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2016年--2017年高考新课标1理科数学试题详细解答(Word版)


绝密★启封并使用完毕前 试题类型:A

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. (1)设集合 A ? {x | x2 ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? {x | 2 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B ? (A) ( ?3, ? ) (B) ( ?3, ) (C) (1, ) (D) ( ,3)
? 【解析】 A ? x x2 ? 4 x ? 3 ? 0 ? ?x 1 ? x ? 3?, B ? ? x 2 x ? 3 ? 0? ? ? x x ? ? ? 3 ? ? A I B ? ? x ? x ? 3? . 故选 D. ? 2 ?

3 2

3 2

3 2

3 2

?

?

3? ?. 2?

(2)设 (1 ? i) x ? 1 ? yi ,其中 x,y 是实数,则 x ? yi = (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2 【解析】
?x ? 1 ?x ? 1 由 ?1 ? i ? x ? 1 ? yi 可知: x ? xi ? 1 ? yi ,故 ? ,解得: ? . ?y ?1 ?x ? y

所以, x ? yi ? x2 ? y2 ? 2 .故选 B. (3)已知等差数列 {an } 前 9 项的和为 27, a10 =8 ,则 a100 = (A)100(B)99(C)98(D)97 9 ? a1 ? a9 ? 9 ? 2a5 ? ? 9a5 ? 27, 故 a5 ? 3, 【解析】由等差数列性质可知: S9 ? 2 2 a ? a5 而 a10 ? 8, 因此公差 d ? 10 ? 1. 10 ? 5 ∴ a100 ? a10 ? 90d ? 98. .故选 C. (4)某公司的班车在 7:00,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发 车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 (A) (B) (C) (D) 【解析】 如图所示,画出时间轴:

7:30

7:40

7:50 A

8:00 C

8:10

8:20 D

8:30 B
20 1 ? ,故选 B. 40 2

小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中,而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时, 才能保证他等车的时间不超过 10 分钟. 根据几何概型,所求概率为

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值范围是 m2 ? n 3m2 ? n (A) (?1,3) (B) (?1, 3) (C) (0,3) (D) (0, 3)
(5)已知方程 【解析】
x2 y2 ? 2 ? 1 表示双曲线,则 m2 ? n 3m2 ? n ? 0, m ? n 3m ? n ∴??m2 ? n ? 3m2 .
2

?

??

?

由双曲线性质知: c2 ? m2 ? n ? 3m2 ? n ? 4m2 , ,其中 c 是半焦距 ∴焦距 2c ? 2 ? 2 m ? 4 ,解得 m ? 1. ∴ ?1 ? n ? 3. 故选 A. 6 ( )如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积 是

?

? ?

?

28? , 则它的表面积是 3

(A)17π (B)18π 【解析】原立体图如图所示: 1 是一个球被切掉左上角的 后的三视图 8 7 表面积是 的球面面积和三个扇形面积之和 8 7 1 S = ? 4? ? 22 +3 ? ? ? 22 =17? . 故选 A. 8 4

(C)20π

(D)28π

(7)函数 y ? 2 x 2 ? e| x| 在 [?2, 2] 的图像大致为

(A) (B) 2 2 【解析】 f ? 2? ? 8 ? e ? 8 ? 2.8 ? 0 ,排除 A

(C)

(D)

f ? 2? ? 8 ? e2 ? 8 ? 2.72 ? 1 ,排除 B
x ? 0 时, f ? x ? ? 2x2 ? e x

1 ? 1? f ? ? x ? ? 4x ? e x ,当 x ? ? 0, ? 时, f ? ? x ? ? ? 4 ? e0 ? 0. 4 ? 4? ? 1? 因此 f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递减,排除 C ? 4? 故选 D.

0 ? c ? 1 ,则 (8)若 a ? b ? 1,
(A) a c ? b c (B) abc ? bac (C) a logb c ? b loga c 【解析】
c

(D) loga c ? logb c

对 A:由于 0 ? c ? 1 ,∴函数 y ? x 在 R 上单调递增,因此 a ? b ? 1 ? ac ? bc ,A 错误

对 B: 由于 ?1 ? c ? 1 ? 0 ,∴函数 y ? xc ?1 在 ?1, ?? ? 上单调递减, ∴ a ? b ? 1 ? ac ?1 ? bc ?1 ? bac ? abc ,B 错误 a ln c b ln c ln c ln c 对 C: 要比较 a logb c 和 b log a c ,只需比较 和 ,只需比较 和 , ln a b ln b a ln a ln b 只需比较 b ln b 和 a ln a 构造函数 f ? x ? ? x ln x ? x ? 1? ,则 f ' ? x ? ? ln x ? 1 ? 1 ? 0 , f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增, 因此 f ? a ? ? f ? b ? ? 0 ? a ln a ? b ln b ? 0 ? 又由 0 ? c ? 1 得 ln c ? 0 ,∴

1 1 ? a ln a b ln b

ln c ln c ? ? b loga c ? a logb c ,C 正确 a ln a b ln b ln c ln c 对 D: 要比较 log a c 和 log b c ,只需比较 和 ln a ln b 1 1 而函数 y ? ln x 在 ?1, ?? ? 上单调递增,故 a ? b ? 1 ? ln a ? ln b ? 0 ? ? ln a ln b ln c ln c 又由 0 ? c ? 1 得 ln c ? 0 ,∴ ? ? loga c ? logb c ,D 错误. 故选 C. ln a ln b

,n ? 1 ,则输 (9)执行右面的程序图,如果输入的 x ? 0,y ? 1
出 x,y 的值满足 (A) y ? 2 x (B) y ? 3x (C) y ? 4 x (D) y ? 5 x

【解析】如下表: 循环节运 行次数 运行前 第一次 第二次 第三次 输出 x ?
n ?1? ? x? x ? x ? ? 2 ? ? 0 0 1 2 3 2

y ? y ? ny ?

判断 x ? y 2 ? 36
2

是否 输出 / 否 否 是

n ? n ? n ? 1?

1 1 2
6

/ 否 否 是

1 2
3

3 , y ? 6 ,满足 y ? 4 x. 故选 C. 2 B 两点, E 两点.已知|AB|= 4 2 , (10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、 |DE|= 交 C 的标准线于 D、 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【解析】 以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理 设抛物线为 y2 ? 2 px ? p ? 0? ,设圆的方程为 x2 ? y 2 ? r 2 ,题目条件翻译如图:

? ? 点 A ? x , 2 2 ? 在抛物线 y
0

? p ? 设 A x0 , 2 2 , D ? ? , 5 ? ? 2 ?
2

? 2 px 上,∴ 8 ? 2 px0 ??①
2

? p ? ? p? 点 D ? ? , 5 ? 在圆 x2 ? y 2 ? r 2 上,∴ 5 ? ? ? ? r 2 ??② ? 2 ? ?2?
2 点 A x0 , 2 2 在圆 x2 ? y 2 ? r 2 上,∴ x0 ? 8 ? r 2 ??③

?

?

F

联立①②③解得: p ? 4 ,焦点到准线的距离为 p ? 4 . 故选 B. a//平面 CB1D1, (11)平面 a 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A, a ?平面 ABCD=m, a ?平面 ABA1B1=n,则 m、n 所成角的 正弦值为 (A)

3 2 (B) 2 2

(C)

3 3

(D)

1 3

【解析】如图所示: ∵ ? ∥ 平面 CB1 D1 , ∴若设平面 CB1 D1 I 平面 ABCD ? m1 , 则 m1∥m 又∵平面 ABCD ∥平面 A1 B1C1 D1 ,结合平面 B1 D1C I 平 面 A1 B1C1 D1 ? B1 D1 ∴ B1 D1∥m1 ,故 B1 D1∥m 同理可得: CD1∥n 故 m、n 的所成角的大小与 B1 D1、CD1 所成角的大小相 等,即 ?CD1 B1 的大小. 而 B1C ? B1 D1 ? CD(均为面对交线) , 因此 ?CD1 B1 ? 1 即 sin ?CD1 B1 ? 故选 A.
3 . 2

D α A B

C

D1 A1 B1

C1

?
3



? ? 12.已知函数 f ( x) ? sin(? x+ ? )(? ? 0,
称轴,且 f ( x ) 在 ?

?
2

), x ? ?

?
4

为 f ( x ) 的零点,x ?

?
4

为 y ? f ( x) 图像的对

? ? 5? ? , ? 单调,则 ? 的最大值为 ? 18 36 ?

(A)11 (B)9 (C)7 (D)5 【解析】 由题意知: ? π ? ? +? ? k1 π ? ? 4 则 ? ? 2 k ? 1 ,其中 k ? Z ? ? π ? +? ? k π+ π 2 ? ?4 2 5? ? π T ? π 5π ? Q f ( x) 在 ? , ? 单调,? ? ? ? , ? ? 12 18 36 36 18 12 2 ? ? 接下来用排除法 π? π ? ? π 3π ? ? 3π 5 π ? 若 ? ? 11,? ? ? ,此时 f ( x) ? sin ?11x ? ? ,在 ? , ? 递增,在 ? , ? 递减,不满足 f ( x) 在 4? 4 ? ? 18 44 ? ? 44 36 ?
? π 5π ? ? , ? 单调 ? 18 36 ?

