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2015-2016学年高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示课时作业 新人教A版必修4


2015-2016 学年高中数学 2.3.4 平面向量共线的坐标表示课时作业 新人 A 教版必修 4
基础巩固 一、选择题 1.已知向量 a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果 c∥b,那么( A.k=1 且 c 与 d 同向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 [答案] D [解析] ∵c∥d,∴c=λ d,即 ka+b=λ (a-b),又 a,b 不共线,∴?
? ?λ =-1, ∴? ?k=-1. ? ?k=λ , ? ? ?1=-λ ,

)

B.k=1 且 c 与 d 反向 D.k=-1 且 c 与 d 反向

.∴c=-d,∴c 与 d 反向. )

2.(陕西高考文)已知向量 a=(1,m),b=(m,2),若 a∥b,则实数 m 等于( A.- 2 C.- 2或 2 [答案] C B. 2 D.0

[解析] 本题考查了向量的坐标运算,向量平行的坐标表示等.由 a∥b 知 1×2=m , 即 m= 2或 m=- 2. 3.(2015·北京西城高三第一学期期末)已知点 A(-1,1),点 B(2,y),向量 a=(1,2), → 若AB∥a,则实数 y 的值为( A.5 C.7 [答案] C → → [解析] AB=(3,y-1),又AB∥a, 所以(y-1)-2×3=0,解得 y=7. → → 4.(2015·新课标全国Ⅰ)已知点 A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC= ( ) A.(-7,-4) C.(-1,4) [答案] A
?x=-4, ? → [解析] 设 C(x, y), ∵A(0,1), AC=(-4, -3), ∴? ? ?y-1=-3,

2

) B.6 D.8

B.(7,4) D.(1,4)

解得?

?x=-4, ? ? ?y=-2, 1

→ ∴C(-4,-2),又 B(3,2),∴BC=(-7,-4),选 A. 5.已知向量 a=(1,3),b=(2,1),若 a+2b 与 3a+λ b 平行,则 λ 的值等于( A.-6 C.2 [答案] B [解析] a+2b=(5,5),3a+λ b=(3+2λ ,9+λ ), 由条件知,5×(9+λ )-5×(3+2λ )=0, ∴λ =6. 6.(2015·济南模拟)若 a=(1,2),b=(-3,0),(2a+b)∥(a-mb),则 m=( 1 A.- 2 C.2 [答案] A [解析] 2a+b=2(1,2)+(-3,0)=(-1,4), 1 B. 2 D.-2 ) B.6 D.-2 )

a-mb=(1,2)-m(-3,0)=(1+3m,2)
∵(2a+b)∥(a-mb) ∴-1=(1+3m)×2 1 ∴6m=-3,解得 m=- 2 二、填空题 7.(2015·北京东城区模拟)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若 λ 为实数, (a+λ b)∥c,则 λ 的值为________. [答案] 1 2

[解析] a+λ b=(1,2)+λ (1,0)=(1+λ ,2) ∵(a+λ b)∥c, 1 ∴4(1+λ )-3×2=0,∴λ = . 2 8.已知向量 a=(1,2),b=(-2,3).若 λ a+ub 与 a+b 共线,则 λ 与 u 的关系为 ________. [答案] λ =u [解析] ∵a=(1,2),b=(-2,3), ∴a+b=(1,2)+(-2,3)=(-1,5), λ a+ub=λ (1,2)+u(-2,3)=(λ -2u,2λ +3u). 又∵(λ a+ub)∥(a+b),
2

∴(-1)×(2λ +3u)-5(λ -2u)=0.∴λ =u. 三、解答题 → → → 9.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(-k,10),且 A、B、C 三点共线,求 k 的值. → → → → [解析] ∵AB=(4-k,-7),BC=(-k-4,5),因 A、B、C 三点共线,即AB∥BC, 2 ∴7(k+4)-5(4-k)=0,∴k=- . 3 → → 10.已知 A(3,5),B(6,9),且|AM|=3|MB|,M 是直线 AB 上一点,求点 M 的坐标. → → [解析] 设点 M 的坐标为(x,y),由于|AM|=3|MB|, → → → → 则AM=3MB或AM=-3MB. → → 由题意,得AM=(x-3,y-5),MB=(6-x,9-y). → → 当AM=3MB时, (x-3,y-5)=3(6-x,9-y), ∴?
?x-3=3?6-x?, ? ? ?y-5=3?9-y?,

21 解得 x= ,y=8. 4

→ → 当AM=-3MB时,(x-3,y-5)=-3(6-x,9-y), ∴?
? ?x-3=-3?6-x?, ?y-5=-3?9-y?, ?

15 解得 x= ,y=11. 2

∴点 M 的坐标是?

