

B.

2π 2

C. 2π

D.2 2π

A1 D O

B1 C

【答案】B 【解析】∵ BD1 = AC1 = 2 R = 2 2, ∴ R =

2, 设
A B

BD1 ∩ AC1 = O, 则 OA = OB = R = 2,
∠AOB =

π
2

, ∴ l = Rθ = 2 ×

π
2

, 故选B.
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10. 双曲线

x2 a2



y2 = 1(a > 0, b > 0) 的右支上存在一点, 它到右焦点及左准线的距离相等, b2
) C. (1, 2 + 1] D. [ 2 + 1, +∞)

则双曲线离心率的取值范围是( A. (1, 2] 【答案】C B. [ 2, +∞ )

a2 a2 a2 【解析】∵ ex0 a = x0 + (e 1) x0 = +a + a ≥ (e 1)a, c c c
∴e 1 ≤ 1 + a 1 = 1 + , e 2 2e 1 ≤ 0, 1 2 ≤ e ≤ 1 + 2, c e

而双曲线的离心率 e > 1, ∴ e ∈ (1, 2 + 1], 故选C.

小题, 把答案填在对应题号后的横线上。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在对应题号后的横线上。 填空题: 11.已知向量 a = (1, 3 ) , b = (2,0) ,则 | a + b | =_____________________. 【答案】2 【解析】由∵ a + b = ( 1, 3),∴| a + b |= 1 + 3 = 2. 12.从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人,其生活能否自理的情况如下表所示: 人 生活能 否自理 能 不能 性 别 男 数 178 23 278 21 女

则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。 【答案】60 【解析】由上表得 (23 21) × 13.记 (2 x + 【答案】5 【解析】由 Tr +1 = Cn (2 x)
r nr

15000 = 2 × 30 = 60. 500

1 n ) 的展开式中第 m 项的系数为 bm ,若 b3 = 2b4 ,则 n =__________. x 1 r 2 3 ( ) r = 2 n r Cn x n 2 r , 得 2 n 2 Cn = 2 × 2 n 3 Cn , x

所以解得 n = 5.

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2 2

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14.将圆 x + y = 1 沿 x 轴正向平移 1 个单位后所得到圆 C,则圆 C 的方程是________, 若过点(3,0)的直线 l 和圆 C 相切,则直线 l 的斜率为_____________.
y

3 【答案】 ( x 1) + y = 1 , ± 3
2 2

【解析】易得圆 C 的方程是 ( x 1) + y = 1 ,
2 2

A P
X O

直线 l 的倾斜角为 30 ,150 ,

B
3 . 所以直线 l 的斜率为 k = ± 3
15.设 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数, (如 [2] = 2, = 1 ) 。对于给定的 n ∈ N , 4


5

3 n(n 1)(n 2) (n [x ] + 1) 定义 C = , x ∈ [1,+∞ ), 则 C82 = ________; x( x 1) ( x [x ] + 1)

x n

当 x ∈ [2,3) 时,函数 C8 的值域是_________________________。
x

【答案】

16 28 , ( , 28] 3 3
3

【解析】 C82 =

8 16 8× 7 = , 当 x = 2 时, C82 = = 28, 当 x → 3 时, [ x ] = 2, 3 3 2 ×1 2
x

所以 C8 =

8 × 7 28 28 = , 故函数 C8x 的值域是 ( , 28] . 3× 2 3 3

小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 解答题: 16.(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约。甲表示只要面试 合格就签约,乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约。设每人 面试合格的概率都是

1 ,且面试是否合格互不影响。求: 2

(I)至少有一人面试合格的概率; (II)没有人签约的概率。

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解:用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立, 且 P ( A) = P ( B ) = P (C ) =

1 . 2

(I)至少有一人面试合格的概率是 1 P ( A B C )

1 7 = 1 P ( A) P ( B ) P (C ) = 1 ( )3 = . 2 8
(II)没有人签约的概率为 P ( A B C ) + P ( A B C ) + P ( A B C )