π? π ? ? π 5π ? ,此时 f ( x) ? sin ? 9 x ? ? ,满足 f ( x) 在 ? , ? 单调递减. 故选 B. 4? 4 ? ? 18 36 ? 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 .第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答 .第(22)题~ 第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 (13)设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则 m=. r r 【解析】 由已知得: a ? b ? ? m ? 1,3? r r2 r2 r2 2 ∴ a ? b ? a ? b ? ? m ? 1? ? 32 ? m2 ? 12 ? 12 ? 22 ,解得 m ? ?2 .

若 ? ? 9,? ?

(14) (2 x ?

3 x )5 的展开式中,x 的系数是.(用数字填写答案)

【解析】设展开式的第 k ? 1 项为 Tk ?1 , k ??0,1,2,3,4,5?
k ∴ Tk ?1 ? C5 ? 2x ? 5? k

? x?

k

k 5? k ? C5 2 x

5?

k 2


4

5? k 4 5? 4 2 x 2 ? 10 x3 ? 3 时, k ? 4 ,即 T5 ? C5 2 故答案为 10. (15)设等比数列 满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2 ?an 的最大值为。 【解析】由于 ?an ? 是等比数列,设 an ? a1qn?1 ,其中 a1 是首项, q 是公比. ?a1 ? 8 2 ?a1 ? a3 ? 10 ? ? ?a1 ? a1q ? 10 ?? ∴? ,解得: ? 1. 3 q? ?a1q ? a1q ? 5 ?a2 ? a4 ? 5 ? ? ? 2

当5?

?1? 故 an ? ? ? ?2?

n?4

,∴ a1 ? a2 ? ... ? an ? ? 1 ? ? ? ?2?

? ?3? ? ? ?2 ? ?...? ? n ? 4 ?

?1? ?? ? ?2?

1 n? n ? 7 ? 2

?1? ?? ? ?2?
?

2 1 ?? 7 ? 49 ? ?? n ? ? ? ? 2? 2 4? ? ?? ?

1 ? 7? 2 ?? n ? ? 1 ?? 7 ? 49 ? 2 ?? 2 ? 1 ? ? n ? ? 当 n ? 3 或 4 时, ?? ? 取到最小值 ?6 ,此时 ? ? ? ? 2? 2? 4? ?? ? ?2?

2

?

49 ? ? 4? ?

取到最大值 2 6 .

所以 a1 ? a2 ? ... ? an 的最大值为 64. (16) 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、 乙两种新型材料。 生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg, 乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时,生产一件产 品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元。该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则 在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元。 【解析】设生产 A 产品 x 件,B 产品 y 件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,构造线 性规则约束为 ?1.5 x ? 0.5 y ≤ 150 ? ? x ? 0.3 y ≤ 90 ?5 x ? 3 y ≤ 600 ? ? ?x ≥ 0 ?y≥0 ? ?x ? N * ? * ? ?y? N 目标函数 z ? 2100 x ? 900 y 作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为 (60,100),(0, 200),(0,0),(90,0). 在 (60,100) 处取得最大值,且最大值为 z ? 2100 ? 60 ? 900 ? 100 ? 216000

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本题满分为 12 分) V ABC 的内角 A,B,C 的对边分别别为 a,b,c,已知 2cos C (a cos B+b cos A) ? c. (I)求 C; (II)若 c ? 7,? ABC 的面积为

【解析】 .⑴ 2cos C ? a cos B ? b cos A? ? c

3 3 ,求 V ABC 的周长. 2

由正弦定理得: 2cos C ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A? ? sin C

2cos C ? sin ? A ? B ? ? sin C
∵ A ? B ? C ? π , A 、B 、C ? ? 0 ,π ? ∴ sin ? A ? B ? ? sin C ? 0

1 2 π ∵ C ? ? 0 ,π ? , ∴ C ? . 3
∴ 2cos C ? 1,cos C ? . ⑵ 由余弦定理得: c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? cos C 1 7 ? a2 ? b2 ? 2ab ? 2 2 ? a ? b? ? 3ab ? 7
S? 1 3 3 3 ab ? sin C ? ab ? 2 4 2
2

∴ ab ? 6, ∴ ? a ? b? ? 18 ? 7 ? a ? b ? 5. 故 △ ABC 周长为 a ? b ? c ? 5 ? 7. (18) (本题满分为 12 分) 如图,在已 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD, ?AFD ? 90? , 且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60? . (I)证明平面 ABEF ? EFDC; (II)求二面角 E-BC-A 的余弦值. 【解析】⑴ ∵ ABEF 为正方形,∴ AF ? EF ∵ ?AFD ? 90? ,∴ AF ? DF ∵ DF I EF =F , ∴ AF ? 平 面 EFDC , AF ? 平 面 ABEF 故平面 ABEF ? 平面 EFDC ⑵ 由⑴知 ?DFE ? ?CEF ? 60?, ∵ AB ∥ EF , , AB ? 平 面 EFDC , EF ? 平 面 EFDC ∴ AB ∥平面 EFDC , ∵平面 ABCD I 平面 EFDC ? CD ∴ AB ∥ CD, CD ∥ EF . ∴四边形 EFDC 为等腰梯形 以 E 为原点,如图建立坐标系,设 FD ? a ,则

E ?0 , 0, 0? , B ? 0 , 2a , 0?

?a 3 ? C? 0, a? , A ? 2a , 2a , 0? ?2, 2 ? ? ? uur uuu r ?a 3 ? EB ? ? 0 , 2a , 0 ? , BC ? ? , ? 2 a , a? ?2 2 ? ? ?





u r 设面 BEC 法向量为 m ? ? x ,y ,z ? . u r uur ?2a ? y1 ? 0 ? m ? EB ? 0 ? ? ,即 ? a , r uuu r ?u 3 a ? z1 ? 0 ? ? ? x1 ? 2ay1 ? ? m ? BC ? 0 ?2 2 u r x1 ? 3 ,y1 ? 0 ,z1 ? ?1, ? m ? 3 ,0 ,? 1 . r 设面 ABC 法向量为 n ? ? x2 ,y2 ,z2 ? , r uuu r ?a 3 ? ? n ? BC =0 az2 ? 0 ? x ? 2ay2 ? .即 ? 2 2 r ? r uuu 2 ? ?2ax ? 0 ? n ? AB ? 0 ? 2 r x2 ? 0 ,y2 ? 3 ,z2 ? 4, ? n ? 0 , 3 ,4 .

uu u r AB ? ? ?2a , 0, 0? ,

?

?

?

?

设二面角 E ? BC ? A 的大小为 ? . u r r m?n ?4 2 19 cos ? ? u ?? . r r ? 19 3 ? 1 ? 3 ? 16 m?n 故二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 ?
2 19 . 19

(19) (本小题满分 12 分) 某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额 外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决 策在购买机器时应同时购买几个易损零件, 为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易 损零件数,得下面柱状图: 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机 器更换的易损零件数发生的概率,记 X 表示 2 台机器三 年内共需更换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时 购买的易损零件数. (I)求 X 的分布列; (II)若要求 P( X ? n) ? 0.5 ,确定 n 的最小值; (III) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据, 在 n ? 19 与 n ? 20 之中选其一,应选用哪个? 【解析】⑴ 每台机器更换的易损零件数为 8,9,10,11 记 事 件 Ai 为 第 一 台 机 器 3 年 内 换 掉 i ? 7 个 零 件

?i ? 1,2,3,4?

?i ? 1,2,3,4?