?21,8?或?15,11?. ? ?2 ? ?4 ? ? ?
能力提升

一、选择题 1.已知向量 a=(-2,4),b=(3,-6),则 a 和 b 的关系是( A.共线且方向相同 C.是相反向量 [答案] B 2 2 [解析] 因为 a=(-2,4),b=(3,-6),所以 a=- b,由于 λ =- <0,故 a 和 b 3 3 共线且方向相反. 3 1 2. (2015·福州高一检测)设 a=( , sinα ), b=(cosα ,), 且 a∥b, 则锐角 α 为( 2 3 A.30° C.75° [答案] D
3

)

B.共线且方向相反 D.不共线

)

B.60° D.45°

[解析]

3 1 × =sinα cosα ,sin2α =1,2α =90°,α =45°. 2 3

3.(重庆高考文)已知向量 a=(1,1),b=(2,x),若 a+b 与 4b-2a 平行,则实数 x 的值是( A.-2 C.1 [答案] D [思路点拨] 分别求出 a+b,4b-2a,将向量共线的条件转化为坐标运算,从而求出 x 的值. [解析] 因为 a=(1,1),b=(2,x),所以 a+b=(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2),由 于 a+b 与 4b-2a 平行,得 6(x+1)-3(4x-2)=0,解得 x=2. 4. 已知向量集合 M={a|a=(1,2)+λ (3,4), λ ∈R}, N={a|a=(-2, -2)+μ (4,5), μ ∈R},则 M∩N=( A.{(1,1)} C.{(-2,-2)} [答案] C [解析] 设 a∈M∩N,则存在实数 λ 和中 μ , 使得(1,2)+λ (3,4)=(-2,-2)+μ (4,5),即(3,4)=(4μ -3λ ,5μ -4λ ).
? ?4μ -3λ =3 ∴? ? ?5μ -4λ =4, ? ?λ =-1, 解得? ? ?μ =0,

) B.0 D.2

) B.{(1,2),(-2,-2)} D.?

∴a=(-2,-2). 二、填空题 5.(北京高考)已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k, 3).若 a-2b 与 c 共线, 则 k=________. [答案] 1 [解析] a-2b=( 3,3).因为 a-2b 与 c 共线, 所以

k
3



3 ,解得 k=1. 3

2 → → 6.已知点 P1(2,-1),点 P2(-1,3),点 P 在线段 P1P2 上,且|P1P|= |PP2|,则求点 P 3 的坐标为________. 4 3 [答案] ( , ) 5 4 [解析] 设点 P 的坐标为(x,y),

4

→ 2→ 由于点 P 在线段 P1P2 上,则有P1P= PP2, 3 → → 又P1P=(x-2,y+1),PP2=(-1-x,3-y), 2 ? ?x-2=3?-1-x?, 由题意得? 2 ? ?y+1=3?3-y?, 4 ? ?x=5, 解得? 3 ? ?y=5,

?4 3? ∴点 P 的坐标为? , ?. ?5 5?
三、解答题 7.平面内给定三个向量:a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求 3a+b-2c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m 和 n; (3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k. [解析] (1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1 -8,6+2-2)=(0,6). (2)∵a=mb+nc,m,n∈R, ∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n). 5 m= , ? ? 9 解得? 8 n= . ? ? 9

?-m+4n=3, ? ∴? ? ?2m+n=2.

5 8 ∴m= ,n= . 9 9 (3)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2). 又∵(a+kc)∥(2b-a), ∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0. 16 ∴k=- . 13 → 1→ → 1→ 8.已知 A、B、C 三点的坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2),并且AE= AC,BF= BC. 3 3 (1)求 E,F 的坐标; → → (2)判断EF与AB是否共线. [解析] (1)设 E(x1,y1)、F(x2,y2), → → 依题意得AC=(2,2),BC=(-2,3).
5

1 → 1→ 由AE= AC可知(x1+1,y1)= (2,2), 3 3 2 ? ?x +1=3 即? 2 ?y =3 ?
1 1

1 ? ?x =-3 ,解得? 2 ?y =3 ?
1 1

1 2 ,∴E(- , ). 3 3

→ 1→ 由BF= BC可知 3 1 (x2-3,y2+1)= (-2,3). 3 2 ? ?x2-3=- 3 ∴? ? ?y2+1=1 7 ∴F( ,0), 3 1 2 7 即 E 点的坐标为(- , ),F 点的坐标为( ,0). 3 3 3 7 1 2 8 2 → → → (2)由(1)可知EF=OF-OE=( ,0)-(- , )=( ,- ),(O 为坐标原点), 3 3 3 3 3 → 又AB=(4,-1), 2→ → 2 ∴EF= (4,-1)= AB, 3 3 → → 即EF与AB共线. 7 ? ?x2= , 3 ,解得? ? ?y2=0.

6


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