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第3讲分类讨论思想


第三讲

分类讨论思想

1.分类讨论思想的含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时, 需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出结 论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上,分类讨论 是“化整为零,各个击破,再积零为整”的解题策略.

2. 分类讨论的常见类型:
(1)由数学概念引起的分类讨论:有的概念本身是分类的, 如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数 学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一 致,如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等. (3)由数学运算要求引起的分类讨论:如除法运算中除数

不为零,偶次方根为非负,对数真数与底数的要求,指数运算
中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数 的定义域等.

(4)由图形的不确定性引起的分类讨论:有的图形类型、
位置需要分类:如角的终边所在的象限;点、线、面的位置 关系等. (5)由参数的变化引起的分类讨论:某些含有参数的 问题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导 致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或 证明方法.

(6)由实际意义引起的讨论:此类问题在应用题中,特
别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.

3.

(1)不重不漏.
(2)标准要统一,层次要分明.

(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟,决不无 原则地讨论. 4.

(1)确定分类讨论的对象:即对哪个变量或参数
进行分类讨论. (2)对所讨论的对象进行合理的分类.

(3)逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步解决
. (4)归纳总结:将各类情况总结归纳.

一般来说,分类的原因有两个:

一是被动分类,即我们研究的对象(概念、性 质和法则、问题的条件)本身就是需要分类的,也 就是说问题的提出本身已经包含了分类的原因;
二是主动分类,即问题本身并不包含分类的因 素,只是因为解决问题的需要,将面对的情况划分 成几类,以适合不同的原理或法则的条件,分门别 类地采用不同的方式解决问题.

考点1 数学概念,法则,公式而引起的分类讨论
[ 例 1] 设等比数列 {an} 的公比为 q ,前 n 项和 Sn>0(n =

1,2,3,?),则 q 的取值范围是________.

[思维流程]

[解析]

因为{an}是等比数列,Sn>0,可得 a1=S1>0,q≠0.

当 q=1 时,Sn=na1>0; a1?1-qn? 当 q≠1 时,Sn= >0, 1- q
? ? ?1-q>0, ?1-q<0, 1-qn 即 >0(n=1,2,3,?),则有? ①或? n n ? ? 1-q 1 - q >0 1 - q <0 ? ?

②,由①得-1<q<1,由②得 q>1. 故 q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).

[答案]

(-1,0)∪(0,+∞)

总结————————————— ——————————规律·

四步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题 第一步: 确定需分类的目标与对象. 即确定需要分类的目标, 一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标. 第二步:根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理对 分类对象进行区分. 第三步:分类解决 “分目标”问题.对分类出来的 “ 分目 标”分别进行处理. 第四步:汇总“分目标”.将“分目标”问题进行汇总,并 作进一步处理.

1.设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线 C 的离心率等 于 1 3 A.2或2 1 C.2或 2 2 B.3或 2 2 3 D.3或2 (A )

1? a 2.若 log 2 a <0,则a的取值范围是(    C ) 1? a 1 A. ( , +?) B. (1, +?) 2 1 1 C. ( , 1) D. (0, ) 2 2
2

解析:因为2a的大小不确定,所以根据对数 运算的单调性知,需对其进行分类讨论.

1 解析: ?1? 当0<2a<1,即0<a< 时, 2 1 ? a2 1 ? a2 log 2 a <0 ? >1 ? a<0或a>1, 1? a 1? a 所以a ??; 1 ? 2 ? 当2a>1,即a> 时, 2 1 ? a2 1 ? a2 log 2 a <0 ? 0< <1 ? 0<a<1, 1? a 1? a 1 所以 <a<1.故选C. 2

考点2
[例 2]

由参数变化而引起的分类讨论
已知 a∈R,求函数 f(x)=x2|x-a|在区间[1,2]上的最小值.

[思维流程]

[解]

设函数 f(x)=x2|x-a|在区间[1,2]上的最小值为 m.

①当 a≤1 时, 在区间[1,2]上,f(x)=x3-ax2, 因为 f′(x)=3x
2

? 2 ? -2ax=3x?x-3a?>0,x∈(1,2), ? ?

则 f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以 m=f(1)=1-a. ②当 1<a≤2 时, 在区间[1,2]上,f(x)=x2|x-a|≥0, 由 f(a)=0,知 m=f(a)=0.

③当 a>2 时, 在区间[1,2]上,f(x)=ax2-x3, f′(x)=2ax-3x
2

?2 ? =3x?3a-x?. ? ?

若 a≥3,在区间(1,2)上,f′(x)>0,则 f(x)是区间[1,2]上的增函 数,所以 m=f(1)=a-1; 2 若 2<a<3,则 1<3a<2,
? 2 ? 2 当 1<x<3a 时,f′(x)>0,则 f(x)是区间?1,3a?上的增函数, ? ? ?2 ? 2 当3a<x<2 时,f′(x)<0,则 f(x)是区间?3a,2?上的减函数, ? ?

因此当 2<a<3 时,m=f(1)=a-1 或 m=f(2)=4(a-2). 7 当 2<a≤3时,4(a-2)≤a-1,故 m=f(2)=4(a-2), 7 当3<a<3 时,4(a-2)>a-1,故 m=f(1)=a-1. 1-a,a≤1, ? ? ?0,1<a≤2, ? 综上所述,函数的最小值 m=?4?a-2?,2<a≤7, 3 ? ? 7 a-1,a>3. ? ?

