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立体几何中的向量方法导学案4--空间距离的求法


立体几何中的向量方法导学案 4---空间距离的求法
1.已知 a ? ??,A ? ??,点 A 到平面??的距离为 m,点 A 到直线 a 的距离为 n,则( ) (A)m≥n (B)m>n (C)m≤n (D)m<n 2.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,M 是棱 A1A 的中点,O 是 BD1 的中点,则 MO 的 长为( ) (A)

3 3

(B)

2 2

(C) 2

(D)

6 3

3.矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,PA⊥平面 ABCD,PA=1,则 P 到矩形对角线 BD 的距 离( ) (A)

13 5

(B)

17 5

(C)

1 29 2

(D)

1 129 5

4.已知直线 a∥平面??,且 a 与平面??的距离为 d,那么到直线 a 的距离与到平面??的距离 都等于 d 的点的集合是( ) (A)一条直线 (B)三条平行直线 (C)两条平行直线 (D)两个平面 5.棱长为 4 的正方体内一点 P,它到共顶点的三个面的距离分别为 1,1,3,则点 P 到正 方体中心 O 的距离为______. 6.线段 AB 在平面??外,A,B 两点到平面??的距离分别为 1 和 3,则线段 AB 的中点 C 到 平面??的距离为______. 7.二面角??-l-??为 60°,点 A∈??,且点 A 到平面??的距离为 3,则点 A 到棱 l 的距离为 8.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,则直线 BC 到平面 AB1C1 的距离为______. 9.如图,正方体的棱长为 1,C,D 分别是两条棱的中点,A,B,M 是顶点,那么点 M 到 截面 ABCD 的距离是______.

10.正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,BB1=4,点 E,F 分别是 CC1,A1D1 的中点. (1)求 EF 的长; (2)求点 A 到直线 EF 的距离.

11.正四棱锥 S-ABCD 的所有棱长均为 2,E,F,G 分别为棱 AB,AD,SB 的中点. (1)求证:BD∥平面 EFG,并求出直线 BD 到平面 EFG 的距离; (2)求点 C 到平面 EFG 的距离.

12.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=1,AB=2,BB1=3. 求两个平行平面 AB1D1 与平面 BDC1 之间的距离.

13.如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中 AEC1F 为平行四边形且 AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1. (1)求 BF 的长; (2)求点 C 到平面 AEC1F 的距离.

14. 如图,△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD⊥平面 BCD,AB⊥平面 BCD,AB=2 3. 的正弦值. (1)求点 A 到平面 MBC 的距离; (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角

立体几何中的向量方法练习 4---距离
1.C 2.B 3.A 4.C 5. 3 以共顶点的三条棱为坐标轴建立空间直角坐标系,可得点 P 的坐标为(1,1,3),

中心 O 的坐标为(2,2,2),所以 PO ? (1,1,?1),| PO |? 3 . 6.1 或 2 分 A,B 两点在平面??同侧和异侧两种情况讨论. 7. 2 3 8. 9.

2 a 2 2 3
如图,建立空间直角坐标系,可得 AM =(0,1,0),平面 ABCD 的法向量为 m=(-

2,2,-1),

d?

| AM ? m | 2 ? . |m| 3

10.解:如图,建立空间直角坐标系 D-xyz,

则 A(2,0,0),E(0,2,2),F(1,0,4).

EF =(0,-2,2),所以 | EF |? 12 ? 22 ? (?2) 2 ? 3 .

AF ? (?1, 0, 4), | cos ? AF, EF ?|?

7 . 3 17

所以 sin ? AF ? EF ??

2 26 , 3 17

d ?| AF | sin ? AF, EF ?|?