P ( A) P ( B ) P (C ) + P ( A) P ( B ) P (C ) + P ( A) P ( B ) P (C ) 1 1 1 3 = ( )3 + ( )3 + ( )3 = . 2 2 2 8

17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = cos
2

x x sin 2 + sin x . 2 2

(I)求函数 f (x ) 的最小正周期; (II)当 x 0 ∈ (0,

π
4

) 且 f ( x0 ) =

4 2 π 时,求 f ( x 0 + ) 的值。 5 6
π 2 sin( x + ) . 4

解:由题设有 f ( x ) = cos x + sin x =

(I)函数 f ( x ) 的最小正周期是 T = 2π. (II)由 f ( x 0 ) =

4 2 π 4 2 π 4 得 2 sin( x0 + ) = , 即 sin( x0 + ) = , 5 4 5 4 5

因为 x 0 ∈ (0,

π
4

) ,所以 x0 +

π π π ∈ ( , ). 4 4 2

从而 cos( x0 + 于是 f ( x 0 +

π π 4 3 ) = 1 sin 2 ( x0 + ) = 1 ( ) 2 = . 4 4 5 5
) = 2 sin( x0 +

π π π π + ) = 2 sin[( x0 + ) + ] 6 4 6 4 6 π π π π = 2[sin( x0 + ) cos + cos( x0 + ) sin ] 4 6 4 6
4 3 3 1 4 6 +3 2 = 2( × + × )= . 5 2 5 2 10

π

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18.(本小题满分 12 分) 如图所示,四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ∠BCD = 60 ,
0

E 是 CD 的中点,PA ⊥ 底面 ABCD, PA = (I)证明:平面 PBE ⊥ 平面 PAB; (II)求二面角 A—BE—P 的大小。

3。

P

D

E

C

A

B
0

解:解法一(I)如图所示, 连结 BD, 由 ABCD 是菱形且 ∠BCD = 60 知,

△BCD 是等边三角形. 因为 E 是 CD 的中点,所以

BE ⊥ CD, 又 AB / /CD, 所以 BE ⊥ AB,
又因为 PA ⊥ 平面 ABCD, BE 平面 ABCD, 所以 PA ⊥ BE , 而 PA ∩ AB = A, 因此 BE ⊥平面 PAB. 又 BE 平面 PBE,所以平面 PBE ⊥ 平面 PAB. (II)由(I)知, BE ⊥平面 PAB, PB 平面 PAB, 所以 PB ⊥ BE. 又 AB ⊥ BE , 所以 ∠PBA 是二面角 A BE P 的平面角. 在 Rt△PAB 中, tan ∠PBA =

PA = 3, ∠PBA = 60 . . AB

故二面角 A BE P 的大小为 60 . 解法二:如图所示,以 A 为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是

3 3 1 3 3 A(0, 0), B (1, 0), C ( , , D( , , P (0, 3), E (1, , 0, 0, 0), 0), 0, 0). 2 2 2 2 2
(I)因为 BE = (0,

3 , 平面 PAB 的一个法向量是 n0 = (0,0), 所以 BE 和 n0 共线. 0), 1, 2

从而 BE ⊥平面 PAB. 又因为 BE 平面 PBE,所以平面 PBE ⊥ 平面 PAB.

, (II) 易知 PB = (1 0, 3), BE = (0,
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3 , 设 n1 = ( x1,y1,z1 ) 是平面 PBE 的一个法向量, 0), 2
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n1 PB = 0, x1 + 0 × y1 3 z1 = 0, 则由 得 所以 y1 =0,x1 = 3 z1. 3 y1 + 0 × z1 = 0 n1 BE = 0 0 × x1 + 2
故可取 n1 = ( 3,1). 而平面 ABE 的一个法向量是 n2 = (0,1). 0, 0, 于是, cos < n1 , n2 >=