考点3

根据图形位置和分类讨论

? ?x≥0, ?y≥0, [例 3] (2013· 长沙模拟) 在约束条件? ?y+x≤s, ? ?y+2x≤4 3≤s≤5 时,z=3x+2y 的最大值的变化范围是 A.[6,15] C.[6,8] B.[7,15] D.[7,8]

下,当

(

D )

[思维流程]

[解析]

? ?x+y=s, 由? ? ?y+2x=4

? ?x=4-s, ?? ? ?y=2s-4,

取点 A(2,0),B(4-s,

2s-4),C(0,s),C′(0,4). (1)当 3≤s<4 时,可行域是四边形 OABC,如图(1)所示. 此时,7≤z<8.

图(1)

图(2)

(2)当 4≤s≤5 时,此时可行域是△OAC′,如图(2) 所示.zmax=8. 综上,z=3x+2y 最大值的变化范围是[7,8].

总结————————————— ——————————规律·
几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论 (1)二次函数对称轴的变化;(2)函数问题中区间的变化;(3)函 数图像形状的变化;(4)直线由斜率引起的位置变化;(5)圆锥曲线 由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化;(6)立体几何 中点、线、面的位置变化等.

3.抛物线 y2=4px(p>0)的焦点为 F,P 为其上的一点,O 为坐标原 点,若△OPF 为等腰三角形,则这样的 P 点的个数为 A.2 C.4 B.3 D.6 ( C )

解析:当|PO|=|PF|时,点 P 在线段 OF 的中垂线上,此时,点 P 的 位置有两个;当|OP|=|OF|时,点 P 的位置也有两个;对|FO|=|FP| 的情形, 点 P 不存在. 事实上, F(p,0), 若设 P(x, y), 则|FO|=p, |FP| = ?x-p?2+y2,若 ?x-p?2+y2=p,则有 x2-2px+y2=0,又∵ y2=4px,∴x2+2px=0,解得 x=0 或 x=-2p,当 x=0 时,不构成 三角形;当 x=-2p 时,与点 P 在抛物线上矛盾.所以符合要求的 P 点一共有 4 个.

4

已知点 A(-1,1),B(1,1),点 P 是直线 y=x-2 上一 点,当△PAB 是直角三角形时,求点 P 坐标及三角形 的面积.

解 可设 P(m,m-2). (1)当∠B=90° 时,kAB=0,由 PB⊥AB,可知 PB 的斜 率不存在. 故 PB 与 x 轴垂直, 从而 P(1, -1). 易得|AB| 1 =2,|PB|=2,则 S△PAB= |AB|· |PB|=2. 2 (2)当∠A=90° 时,仿(1)知 PA 与 x 轴垂直,得 P(-1, 1 -3).此时|AB|=2,|PA|=4,则 S△PAB= |AB|· |PA|=4. 2

m-3 m-3 (3)当∠P=90° 时,由 PA⊥PB,有 · =-1,化 m+1 m-1 简得 m2- 3m+4= 0.但 Δ=9- 16=-7<0,该方程无 解.因此点 P 不存在. 综上,当点 P 坐标为(1,-1)时,Rt△PAB 的面积为 2; 当点 P 坐标为(-1,-3)时,Rt△PAB 的面积为 4.

5.如图所示,矩形ABCD中,AB=1, BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1, 问BC边上是否存在点Q,使得PQ⊥QD

并说明理由.
解 设AQ=x(x>0),则AQ2=x2, QD2=QC2+CD2= (a ? x 2 ? 1) 2 ? 1. AD2=a2. 若PQ⊥QD则AQ⊥DQ 在Rt△AQD中,由勾股定理得:

x 2 ? (a ? x 2 ? 1) 2 ? 1 ? a 2 ,
即x4-a2x2+a2=0,令t=x2, 则t2-a2t+a2=0(*)且t>0,

∵a>0,

∴t1t2=a2>0,t1+t2=a2>0.
方程(*)的判别式Δ =a2(a2-4). (1)当Δ <0,即0<a<2时,方程(*)无正实根; (2)当Δ =0,即a=2时,方程(*)有两个相等的正实根 ; 根. (3)当Δ >0时,即a>2时,方程(*)有两个相异正实 综上所述,当0<a<2时,

BC边上不存在点Q使PQ⊥QD;

当a=2时,BC边上存在惟一的点Q(即BC的中点),使
PQ⊥QD; 当a>2时,BC边上存在点Q,使PQ⊥QD.

2 6.如图所示,有两个相同的直三棱柱,高为 ,底面三 a 角形的三边长分别为 3a 、 4a 、5a(a>0).用它们拼成 一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积 最小的是一个四棱柱,则 a 的取值范围是________.

答案

15 (0, ) 3

解析 先考查拼成三棱柱(如图(1)所示)全面积:

1 4 S1=2× ×4a×3a+(3a+4a+5a)× =12a2+48. 2 a 再考查拼成四棱柱(如图(2)所示)全面积: ①若 AC=5a,AB=4a,BC=3a,则该四棱柱的全面积 2 为 S2=2×4a×3a+2(3a+4a)× =24a2+28. a

②若 AC=4a,AB=3a,BC=5a,则该四棱柱的全面积 2 为 S2=2×4a×3a+2(3a+5a)× =24a2+32. a ③若 AC=3a,AB=5a,BC=4a,则该四棱柱的全面积 2 为 S2=2×4a×3a+2(4a+5a)× =24a2+36. a 又在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱, 15 2 2 2 从而知 24a +28<12a +48?12a <20?0<a< . 3 ? 15? ? ? 即 a 的取值范围是?0, ?. 3 ? ?


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