记 事 件 Bi 为 第 二 台 机 器 3 年 内 换 掉 i ? 7 个 零 件 由题知 P ? A1 ? ? P ? A3 ? ? P ? A4 ? ? P ? B1 ? ? P ? B3 ? ? P ? B4 ? ? 0.2 , P ? A2 ? ? P ? B2 ? ? 0.4

设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 X ,则 X 的可能的取值为 16,17,18,19,20,21,22 P ? X ? 16? ? P ? A1 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04

P ? X ? 19? ? P ? A1 ? P ? B4 ? ? P ? A2 ? P ? B3 ? ? P ? A3 ? P ? B2 ? ? P ? A4 ? P ? B1 ?
? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.24

P ? X ? 18? ? P ? A1 ? P ? B3 ? ? P ? A2 ? P ? B2 ? ? P ? A3 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.24

P ? X ? 17 ? ? P ? A1 ? P ? B2 ? ? P ? A2 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.16

P ? x ? 22? ? P ? A4 ? P ? B4 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04

P ? x ? 21? ? P ? A3 ? P ? B4 ? ? P ? A4 ? P ? B3 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.08

P ? X ? 20? ? P ? A2 ? P ? B4 ? ? P ? A3 ? P ? B3 ? ? P ? A4 ? P ? B2 ? ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2

X P

16 0.04

17 0.16

18 0.24

19 0.24

20 0.2

21 0.08

22 0.04

⑵ 要令 P ? x ≤ n ? ≥ 0.5 , Q 0.04 ? 0.16 ? 0.24 ? 0.5 , 0.04 ? 0.16 ? 0.24 ? 0.24 ≥ 0.5 则 n 的最小值为 19 ⑶ 购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备件不足时额 外购买的费用 当 n ? 19 时,费用的期望为 19 ? 200 ? 500 ? 0.2 ? 1000 ? 0.08 ? 1500 ? 0.04 ? 4040 当 n ? 20 时,费用的期望为 20 ? 200 ? 500 ? 0.08 ? 1000 ? 0.04 ? 4080 所以应选用 n ? 19. 20. (本小题满分 12 分) 设圆 x2 ? y 2 ? 2x ?15 ? 0 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点, 过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (I)证明 EA ? EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (II) 设点 E 的轨迹为曲线 C1, 直线 l 交 C1 于 M,N 两点, 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点, 求四边形 MPNQ 面积的取值范围. 2 【解析】⑴ 圆 A 整理为 ? x ? 1? ? y2 ? 16 ,A 坐标 ? ?1,0? ,如图,
5

y

Q BE∥AC ,则 ∠C ? ∠EBD ,由 AC ? AD, 则 ∠D ? ∠C. ?∠EBD ? ∠D, 则 EB ? ED.
? AE ? EB ? AE ? ED ? AD ? 4.

4

3

x2 y 2 所以 E 的轨迹为一个椭圆,方程为 ? ? 1 ,( y ? 0 ); 4 3 x2 y 2 ? 1 ;设 l : x ? my ? 1 , ⑵ C1 : ? 4 3 因为 PQ⊥l ,设 PQ : y ? ?m ? x ? 1? ,联立 l 与椭圆 C1
14 12 10 8

2

C
x

1

A
6 4 2

B
1

2

4

E

2

? x ? my ? 1 ? 2 2 2 得 3m ? 4 y ? 6my ? 9 ? 0 ; ?x y2 ? ? 1 ? 3 ?4

3

?

?

D
4

则 | MN |? 1 ? m2 | y ? y |? 1 ? m2 M N 圆心 A 到 PQ 距离 d ?
| ?m ? ?1 ? 1? | 1 ? m2 ?

36m2 ? 36 ? 3m2 ? 4 ? 3m2 ? 4
| 2m | 1 ? m2

?

12 ? m2 ? 1? 3m2 ? 4


y
5



P

4

所以 | PQ |? 2 | AQ |2 ?d 2 ? 2 16 ?

? SMPNQ

2 1 1 12 ? m ? 1? 4 3m2 ? 4 ? | MN | ? | PQ |? ? ? 2 2 3m2 ? 4 1 ? m2
12 10

4m2 4 3m2 ? 4 ? , 2 1? m 1 ? m2
A
8 6 4 2

3

2

1

N
x

B
1

2

4

?

24 m ? 1
2

3m2 ? 4

? 24 3?

1 1 m ?1
2

?? ?12,8 3

?

M

Q
2 3

故四边形 MPNQ 面积的取值范围为 ? ?12,8 3 .

?

4

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 = ? + ( ? )有两个零点. (I)求 a 的取值范围; (II)设 x1,x2 是()的两个零点,证明:+x2<2.

【解析】⑴ 由已知得: f ' ? x ? ? ? x ? 1? ex ? 2a ? x ? 1? ? ? x ? 1? ex ? 2a ② 若 a ? 0 ,那么 e x ? 2a ? e x ? 0 , 所以当 x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0, f ? x ? 单调递增 当 x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0, f ? x ? 单调递减 即:
x

?

?

① 若 a ? 0 ,那么 f ? x ? ? 0 ? ? x ? 2? ex ? 0 ? x ? 2 , f ? x ? 只有唯一的零点 x ? 2 ,不合题意;

? ??,1?
?

1
0

?1, ?? ?
?

f '? x? f ? x?



极小值



故 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上至多一个零点,在 ? ??,1? 上至多一个零点 由于 f ? 2? ? a ? 0 , f ?1? ? ?e ? 0 ,则 f ? 2 ? f ?1? ? 0 , 根据零点存在性定理, f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上有且仅有一个零点. 而当 x ? 1 时, e x ? e , x ? 2 ? ?1 ? 0 , 2 2 2 故 f ? x ? ? ? x ? 2? ex ? a ? x ? 1? ? e ? x ? 2? ? a ? x ? 1? ? a ? x ? 1? ? e ? x ? 1? ? e
?e ? e2 ? 4ae ?e ? e2 ? 4ae ? 1 , t2 ? ? 1 , t1 ? t2 , 2a 2a 2 因为 a ? 0 ,故当 x ? t1 或 x ? t2 时, a ? x ? 1? ? e ? x ? 1? ? e ? 0

则 f ? x ? ? 0 的两根 t1 ?

因此,当 x ? 1 且 x ? t1 时, f ? x ? ? 0

又 f ?1? ? ?e ? 0 ,根据零点存在性定理, f ? x ? 在 ? ??,1? 有且只有一个零点. 此时, f ? x ? 在 R 上有且只有两个零点,满足题意.

e ③ 若 ? ? a ? 0 ,则 ln ? ?2a ? ? ln e ? 1 , 2 ln ?2 a 当 x ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? ln ? ?2a ? ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e ? ? ? 2a ? 0 ,
即 f ' ? x ? ? ? x ? 1? ex ? 2a ? 0 , f ? x ? 单调递增; 当 ln ? ?2a ? ? x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

?

?

? 2a ? 0 ,

即 f ' ? x ? ? ? x ? 1? e ? 2a ? 0 , f ? x ? 单调递减;
x
ln ?2 a 当 x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e ? ? ? 2a ? 0 , 即 f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增.

?

?

即:
x

? ??,ln ? ?2a ??
+ ↑

ln ? ?2a ?
0 极大值

? ln ? ?2a ? ,1?

2

1
0 极小值

?1, ?? ?
+ ↑
2

f '? x?
f ? x?
而极大值

f? ?ln ? ?2a ?? ? ? ?2a ? ?ln ? ?2a ? ? 2? ? ? a? ?ln ? ?2a ? ? 1? ? ?a ? ?ln ? ?2a ? ? 2? ? ?1 ? 0

?

?

故当 x≤1 时, f ? x ? 在 x ? ln ? ?2a ? 处取到最大值 f ? ?, ?ln ? ?2a ?? 那么 f ? x ?≤f ? ?ln ? ?2a ?? ? ? 0 恒成立,即 f ? x ? ? 0 无解 而当 x ? 1 时, f ? x ? 单调递增,至多一个零点

此时 f ? x ? 在 R 上至多一个零点,不合题意.

e ④ 若 a ? ? ,那么 ln ? ?2a ? ? 1 2 ln ?2 a 当 x ? 1 ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e ? ? ? 2a ? 0 ,
即 f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增 当 x ? 1 ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e 即 f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增 又 f ? x ? 在 x ? 1 处有意义,故 f ? x ? 在 R 上单调递增,此时至多一个零点,不合题意.
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,

e ⑤ 若 a ? ? ,则 ln ? ?2a ? ? 1 2 ln ?2 a 当 x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e1 ? 2a ? e ? ? ? 2a ? 0 , 即 f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增
当 1 ? x ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e 即 f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减 当 x ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? ln ? ?2a ? ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e 即 f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增 即:
x
ln ? ?2 a ? ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 , ? 2a ? 0 ,

? ??,1?
+ ↑

1
0 极大值

?1,ln ? ?2a ??


ln ? ?2a ?
0 极小值

?ln ? ?2a? , ???
+ ↑

f '? x?

f ? x?

故当 x≤ln ? ?2a ? 时, f ? x ? 在 x ? 1 处取到最大值 f ?1? ? ?e ,那么 f ? x ?≤ ? e ? 0 恒成立,即

f ? x ? ? 0 无解
当 x ? ln ? ?2a ? 时, f ? x ? 单调递增,至多一个零点 此时 f ? x ? 在 R 上至多一个零点,不合题意. 综上所述,当且仅当 a ? 0 时符合题意,即 a 的取值范围为 ? 0, ?? ? . ⑵ 由已知得: f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,不难发现 x1 ? 1, x2 ? 1, 故可整理得: ?a ? 设 g ? x? ?

? x1 ? 2? e x 2 ? x1 ? 1?

1

?

? x2 ? 2? e x 2 ? x2 ? 1?