1 n1 n2 = .. | n1 |i| n2 | 2

故二面角 A BE P 的大小为 60 . 19.(本小题满分 13 分) 已知椭圆的中心在原点,一个焦点是 F ( 2,0) ,且两条准线间的距离为 λ (λ > 4) 。 (I)求椭圆的方程; (II)若存在过点 A(1,0)的直线 l ,使点 F 关于直线 l 的对称点在椭圆上, 求 λ 的取值范围。

x2 y2 解: (I)设椭圆的方程为 2 + 2 = 1( a > b > 0). a b
由条件知 c = 2, 且

2a 2 = λ , 所以 a 2 = λ , b 2 = a 2 c 2 = λ 4. c +
y2 = 1(λ > 4). λ 4

故椭圆的方程是

x2

λ

(II)依题意, 直线 l 的斜率存在且不为 0,记为 k ,则直线 l 的方程是 y = k ( x 1). 设点 F (2, 关于直线 l 的对称点为 F ′( x0,y 0 ), 则 0)

x0 + 2 y0 2 = k ( 2 1), y 0 k = 1 x0 2

2 x0 = 1 + k 2 , 解得 y = 2k 0 1+ k 2

2 2 2k 2 ( ) ( ) 2 2 因为点 F ′( x0,y 0 ) 在椭圆上,所以 1 + k + 1+ k = 1. λ λ 4
即 λ (λ 4)k 4 + 2λ (λ 6)k 2 + (λ 4) 2 = 0. 设 k 2 = t , 则 λ (λ 4)t 2 + 2λ (λ 6)t + (λ 4) 2 = 0.

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因为 λ > 4, 所以

(λ 4) 2 > 0. 于是, λ (λ 4)

= [2λ (λ 6)]2 -4λ (λ 4)3, 当且仅当 2λ (λ 6) () λ (λ 4) > 0.
上述方程存在正实根,即直线 l 存在.

16 16 λ ≤ , 解 () 得 所以 4 < λ ≤ . 3 3 4 < λ < 6.
即 λ 的取值范围是 4 < λ ≤

16 . 3

20. (本小题满分 13 分) 数列 {an } 满足 a1 = 0, a 2 = 2, an + 2 = (1 + cos
2

nπ nπ )an + 4sin 2 , n = 1, 2,3, , 2 2

(I)求 a 3 , a 4 ,并求数列 {an } 的通项公式; (II)设 S k = a1 + a3 + + a2 k 1 , Tk = a2 + a4 + + a2 k , Wk = 求使 Wk > 1 的所有 k 的值,并说明理由。 解: (I)因为 a1 = 0, a 2 = 2, 所以 a3 = (1 + cos
2

2S k (k ∈ N * ) , 2 + Tk

π
2

)a1 + 4sin 2

π
2

= a1 + 4 = 4,

a4 = (1 + cos 2 π )a2 + 4sin 2 π = 2a2 = 4, 一般地, 当 n = 2k 1(k ∈ N ) 时, a2 k +1 = [1 + cos 2 (2k 1)π 2k 1 ]a2 k 1 + 4 sin 2 π = a2 k 1 + 4, 2 2

即 a2 k +1 a2 k 1 = 4. 所以数列 {a2 k 1} 是首项为 0、公差为 4 的等差数列, 因此 a2 k 1 = 4( k 1). 当 n = 2k ( k ∈ N ) 时, a2 k + 2 = [1 + cos
2

2 kπ 2k ]a2 k + 4sin 2 π = 2 a2 k , 2 2
k

所以数列 {a2 k } 是首项为 2、公比为 2 的等比数列,因此 a2 k = 2 .