2 2 26 26 . ,即点 A 到直线 EF 的距离为 3 3 17

11.解:(1)因为 E,F 分别为棱 AB,AD 的中点,所以 EF∥BD.又 EF ? 平面 EFG,BD ? 平面 EFG,所以 BD∥平面 EFG. 如图建立空间直角坐标系,

则 A( 2 ,0,0),B(0, 2 ,0),D(0,- 2 ,0),

S(0,0, 2 ),E(

2 2 2 2 , ,0),F( ,- ,0), 2 2 2 2

G(0,

2 2 , ). 2 2
2 2 ,0, ), 2 2

设平面 EFG 的法向量为 m=(x, z), y, EF ? (0,? 2 ,0), EC ? (? 可得 m=(1,0,1),

EB ? (?

2 2 | EB ? m | 1 , ,0) ,所以点 B 到平面 EFG 的距离为 d ? ? . 2 2 |m| 2

即直线 BD 到平面 EFG 的距离 (2) EC ? (?

1 . 2

3 2 2 | EC ? m | 3 ,? ,0), d ? ? . 2 2 |m| 2

12.如图,建立空间直角坐标系 D-xyz,则 A(1,0,0),B(1,2,0),B1(1,2,3),D1(0, 0, C1(0, 3), 3), 2, 设平面 AB1D1 与平面 BDC1 的一个法向量为 m=(x, z),AD (- y, 1 1,0,3), DB1 =(1,2,0).

?? x ? 3z ? 0 ,设 x=6,则 y=-3,z=2, ? ?x ? 2 y ? 0
所以 m=(6,-3,2). 平面 AB1D1 与平面 BDC1 之间的距离等于点到 B 平面 AB1D1 的距离, AB =(0,2,0),

所以 d ?

6 | AB ? m | 6 ? .平面 AB1D1 与平面 BDC1 之间的距离等于 . 7 |m| 7

13.解:(1)如图,建立空间直角坐标系 D-xyz,

则 D(0,0,0),B(2,4,0), A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3). 设,F(0,0,z). ∵AEC1F 为平行四边形, ∴ AF ? EC1 ,(-2,0,z)=(-2,0,2) ∴z=2.∴F(0,0,2).∴ BF =(-2,4,2), | BF |? 2 6 . (2)设 n1 为平面 AEC1F 的法向量,显然 n1 不垂直于平面 ADF, 所以设 n1=(x,y,z). 由?

?n1 ? AE ? 0 ? ?n1 ? AF ? 0 ?

,得 ?

?4 y ? z ? 0, , 设 y=1,则 x=-4,z=-4, ?? 2 x ? 2 x ? 0
4 33 | CC1 ? n1 | 4 33 ∴C 到平面 AEC1F 的距离为 . ? 11 | n1 | 11

∴n1=(-4,1,-4). 又 CC 1 ? (0,0,3), d ?

14. 解 取 CD 中点 O,连 OB,OM,则 OB⊥CD,OM⊥CD. 又平面 MCD⊥平面 BCD,则 MO⊥平面 BCD. 取 O 为原点,直线 OC、BO、OM 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图. OB=OM= 3, 则各点坐标分别为 C(1,0,0), M(0,0, 3), B(0, - 3, A(0, 3, 3). 0), - 2 → (1)设 n=(x,y,z)是平面 MBC 的法向量,则BC=(1, 3,0),

→ BM=(0, 3, 3), → → 由 n⊥BC得 x+ 3y=0;由 n⊥BM得 3y+ 3z=0. → 取 n=( 3,-1,1),BA=(0,0,2 3),则 → |BA· 2 3 2 15 n| d= = = . |n| 5 5 → → (2)CM=(-1,0, 3),CA=(-1,- 3,2 3). 设平面 ACM 的法向量为 n1=(x,y,z), → → ?-x+ 3z=0, 由 n1⊥CM,n1⊥CA得? ?-x- 3y+2 3z=0, 解得 x= 3z,y=z,取 n1=( 3,1,1). 又平面 BCD 的法向量为 n2=(0,0,1). 1 n1·2 n 所以 cos〈n1,n2〉= = . |n1||n2| 5 2 5 设所求二面角为 θ,则 sin θ= . 5


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