2

? x ? 2? ex ,则 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 2 ? x ? 1? 2 ? x ? 2? ? 1 x ,当 x ? 1 时, g ' x ? 0 , g x 单调递减; 那么 g ' ? x ? ? e ? ? ? ? 3 ? x ? 1? 当 x ? 1 时, g ' ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递增.
设 m ? 0 ,构造代数式: m ?1 ?m ? 1 1? m 1 ? m 1? m ? m ? 1 2 m ? g ?1 ? m ? ? g ?1 ? m ? ? 2 e1? m ? e ? 2 e ? e ? 1? m m2 m ? m ?1 ? m ? 1 2m 设 h ? m? ? e ? 1, m ? 0 m ?1 2m2 则 h ' ? m? ? e2m ? 0 ,故 h ? m ? 单调递增,有 h ? m? ? h ? 0? ? 0 . 2 ? m ? 1? 因此,对于任意的 m ? 0 , g ?1 ? m ? ? g ?1 ? m ? . 由 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 可知 x1 , x2 不可能在 g ? x ? 的同一个单调区间上,

不妨设 x1 ? x2 ,则必有 x1 ? 1 ? x2 令 m ? 1 ? x1 ? 0 ,则有 g ? ?1 ? ?1 ? x1 ?? ? ? g? ?1 ? ?1 ? x1 ?? ? ? g ? 2 ? x1 ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? 而 2 ? x1 ? 1 , x2 ? 1 , g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增, 因此: g ? 2 ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 2 ? x1 ? x2 整理得: x1 ? x2 ? 2 . 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以⊙O 为圆心,OA 为半径作圆. (I)证明:直线 AB 与 O 相切; (II)点 C,D 在⊙O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明:AB∥CD. 【解析】⑴ 设圆的半径为 r ,作 OK ? AB 于 K ?AOB ? 120? ∵ OA ? OB ,

D
OA ?r 2

C

?A ? 30? , OK ? OA ? sin30? ? ∴ OK ? AB ,

O

∴ AB 与 ⊙O 相切 ⑵ 方法一:假设 CD 与 AB 不平行,则 CD 与 AB 交于 F FK 2 ? FC ? FD ① ∵ A 、B 、C 、D 四点共圆 ∴ FC ? FD ? FA ? FB ? ? FK ? AK ?? FK ? BK ? ∵ AK ? BK 2 2 ∴ FC ? FD ? ? FK ? AK ?? FK ? AK ? ? FK ? AK ②

A

B

由①②可知矛盾. ∴ AB ∥ CD 方法二: 因为 A, B, C , D 四点共圆, 不妨设圆心为 T , 因为 OA ? OB, TA ? TB, 所以 O, T 为 AB 的中垂线上, 同理 OC ? OD, TC ? TD, 所以 OT 为 CD 的中垂线, 所 以 AB∥CD . (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 = , a>0) 在直线坐标系 xoy 中, 曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数, 。 在以坐标原点为极点, = + , x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=4cosθ. (I)说明 C1 是哪种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (II)直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0,其中 α0 满足 tanα0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a。 ? x ? a cos t 2 【解析】⑴ ? ( t 均为参数),∴ x2 ? ? y ? 1? ? a2 ① ? y ? 1 ? a sin t

1? 为圆心, a 为半径的圆.方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? a2 ? 0 ∴ C1 为以 ? 0 ,
∵ x2 ? y 2 ? ? 2 ,y ? ? sin ? ,∴ ? 2 ? 2? sin ? ? 1 ? a2 ? 0 ⑵ C2 :? ? 4cos ? 两边同乘 ? 得 ? 2 ? 4? cos? Q ? 2 ? x2 ? y 2 ,? cos? ? x 即为 C1 的极坐标方程

? x 2 ? y 2 ? 4 x 即 ? x ? 2? ? y 2 ? 4 ②
2

C3 :化为普通方程为 y ? 2 x
由题意: C1 和 C2 的公共方程所在直线即为 C3 ① —②得: 4 x ? 2 y ? 1 ? a2 ? 0 ,即为 C3 ∴ 1 ? a 2 ? 0 ,∴ a ? 1 .

(24) (本小题满分 10 分) ,选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣. (I)在答题卡第(24)题图中画出 y= f(x)的图像; (II)求不等式∣f(x)∣﹥1 的解集。

【解析】⑴ 如图所示:

? ? x ? 4 ,x ≤ ?1 ? 3 ? ⑵ f ? x ? ? ?3x ? 2 ,? 1 ? x ? 2 ? 3 ? 4 ? x ,x ≥ ? ? 2 f ? x? ? 1
当 x ≤ ?1 , x ? 4 ? 1 ,解得 x ? 5 或 x ? 3, ∴ x ≤ ?1

3 1 , 3x ? 2 ? 1,解得 x ? 1 或 x ? 2 3 1 3 ∴?1 ? x ? 或 1 ? x ? 3 2 3 3 当 x ≥ , 4 ? x ? 1 ,解得 x ? 5 或 x ? 3 ,∴ ≤ x ? 3 或 x ? 5 2 2 1 综上, x ? 或 1 ? x ? 3 或 x ? 5 3 1? ? 3? U ? 5 ,? ? ? . ∴ f ? x ? ? 1 的解集为 ? ?? , ? U ?1 , 3? ?
当 ?1 ? x ?

2017 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学 I
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含非选择题(第 1 题 ~ 第 20 题,共 20 题).本卷满分为 160 分,考试 时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位 置。 3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作 答一律无效。 5.如需改动,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分。 1. (5 分)已知集合 A={1,2},B={a,a2+3}.若 A∩B={1},则实数 a 的值为 2. (5 分)已知复数 z=(1+i) (1+2i) ,其中 i 是虚数单位,则 z 的模是 . .

3. (5 分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为 200,400,300,100 件.为检 验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验,则应从丙种型号的产品 中抽取 件.

4. (5 分)如图是一个算法流程图,若输入 x 的值为

1 ,则输出 y 的值是 16



(第 4 题) 5. (5 分)若 tan(α﹣

(第 6 题)

(第 12 题)

? 1 )= .则 tanα= 4 6



6. (5 分)如图,在圆柱 O1O2 内有一个球 O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱 O1O2 的

体积为 V1,球 O 的体积为 V2,则

V1 的值是 V2



7. (5 分)记函数 f(x)= 6 ? x ? x2 定义域为 D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数 x,则 x∈D 的概率 是 .

8. (5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P, Q, 3


其焦点是 F1,F2,则四边形 F1PF2Q 的面积是

9. (5 分)等比数列{an}的各项均为实数,其前 n 项为 Sn,已知 S3=

7 63 ,S6= ,则 a8= 4 4



10. (5 分)某公司一年购买某种货物 600 吨,每次购买 x 吨,运费为 6 万元/次,一年的总存储费用为 4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x 的值是 11. (5 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? e ?
3 x



1 2 , 其中 e 是自然对数的底数. 若 f (a ? 1) ? f (2a ) ≤0. 则 x e

实数 a 的取值范围是



12. (5 分)如图,在同一个平面内,向量 OA , OB , OC 的模分别为 1,1, 2 , OA 与 OC 的夹角 为 α,且 tanα=7, OB 与 OC 的夹角为 45° .若 OC =m OA +n OB (m,n∈R) ,则 m+n= .

13. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,A(﹣12,0) ,B(0,6) ,点 P 在圆 O:x2+y2=50 上.若 PA? PB ≤20,则点 P 的横坐标的取值范围是 .

14. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数,在区间[0,1)上, f ( x) ? ?

?x2 , x ? D ? x, x ? D

,其中集

合 D ? ?x | x ?

? ?

n ?1 ? , n ? N * ? ,则方程 f ( x) ? lg x ? 0 的解的个数是 n ?



二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分。 15. (14 分)如图,在三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面 ABD⊥平面 BCD,点 E、F(E 与 A、D 不重合)分别在棱 AD,BD 上,且 EF⊥AD.求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)AD⊥AC.

16. (14 分)已知向量 a =(cosx,sinx) , b =(3, ? 3 ) ,x ? [0,π]. (1)若 a ∥ b ,求 x 的值; (2)记 f(x)= a ? b ,求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值.

17. (14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 a 2 b2

F1,F2,离心率为

1 ,两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上,且位于第一象限,过点 F1 作直线 PF1 2

的垂线 l1,过点 F2 作直线 PF2 的垂线 l2. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)若直线 l1,l2 的交点 Q 在椭圆 E 上,求点 P 的坐标.

18. (16 分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm,容器Ⅰ 的底面对角线 AC 的长为 10 7 cm,容器Ⅱ的两底面对角线 EG,E1G1 的长分别为 14cm 和 62cm.分别 在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为 12cm.现有一根玻璃棒 l,其长度为 40cm. (容器厚度、玻璃棒

粗细均忽略不计) (1)将 l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点 A 处,另一端置于侧棱 CC1 上,求 l 没入水中部分的长度; (2)将 l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点 E 处,另一端置于侧棱 GG1 上,求 l 没入水中部分的长度.