2(n 1), n = 2k 1(k ∈ N ), 故数列 {an } 的通项公式为 an = n 2 2 , n = 2k ( k ∈ N )
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(II)由(I)知, S k = a1 + a3 + + a2 k 1 = 0 + 4 + + 4( k 1) = 2k ( k 1),

Tk = a2 + a4 + + a2 k = 2 + 22 + 2 k = 2k +1 2, Wk =
于是 W1 = 0, W2 = 1, W3 =

2 Sk k (k 1) = . 2 + Tk 2 k 1

3 3 5 15 , W4 = , W5 = , W6 = . 2 2 4 16

下面证明: 当 k ≥ 6 时, Wk < 1. 事实上, 当 k ≥ 6 时,

Wk +1 Wk =

(k + 1)k k (k 1) k (3 k ) = < 0, 即 Wk +1 < Wk . 2k 2 k 1 2k

又 W6 < 1, 所以当 k ≥ 6 时, Wk < 1. 故满足 Wk > 1 的所有 k 的值为 3,4,5. 21. (本小题满分 13 分)

1 4 9 x + x 3 x 2 + cx 有三个极值点。 4 2 (I)证明: 27 < c < 5 ;
已知函数 f ( x ) = (II)若存在实数 c,使函数 f (x ) 在区间 [ a, a + 2 ] 上单调递减,求 a 的取值范围。 解: (I)因为函数 f ( x ) =

1 4 9 x + x 3 x 2 + cx 有三个极值点, 4 2

所以 f ′( x ) = x 3 + 3 x 2 9 x + c = 0 有三个互异的实根. 设 g ( x ) = x 3 + 3 x 2 9 x + c, 则 g ′( x ) = 3 x 2 + 6 x 9 = 3( x + 3)( x 1), 当 x < 3 时, g ′( x ) > 0, g ( x ) 在 ( ∞, 3) 上为增函数; 当 3 < x < 1 时, g ′( x ) < 0, g ( x ) 在 (3,1) 上为减函数; 当 x > 1 时, g ′( x ) > 0, g ( x ) 在 (1, +∞) 上为增函数; 所以函数 g ( x ) 在 x = 3 时取极大值,在 x = 1 时取极小值. 当 g (3) ≤ 0 或 g (1) ≥ 0 时, g ( x ) = 0 最多只有两个不同实根. 因为 g ( x ) = 0 有三个不同实根, 所以 g (3) > 0 且 g (1) < 0 . 即 27 + 27 + 27 + c > 0 ,且 1 + 3 9 + c < 0 , 解得 c > 27, 且 c < 5, 故 27 < c < 5 .
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(II)由(I)的证明可知,当 27 < c < 5 时, f ( x ) 有三个极值点. ,则 f ′( x) = ( x x1 )( x x2 )( x x3 ). 不妨设为 x1,x2,x3 ( x1 < x2 < x3 ) 所以 f ( x) 的单调递减区间是 ( ∞,x1 ] , [ x2 , x3 ] 若 f (x) 在区间 [ a, a + 2 ] 上单调递减, 则 [ a, a + 2] ( ∞,x1 ] , 或 [ a, a + 2] [ x2 , x3 ] , 若 [ a, a + 2] ( ∞,x1 ] ,则 a + 2 ≤ x1 .由(I)知, x1 < 3 ,于是 a < 5. 若 [ a, a + 2] [ x2 , x3 ] ,则 a ≥ x2 且 a + 2 ≤ x3 .由(I)知, 3 < x2 < 1. 又 f ′( x) = x3 + 3 x 2 9 x + c, 当 c = 27 时, f ′( x) = ( x 3)( x + 3) 2 ; 当 c = 5 时, f ′( x) = ( x + 5)( x 1) 2 . 因此, 当 27 < c < 5 时, 1 < x3 < 3. 所以 a > 3, 且 a + 2 ≤ 3. 即 3 < a < 1. 故 a < 5, 或 3 < a < 1. 反之, 当 a < 5, 或 3 < a < 1 时, 总可找到 c ∈ ( 27,5), 使函数 f (x) 在区间 [ a, a + 2 ] 上单调递减. 综上所述, a 的取值范围是 ( ∞, 5) ∪ ( 3,1) .

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