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2.2等差数列(二)


第二章 2.2

数列

等差数列

第二课时

复习
1、等差数列的定义 an?1 ? an ? d (d是常数). 2、等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d. 通项公式的证明及推广 an ? am ? (n ? m)d. 3、等差数列的中项

a ? b A? 2

例4

例5 已知三个数成等差数列,它们的和是12,
积是48,求这三个数.
解:设三个数为a-d,a,a+d,则
?(a ? d ) ? a ? (a ? d ) ? 12 ? ? (a ? d )a(a ? d ) ? 48

解之得 ? a ? 4 ? ?d ? ?2 故所求三数依次为2,4,6或6,4,2

例6 如图,三个正方形的边AB,BC,CD的长组成等 差数列,且AD=21cm,这三个正方形的面积之和是 179cm2. (1)求AB,BC,CD的长; 3,7,11
(2)以 AB,BC,CD的长为等差数列的前三项,以第 9项为边长的正方形的面积是多少? a9=35 S9=1225
A B C D

5、等差数列的通项及图象特征

思考: 已知数列的通项公式是an ? pn ? q (其中p,q是常数),那么这个数列 是否一定是等差数列?
取数列{an }中的任意相邻两项an ?1与a ( n n ? 2), an ? an ?1 ? ( pn ? q) ? [ p(n ? 1) ? q] ? pn ? q ? ( pn ? p ? q) ? p. 这是一个与n无关的常数,所以{an }是等差数列.

思考

反之:等差数列的通项公式可以表示 为an ? pn ? q吗?
则an ? pn ? q.
反之亦成立。 其图象为落在一条直线上的点。

a ? a ? ( n ? 1) d ? dn ? ( a ? d ), n 1 1 解析: 设p ? d,q ? a1 ? d ,

结论: 等差数列的通项公式是关于n的一次形式,

例如:
首项是1,公差是2的无穷等 差数列的通项公式为

an =2n-1
相应的图象是直线y=2x-1 上均匀排开的无穷多个孤 立的点,如右图

5、等差数列的性质 已知数列 { an }为等差数列,那么有

? ? ? p,n ? ? N )成等差数列,则 性质1:若 m,? p,n(m, am ,a p ,an 成等差数列.
*

证明:根据等差数列的定义, m, p, n 成等差数列,

? p ? m ? n ? p,

?(p ? m)d ? (n ? p)d.

?a p ? am ? an ? a p .
即 am ,a p ,an 成等差数列. 如 a1 ,a6 ,a11 成等差数列,a3 ,a6 ,a9 成等差数列. 推广:在等差数列有规律地取出若干项,所得新数列仍 然为等差数列。(如奇数项,项数是7的倍数的项)

* 性质2:设 m,?n,? p,q ? ?? N 若 m ? n ? p ? q, 则

am ? an ? a p ? aq ?.
? a m ? a n ? a p ? aq .

证明:am ? an ? a1 ? ( m ? 1)d ? a1 ? ( n ? 1)d ? 2a1 ? ( n ? m )d ? 2d , a p ? aq ? a1 ? ( p ? 1)d ? a1 ? (q ? 1)d ? 2a1 ? ( p ? q )d ? 2d ,

性质3:设 c, b 为常数,若数列 {an } 为等差数列,则数 列 {an ? b} 及 {c ? an ? b}为等差数列.

{bn } 性质4:设 p, q 为常数,若数列 {an }、 均为等差数列, 则数列 { p ? an ? q ? bn } 为等差数列.

例8

(1)已知等差数列{an}中, a3 +a15=30,求a9,

a7+a11
+ 7

a =150,求a2+a8的值 解:(1)∵a9是a3和a15的等差中项 a3 ? a15 30 ? ? 15 ∴ a9 ? 2 2 ∴ a7+a11 =a3 +a15=30 ∵7+11=3+15 ∴ a3+a7 =a4 +a6=2a5 (2)∵3+7=4+6=5+5 ∴ a3 +a4+a5 +a6 +a7=5a5=150
即a5=30 故a2+a8 =2a5=60

(2)已知等差数列{an}中, a3 +a4+a5 +a6

跟踪训练
(1)等差数列{an}中,a3 +a9+a15+a21=8,则a12 =

2

(2)已知等差数列{an}中, a3 和a15是方程x2-6x- 1=0的两个根,则a7 +a8 +a9+a10+a11= 15 2

(3)已知等差数列{an}中, a3 +a5= -14, 2a2+ a6 = -15,则a8= -19

思考:已知数列{an }是等差数列, 则数列{bn }为等差数列的是( A、bn ? an C、bn ? an
2

D)

B、bn ? an D、bn ? 1- an


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