19. (16 分)对于给定的正整数 k,若数列{an}满足:an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…an+k﹣1+an+k=2kan 对任意 正整数 n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列” . (1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列” ; (2)若数列{an}既是“P(2)数列” ,又是“P(3)数列” ,证明:{an}是等差数列.

20. (16 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 1(a>0,b ? R)有极值,且导函数 f (x)的零点. (极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求 b 关于 a 的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b2>3a; (3)若 f ( x ) , f




( x ) 的极值点是 f

( x ) 这两个函数的所有极值之和不小于﹣ 7 ,求 a 的取值范围. 2

2017 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学 II(附加题)
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21 题 ~ 第 23 题) 。本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分钟。考试 结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位 置。 3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作 答一律无效。 5.如需改动,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 三、附加题:本大题共 3 小题,共计 40 分。 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题 ,并在相应的答题区域内作答 。若多 ........ ............ 做,则按作答的前两小题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A. 【选修 4-1:几何证 明选讲】 (10 分) 如图,AB 为半圆 O 的直径,直线 PC 切半圆 O 于点 C,AP⊥PC,P 为垂足.求证: (1)∠PAC=∠CAB; (2)AC2 =AP?AB.

B. 【选修 4-2:矩阵与变换】 (10 分) 已知矩阵 A= ? (1)求 AB; (2)若曲线 C1:

?0 1? ?1 0 ? ,B= ? ? ?. ?1 0? ?0 2?

x2 y2 ? ? 1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2,求 C2 的方程. 8 2

C. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (10 分)

? x ? ?8 ? t ? 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,曲线 C 的参数方程为 t y? ? 2 ?
2 ? ? x ? 2s (s 为参数) .设 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的距离的最小值. ? ? ? y ? 2 2s

D. 【选修 4-5:不等式选讲】 (10 分) 已知 a,b,c,d 为实数,且 a2+b2=4,c2+d2=16,证明 ac+bd≤8.

22. (10 分)如图,在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1⊥平面 ABCD,且 AB=AD=2,AA1= 3 , ∠BAD=120° . (1)求异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值; (2)求二面角 B﹣A1D﹣A 的正弦值.

23.已知一个口袋有 m 个白球,n 个黑球(m,n ? N*,n≥2) ,这些球除颜色外全部相同.现将口袋中 的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为 1,2,3,…,m+n 的抽屉内,其中第 k 次取出的球放 入编号为 k 的抽屉(k=1,2,3,…,m+n) . 1 2 3 … m+n

(1)试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p; (2)随机变量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是 X 的数学期望,证明 E(X) <

n . (m ? n)(n ? 1)

2017 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 参考答案与试题解析 数学 I
一、填空题。 1. (5 分)已知集合 A={1,2},B={a,a2+3}.若 A∩B={1},则实数 a 的值为 1 . 【分析】利用交集定义直接求解. 【解答】解:∵集合 A={1,2},B={a,a2+3}.A∩B={1}, ∴a=1 或 a2+3=1, 解得 a=1. 故答案为:1. 【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义及性质的合理运用.

2. (5 分)已知复数 z=(1+i) (1+2i) ,其中 i 是虚数单位,则 z 的模是 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出. 【解答】解:复数 z=(1+i) (1+2i)=1﹣2+3i=﹣1+3i,
2 2 ∴|z|= ( ?1) ? 3 = 10 .

10



故答案为: 10 . 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

3. (5 分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为 200,400,300,100 件.为检 验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验,则应从丙种型号的产品 中抽取 18 件.

6 ,再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目. 100 60 6 【解答】解: 产品总数为 200+400+300+100=1000 件,而抽取 60 辆进行检验, 抽样比例为 = , 1000 100 6 则应从丙种型号的产品中抽取 300× =18 件. 100
【分析】由题意先求出抽样比例即为 故答案为:18. 【点评】本题的考点是分层抽样.分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,按照一

定的比例,即样本容量和总体容量的比值,在各层中进行抽取.

4. (5 分)如图是一个算法流程图:若输入 x 的值为 【分析】直接模拟程序即得结论. 【解答】解:初始值 x= ∴y=2+log2

1 ,则输出 y 的值是 ﹣2 . 16

1 ,不满足 x≥1, 16

1 =2﹣log2 2 4 =﹣2. 16

故答案为:﹣2. 【点评】本题考查程序框图,模拟程序是解决此类问题的 常用方法,注意解题方法的积累,属于基础题.

5. (5 分)若 tan(α﹣

? 1 )= .则 tanα= 1.4 . 4 6

【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可.

【解答】解:∵tan(α﹣

? 4 ? tan? ? 1 ? 1 )= ? tan? ? 1 6 4 1 ? tan? tan 4

tan? ? tan

?

∴6tanα﹣6=tanα+1, 解得 tanα=1.4. 故答案为:1.4. 【点评】本题考查了两角差的正切公式,属于基础题.

6. (5 分)如图,在圆柱 O1O2 内有一个球 O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱 O1O2 的 体积为 V1,球 O 的体积为 V2,则

V1 的值是 1.5 . V2

【分析】设出球的半径,求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果. 【解答】解:设球的半径为 R,则球的体积为: 圆柱的体积为:πR2?2R=2πR3. 则

4 ? R3, 3

V1 2?R 3 3 ? ? . V2 4 ?R 3 2 3

故答案为:

3 . 2

【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.

7. (5 分)记函数 f(x)= 6 ? x ? x2 定义域为 D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数 x,则 x∈D 的概率 是

5 9



【分析】求出函数的定义域,结合几何概型的概率公式进行计算即可. 【解答】解:由 6+x﹣x2≥0 得 x2﹣x﹣6≤0,得﹣2≤x≤3, 则 D=[﹣2,3], 则在区间[﹣4,5]上随机取一个数 x,则 x∈D 的概率 P=

3 ? (?2) 5 = . 5 ? (?4) 9

故答案为:

5 9

【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算,结合函数的定义域求出 D,以及利用几何概型的概 率公式是解决本题的关键.

x2 ? y 2 ? 1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P, 8. (5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 双曲线 Q, 3
其焦点是 F1,F2,则四边形 F1PF2Q 的面积是 2 3 . 【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程,得到 P,Q 坐标,求出焦点坐标,然后求解四边形的面 积. 【解答】解:双曲线

3 x2 3 ? y 2 ? 1 的右准线:x= ,双曲线渐近线方程为:y= x, 2 3 3

所以 P(

3 3 3 3 , ) ,Q( ,﹣ ) ,F1(﹣2,0) .F2(2,0) . 2 2 2 2

则四边形 F1PF2Q 的面积是: 故答案为: 2 3 .

1 ? 4? 3 = 2 3 . 2

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.

9. (5 分)等比数列{an}的各项均为实数,其前 n 项为 Sn,已知 S3=

7 63 ,S6= ,则 a8= 32 . 4 4

7 63 a1 (1 ? q 3 ) 7 a1 (1 ? q 6 ) 63 【分析】设等比数列{an}的公比为 q≠1,S3= ,S6= ,可得 ? , ? ,联立 4 4 1? q 4 1? q 4
解出即可得出. 【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q≠1, ∵S3=

7 63 a (1 ? q 3 ) 7 a1 (1 ? q 6 ) 63 ,S6= ,∴ 1 ? , ? , 4 4 1? q 4 1? q 4 1 ,q=2, 4

解得 a1= 则 a8=

1 7 ? 2 =32. 4

故答案为:32. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

10. (5 分)某公司一年购买某种货物 600 吨,每次购买 x 吨,运费为 6 万元/次,一年的总存储费用为 4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x 的值是 30 . 【分析】由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和为 出. 【解答】解:由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和= 元) , 当且仅当 x=30 时取等号. 故答案为:30. 【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

600 ? 6 ? 4 x ,利用基本不等式的性质即可得 x

600 ? 6 ? 4x ≥ 4 ? 2 ? x

900 ? x =240(万 x

11. (5 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? e ?
3 x

1 2 , 其中 e 是自然对数的底数. 若 f (a ? 1) ? f (2a ) ≤0. 则 ex

实数 a 的取值范围是 [ ? 1 , 0.5 ]



【分析】求出 f(x)的导数,由基本不等式和二次函数的性质,可得 f(x)在 R 上递增;再由奇偶性的 定义,可得 f(x)为奇函数,原不等式即为 2a2≤1﹣a,运用二次不等式的解法即可得到所求范围. 【解答】解:函数 f ( x) ? x ? 2 x ? e ?
3 x

1 的导数为: ex

f′(x)=3x2﹣2+ex+

1 1 x ≥ ? 2 ? 2 e ? x =0, x e e

可得 f(x)在 R 上递增; 又 f(﹣x)+f(x)=(﹣x)3+2x+e x﹣ex+x3﹣2x+ex﹣


1 =0, ex

可得 f(x)为奇函数, 则 f(a﹣1)+f(2a2)≤0, 即有 f(2a2)≤﹣f(a﹣1)=f(1﹣a) , 即有 2a2≤1﹣a, 解得﹣1≤a≤ . 故答案为:[﹣1,

1 ]. 2

【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用,注意运用导数和定义法,考查转化思想的运用 和二次不等式的解法,考查运算能力,属于中档题.

12. (5 分)如图,在同一个平面内,向量 OA , OB , OC 的模分别为 1,1, 2 , OA 与 OC 的夹角 为 α,且 tanα=7, OB 与 OC 的夹角为 45° .若 OC =m OA +n OB (m,n∈R) ,则 m+n= 3 .

【分析】 如图所示, 建立直角坐标系. A (1, 0) . 由 OA 与 OC 的夹角为 α, 且 tanα=7. 可得 cosα=

1 5 2



sinα=

7 5 2

.C(

1 7 3 1 3 4 , ) .可得 cos(α+45° )= ? .sin(α+45° )= .B( ? , ) .利用 OC =m OA 5 5 5 5 5 5

+n OB (m,n∈R) ,即可得出. 【解答】解:如图所示,建立直角坐标系.A(1,0) . 由 OA 与 OC 的夹角为 α,且 tanα=7. ∴cosα=

1 5 2

,sinα=

7 5 2



∴C(

1 7 , ) . 5 5
3 2 (cosα﹣sinα)= ? . 5 2

cos(α+45° )=

sin(α+45° )= ∴B( ?

4 2 (sinα+cosα)= . 5 2

3 4 , ) . 5 5

∵ OC =m OA +n OB (m,n∈R) ,

1 3 7 4 =m ? n, =0+ n, 5 5 5 5 7 5 解得 n= ,m= . 4 4
∴ 则 m+n=3. 故答案为:3. 【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

13. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,A(﹣12,0) ,B(0,6) ,点 P 在圆 O:x2+y2=50 上.若 PA? PB ≤20,则点 P 的横坐标的取值范围是 [ ? 5 2 ,1] .

【分析】根据题意,设 P(x0,y0) ,由数量积的坐标计算公式化简变形可得 2x0+y0+5≤0,分析可得其 表示表示直线 2x+y+5≤0 以及直线下方的区域,联立直线与圆的方程可得交点的横坐标,结合图形分析 可得答案. 【解答】解:根据题意,设 P(x0,y0) ,则有 x02+y02=50,

PA? PB =(﹣12﹣x0,﹣y0)?(﹣x0,6﹣y0)=(12+x0)x0﹣y0(6﹣y0)=12x0+6y+x02+y02≤20,
化为:12x0+6y0+30≤0, 即 2x0+y0+5≤0,表示直线 2x+y+5≤0 以及直线下方的区域, 联立 ?
2 2 ? x0 ? y0 ? 50

?2 x0 ? y0 ? 5 ? 0

,解可得 x0=﹣5 或 x0=1,

结合图形分析可得:点 P 的横坐标 x0 的取值范围是[ ? 5 2 ,1]. 故答案为:[ ? 5 2 ,1]. 【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系,关键是利用数量积化简变形得到关于 x0、y0 的关系式.

?x2 , x ? D 14. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数,在区间[0,1)上, f ( x) ? ? ,其中集 ? x, x ? D
合 D ? ?x | x ?

? ?

n ?1 ? , n ? N * ? ,则方程 f ( x) ? lg x ? 0 的解的个数是 n ?

8



【分析】由已知中 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数,在区间[0,1)上, f ( x) ? ?

?x2 , x ? D ? x, x ? D

,其

中集合 D ? ? x | x ?

? ?

n ?1 ? , n ? N * ? ,分析 f(x)的图象与 y=lgx 图象交点的个数,进而可得答案. n ?

?x2 , x ? D 【解答】解:∵在区间[0,1)上, f ( x) ? ? , ? x, x ? D
第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数, 又 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数, ∴在区间[1,2)上, f ( x) ? ? 同理: 区间[2,3)上,f(x)的图象与 y=lgx 有且只有一个交点; 区间[3,4)上,f(x)的图象与 y=lgx 有且只有一个交点; 区间[4,5)上,f(x)的图象与 y=lgx 有且只有一个交点; 区间[5,6)上,f(x)的图象与 y=lgx 有且只有一个交点; 区间[6,7)上,f(x)的图象与 y=lgx 有且只有一个交点; 区间[7,8)上,f(x)的图象与 y=lgx 有且只有一个交点; 区间[8,9)上,f(x)的图象与 y=lgx 有且只有一个交点; 区间[9,+∞)上,f(x)的图象与 y=lgx 无交点; 故 f(x)的图象与 y=lgx 有 8 个交点; 即方程 f ( x) ? lg x ? 0 的解的个数是 8. 故答案为:8. 【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,函数的图象和性质,转化思想,难度中档.

?( x ? 1) 2 , x ? D ,此时 f(x)的图象与 y=lgx 有且只有一个交点; ? x ? 1, x ? D

二、解答题。 15. (14 分)如图,在三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面 ABD⊥平面 BCD,点 E、F(E 与

A、D 不重合)分别在棱 AD,BD 上,且 EF⊥AD.求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)AD⊥AC.

【分析】 (1)利用 AB∥EF 及线面平行判定定理可得结论; (2)通过取线段 CD 上点 G,连结 FG、EG 使得 FG∥BC,则 EG∥AC,利用线面垂直的性质定理可知 FG⊥AD,结合线面垂直的判定定理可知 AD⊥平面 EFG,从而可得结论. 【解答】证明: (1)∵AB⊥AD,EF⊥AD,且 A、B、E、F 四点共面, ∴AB∥EF, 又∵EF?平面 ABC,AB?平面 ABC, ∴由线面平行判定定理可知:EF∥平面 ABC; (2)在线段 CD 上取点 G,连结 FG、EG 使得 FG∥BC,则 EG∥AC, ∵BC⊥BD,∴FG⊥BC, 又∵平面 ABD⊥平面 BCD, ∴FG⊥平面 ABD,∴FG⊥AD, 又∵AD⊥EF,且 EF∩FG=F, ∴AD⊥平面 EFG,∴AD⊥EG, 故 AD⊥AC. 【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定,考查空间想象能力,考查转化思想,涉及线面平行判定 定理,线面垂直的性质及判定定理,注意解题方法的积累,属于中档题.

16. (14 分)已知向量 a =(cosx,sinx) , b =(3, ? 3 ) ,x ? [0,π]. (1)若 a ∥ b ,求 x 的值; (2)记 f(x)= a ? b ,求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值.

【分析】 (1)根据向量的平行即可得到 tanx= ?

3 ,问题得以解决; 3

(2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出. 【解答】解: (1)∵ a =(cosx,sinx) , b =(3, ? 3 ) ,a ∥b , ∴ ? 3 cosx= 3 sinx, ∴tanx= ?

3 , 3

∵x ? [0,π], ∴x=

5 ?; 6

(2)f(x)= a ? b = 3 cosx﹣ 3 sinx= 2 ∵x ? [0,π], ∴x?

3(

1 ? 3 cosx ? sinx)= 2 3 cos( x ? ) , 2 6 2

?
6

?[

? 7? , ], 6 6

∴ ? 1 ≤cos( x ?

?
6

)≤

3 , 2

当 x ? 0 时,f(x)有最大值,最大值 3 , 当x?

5 ? 时,f(x)有最小值,最大值 ? 2 3 . 6

【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质,属于基础题.

17. (14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 a 2 b2

F1,F2,离心率为

1 ,两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上,且位于第一象限,过点 F1 作直线 PF1 2

的垂线 l1,过点 F2 作直线 PF2 的垂线 l2. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)若直线 l1,l2 的交点 Q 在椭圆 E 上,求点 P 的坐标.

【分析】 (1)由椭圆的离心率公式求得 a ? 2c ,由椭圆的准线方程 x ? ? 求得 a 和 c 的值,则 b ? a ? c ? 3 ,即可求得椭圆方程;
2 2 2

2a 2 2a 2 ? 8 ,即可 ,则 2 ? c c

(2)设 P 点坐标,分别求得直线 PF2 的斜率及直线 PF1 的斜率,则即可求得 l2 及 l1 的斜率及方程,联
2 2 立求得 Q 点坐标,由 Q 在椭圆方程,求得 y0 ? x0 ? 1 ,联立即可求得 P 点坐标.

【解答】解: (1)由题意可知:椭圆的离心率 e ? 椭圆的准线方程 x ? ?

c 1 ? ,则 a ? 2c ,① a 2

2a 2 2a 2 ? 8 ,② ,由 2 ? c c

由①②解得: a ? 2 , c ? 1 , 则 b ? a ? c ? 3,
2 2 2

∴椭圆的标准方程:

x2 y2 ? ?1; 4 3

(2)设 P(x0,y0) ,则直线 PF2 的斜率 k PF2 ?

y0 , x0 ? 1

则直线 l2 的斜率 k 2 ? ?

x0 ? 1 x ?1 ,直线 l2 的方程 y ? ? 0 ( x ? 1) , y0 y0 y0 , x0 ? 1 x0 ? 1 x ?1 ,直线 l1 的方程 y ? ? 0 ( x ? 1) , y0 y0

直线 PF1 的斜率 k PF1 ?

则直线 l1 的斜率 k1 ? ?

x0 ? 1 ? ? x ? ? x0 ? y ? ? y ( x ? 1) 2 x0 ?1 ? ? 0 2 联立 ? ,解得: ? ,则 Q ( , ) , ? x x0 ? 1 0 y ? x ? 1 y 0 0 ? ?y ? ? ( x ? 1) y0 ? ? y 0 ?
∴P、Q 两点关于 y 轴对称,则 y0 ?
2 x0 ?1 2 2 ,则 y0 ? x0 ?1 , y0

? 4 7 2 2 ? x0 y0 ? x0 ? ? ? ? 1 ? ? 7 , ∴? 4 ,解得: ? 3 ?y ? ? 3 7 ? y 2 ? x2 ?1 0 ? 0 0 ? 7 ?
又 P 在第一象限,所以 P 的坐标为: P(

4 7 3 7 , ) . 7 7

【点评】 本题考查椭圆的标准方程, 直线与椭圆的位置关系, 考查直线的斜率公式, 考查数形结合思想, 考查计算能力,属于中档题.

18. (16 分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm,容器Ⅰ 的底面对角线 AC 的长为 10 7 cm,容器Ⅱ的两底面对角线 EG,E1G1 的长分别为 14cm 和 62cm.分别 在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为 12cm.现有一根玻璃棒 l,其长度为 40cm. (容器厚度、玻璃棒 粗细均忽略不计) (1)将 l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点 A 处,另一端置于侧棱 CC1 上,求 l 没入水中部分的长度; (2)将 l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点 E 处,另一端置于侧棱 GG1 上,求 l 没入水中部分的长度.

【分析】 (1) 设玻璃棒在 CC1 上的点为 M, 玻璃棒与水面的交点为 N, 过 N 作 NP∥MC, 交 AC 于点 P, 推导出 CC1⊥平面 ABCD,CC1⊥AC,NP⊥AC,求出 MC=30cm,推导出△ ANP∽△AMC,由此能出玻 璃棒 l 没入水中部分的长度; (2)设玻璃棒在 GG1 上的点为 M,玻璃棒与水面的交点为 N,过点 N 作 NP⊥EG,交 EG 于点 P,过 点 E 作 EQ⊥E1G1,交 E1G1 于点 Q,推导出 EE1G1G 为等腰梯形,求出 E1Q=24cm,E1E=40cm,由正弦 定理求出 sin∠GEM= ,由此能求出玻璃棒 l 没入水中部分的长度. 【解答】解: (1)设玻璃棒在 CC1 上的点为 M,玻璃棒与水面的交点为 N, 在平面 ACM 中,过 N 作 NP∥MC,交 AC 于点 P,

∵ABCD﹣A1B1C1D1 为正四棱柱,∴CC1⊥平面 ABCD, 又∵AC?平面 ABCD,∴CC1⊥AC,∴NP⊥AC, ∴NP=12cm,且 AM2=AC2+MC2,解得 MC=30cm, ∵NP∥MC,∴△ANP∽△AMC, ∴

AN NP AN 12 ? ? , ,得 AN=16cm, AM MC 40 30

∴玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 16cm; (2)设玻璃棒在 GG1 上的点为 M,玻璃棒与水面的交点为 N, 在平面 E1EGG1 中,过点 N 作 NP⊥EG,交 EG 于点 P, 过点 E 作 EQ⊥E1G1,交 E1G1 于点 Q, ∵EFGH﹣E1F1G1H1 为正四棱台,∴EE1=GG1,EG∥E1G1,EG≠E1G1, ∴EE1G1G 为等腰梯形,画出平面 E1EGG1 的平面图, ∵E1G1=62cm,EG=14cm,EQ=32cm,NP=12cm, ∴E1Q=24cm, 由勾股定理得:E1E=40cm,

4 4 3 ,sin∠EGM=sin∠EE1G1= ,cos∠EGM= ? , 5 5 5 EM EG 7 24 ? 根据正弦定理得: ,∴sin∠EMG= ,cos∠EMG= , sin ?EGM sin ?EMG 25 25 3 ∴sin∠GEM=sin(∠EGM+∠EMG)=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= , 5 NP ∴EN= =20cm, sin ?GEM
∴sin∠EE1G1= ∴玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 20cm.

【点评】本题考查玻璃棒 l 没入水中部分的长度的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等 基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想, 是中档题.

19. (16 分)对于给定的正整数 k,若数列{an}满足:an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…an+k﹣1+an+k=2kan 对任意 正整数 n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列” . (1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列” ; (2)若数列{an}既是“P(2)数列” ,又是“P(3)数列” ,证明:{an}是等差数列. 【分析】 (1) 由题意可知根据等差数列的性质, an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3= (an﹣3+an+3) + (an﹣2+an+2) +(an﹣1+an+1)═2× 3an,根据“P(k)数列”的定义,可得数列{an}是“P(3)数列” ; (2)由“P(k)数列”的定义,则 an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an,an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an,变形整 理即可求得 2an=an﹣1+an+1,即可证明数列{an}是等差数列. 【解答】解: (1)证明:设等差数列{an}首项为 a1,公差为 d,则 an=a1+(n﹣1)d, 则 an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3, =(an﹣3+an+3)+(an﹣2+an+2)+(an﹣1+an+1) , =2an+2an+2an, =2× 3an, ∴等差数列{an}是“P(3)数列” ; (2)证明:由数列{an}是“P(2)数列”则 an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an,① 数列{an}是“P(3)数列”an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an,② 由①可知:an﹣3+an﹣2+an+an+1=4an﹣1,③ an﹣1+an+an+2+an+3=4an+1,④ 由②﹣(③+④) :﹣2an=6an﹣4an﹣1﹣4an+1, 整理得:2an=an﹣1+an+1, ∴数列{an}是等差数列. 【点评】本题考查等差数列的性质,考查数列的新定义的性质,考查数列的运算,考查转化思想,属于 中档题.

3 2 20. (16 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 1(a>0,b ? R)有极值,且导函数 f



( x ) 的极值点是 f

(x)的零点. (极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求 b 关于 a 的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b2>3a;

( x ) 这两个函数的所有极值之和不小于﹣ 7 ,求 a 的取值范围. 2 , , 【分析】 (1)通过对 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 1求导可知 g(x)= f ( x ) =3x2+2ax+b,进而再求导可知 g
(3)若 f ( x ) , f


( x ) =6x+2a,通过令 g , ( x ) =0 进而可知 f , ( x ) 的极小值点为 x= ? a ,从而 f ( ? a ) ? 0 ,整理可知 b ? 3 3

2a 2 3 , ? (a>0) ,结合 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 1(a>0,b ? R)有极值可知 f ( x ) =0 有两个不等的实 9 a
根,进而可知 a>3; (2)通过(1)构造函数 h(a) ? b ? 3a ?
2

4a 4 5a 9 1 ? ? 2 ? (4a3 ? 27)(a3 ? 27) ,结合 a>3 可知 81 3 a 81a 2

h(a)>0,从而可得结论;

a a2 , (? ) ( x ) (3) 通过 (1) 可知 f 的极小值为 f 利用韦达定理及完全平方关系可知 y ? f ( x) 3 =b ? 3 ,


的两个极值之和为

7 4a 3 2ab a 2 4a 3 2ab 3 a2 ? ? 2 ,进而问题转化为解不等式 b ? ? ? ? 2 ? ? ≥? , 2 27 3 3 27 3 a 9

因式分解即得结论. 【解答】 (1)解:∵ f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 1, ∴g(x)= f


( x ) =3x2+2ax+b, g , ( x ) =6x+2a,

a , 令 g ( x ) =0,解得 x= ? .

3 a , , 由于当 x> ? 时 g ( x ) >0,g(x)= f ( x ) 单调递增; 3 a , , 当 x< ? 时 g ( x ) <0,g(x)= f ( x ) 单调递减; 3 a , ∴ f ( x ) 的极小值点为 x= ? , 3 , 由于导函数 f ( x ) 的极值点是原函数 f(x)的零点,
∴ f ( ? ) ? 0 ,即 b ?
3 2

a 3

2a 2 3 ? (a>0) . 9 a

∵ f ( x) ? x ? ax ? bx ? 1(a>0,b ? R)有极值, ∴ f


( x ) =3x2+2ax+b=0 有两个不等的实根,

∴4a2﹣12b>0,即 a ?
2

2a 2 9 ? >0,解得 a>3, 3 a

∴b ?

2a 2 3 ? (a>3) ; 9 a
2

(2)证明:由(1)可知 h(a) ? b ? 3a ? 由于 a>3,所以 h(a)>0,即 b2>3a; (3)解:由(1)可知 f


4a 4 5a 9 1 ? ? 2 ? (4a3 ? 27)(a3 ? 27) , 2 81 3 a 81a

( x ) 的极小值为 f



2 a (? ) = b ? a , 3 3

设 x1,x2 是 y ? f ( x) 的两个极值点,则 x1 ? x2 ? ?

2a b , x1 x2 ? , 3 3

3 3 2 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? a( x12 ? x2 ) ? b( x1 ? x2 ) ? 2

? ( x1 ? x2 )[(x1 ? x2 )2 ? 3x1 x2 ] ? a[(x1 ? x2 )2 ? 2x1x2 ] ? b( x1 ? x2 ) ? 2

?

4a 3 2ab ? ? 2, 27 3


又∵ f ( x) , f

( x ) 这两个函数的所有极值之和不小于 ? 7 , 2

7 a 2 4a 3 2ab 3 a2 ? ? ?2 ? ? ≥? , ∴b ? 2 3 27 3 a 9
∵a>3,所以 2a ? 63a ? 54 ≤ 0 ,
3

∴ 2a(a ? 36) ? 9(a ? 6) ≤ 0 ,
2

∴ (a ? 6)(2a ? 12a ? 9) ≤ 0 ,
2

由于 a>3 时, 2a ? 12a ? 9 > 0 ,
2

∴ a ? 6 ≤ 0 ,解得 a ≤ 6 , ∴a 的取值范围是 (3 , 6 ?. 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,考查运算求解能力,考查转化思想,注意解题方 法的积累,属于难题.

数学 II(附加题)

三、附加题。 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题作答 。若多做,则按作答的前两小题 .......... 评分。 A. 【选修 4-1:几何证明选讲】 (10 分) 如图,AB 为半圆 O 的直径,直线 PC 切半圆 O 于点 C,AP⊥PC,P 为垂足.求证: (1)∠PAC=∠CAB; (2)AC2 =AP?AB.

【分析】 (1)利用弦切角定理可得:∠ACP=∠ABC.利用圆的性质可得∠ACB=90° .再利用三角形内角 和定理即可证明; (2)由(1)可得:△ APC∽△ACB,即可证明. 【解答】证明: (1)∵直线 PC 切半圆 O 于点 C,∴∠ACP=∠ABC. ∵AB 为半圆 O 的直径,∴∠ACB=90° . ∵AP⊥PC,∴∠APC=90° . ∴∠PAC=90° ﹣∠ACP,∠CAB=90° ﹣∠ABC, ∴∠PAC=∠CAB; (2)由(1)可得:△ APC∽△ACB, ∴

AC AP ? . AB AC

∴AC2 =AP?AB. 【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题.

B. 【选修 4-2:矩阵与变换】 (10 分) 已知矩阵 A= ? (1)求 AB; (2)若曲线 C1:

?0 1? ?1 0 ? ,B= ? ? ?. ?1 0? ?0 2?

x2 y2 ? ? 1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2,求 C2 的方程. 8 2

【分析】 (1)按矩阵乘法规律计算;

(2)求出变换前后的坐标变换规律,代入曲线 C1 的方程化简即可. 【解答】解: (1)AB= ?

?0 1? ?1 0 ? ?0 2? ?? ??? ?; ?1 0? ?0 2? ?1 0 ?

(2)设点 P(x,y)为曲线 C1 的任意一点, 点 P 在矩阵 AB 的变换下得到点 P′(x0,y0) , 则?

?0 2? ? x ? ?2 y ? ? ? ? ? ? ? ,即 x0=2y,y0=x, ?1 0 ? ? y ? ? x ?
x0 , 2

∴x=y0,y=



2 y0 x2 ? 0 ? 1 ,即 x02+y02=8, 8 8

∴曲线 C2 的方程为 x2+y2=8. 【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换,属于中档题.

C. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (10 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?8 ? t ? (t 为参数) ,曲线 C 的参数方程为 t y ? ? 2 ?

2 ? ? x ? 2s (s 为参数) .设 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的距离的最小值. ? ? y ? 2 2 s ?

【分析】求出直线 l 的直角坐标方程,代入距离公式化简得出距离 d 关于参数 s 的函数,从而得出最短 距离. 【解答】解:直线 l 的直角坐标方程为 x﹣2y+8=0,

| 2s 2 ? 4 2s ? 8 | ( 2s ? 2) 2 ? 4 ∴P 到直线 l 的距离 d ? , ? 5 5
∴当 s ?

2 时,d 取得最小值

4 5 . 5

【点评】本题考查了参数方程的应用,属于基础题.

D. 【选修 4-5:不等式选讲】 (10 分) 已知 a,b,c,d 为实数,且 a2+b2=4,c2+d2=16,证明 ac+bd≤8.

【分析】a2+b2=4,c2+d2=16,令 a=2cosα,b=2sinα,c=4cosβ,d=4sinβ.代入 ac+bd 化简,利用三角函 数的单调性即可证明. 【解答】证明:∵a2+b2=4,c2+d2=16, 令 a=2cosα,b=2sinα,c=4cosβ,d=4sinβ. ∴ac+bd=8(cosαcosβ+sinαsinβ)=8cos(α﹣β)≤8.当且仅当 cos(α﹣β)=1 时取等号. 因此 ac+bd≤8. 【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题.

22. (10 分)如图,在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1⊥平面 ABCD,且 AB=AD=2,AA1= 3 , ∠BAD=120° . (1)求异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值; (2)求二面角 B﹣A1D﹣A 的正弦值.

【分析】在平面 ABCD 内,过 A 作 Ax⊥AD,由 AA1⊥平面 ABCD,可得 AA1⊥Ax,AA1⊥AD,以 A 为 坐标原点,分别以 Ax、AD、AA1 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系.结合已知求出 A,B,C, D,A1,C1 的坐标,进一步求出 A 1B , AC 1 , DB , DA 1 的坐标. (1)直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值; (2)求出平面 BA1D 与平面 A1AD 的一个法向量,再由两法向量所成角的余弦值求得二面角 B﹣A1D﹣A 的余弦值,进一步得到正弦值. 【解答】解:在平面 ABCD 内,过 A 作 Ax⊥AD, ∵AA1⊥平面 ABCD,AD、Ax?平面 ABCD, ∴AA1⊥Ax,AA1⊥AD, 以 A 为坐标原点,分别以 Ax、AD、AA1 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系. ∵AB=AD=2,AA1= 3 ,∠BAD=120° , ∴A(0,0,0) ,B( 3 ,-1,0) ,C( 3 ,1,0) , D(0,2,0) , A1(0,0, 3 ) ,C1( 3 ,1, 3 ) .

, AC1 =( 3 ,1, 3 ) , DB =( 3 ,-3,0) , DA . A1B =( 3 ,-1,- 3 ) 1 =(0,-2, 3 ) (1)∵cos( A 1B , AC 1 )=

A1 B ? AC1 | A1 B || AC1 |

=?

1 , 7

∴异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值为

1 ; 7

(2)设平面 BA1D 的一个法向量为 n ? ( x , y , z ) , 由?

? ?n ? DB ? 0 ? ?n ? DA1 ? 0

,得 ?

? 2 3 ? 3x ? 3 y ? 0 ,取 x ? 3 ,得 n ? ( 3 ,1, ); 3 ? ?? 2 y ? 3 z ? 0

取平面 A1AD 的一个法向量为 m ? (1,0,0) , ∴cos( m , n )=

3 ; | m || n | 4
=

m?n

∴二面角 B﹣A1D﹣A 的余弦值为

3 3 2 7 ,则二面角 B﹣A1D﹣A 的正弦值为 1 ? ( ) ? . 4 4 4

【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角,训练了利用空间向量求空间角,是中档题.

23.已知一个口袋有 m 个白球,n 个黑球(m,n ? N*,n≥2) ,这些球除颜色外全部相同.现将口袋中 的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为 1,2,3,…,m+n 的抽屉内,其中第 k 次取出的球放 入编号为 k 的抽屉(k=1,2,3,…,m+n) . 1 2 3 … m+n

(1)试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p; (2) 随机变量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E ( X ) 是 X 的数学期望, 证明 E ( X ) <

n . (m ? n)(n ? 1)
【分析】 (1)由 p ?
n ?1 Cm ? n ?1 即可算出答案; n Cm ? n ?1 1 1 1 1 C n? 1 , ,…, , P( x ? ) ? k ,k=n,n+1,n+2,…,n+m, n n n ?1 n?m k Cm ?n

(2)X 的所有可能取值为
n? m

?1 ?1 n 1 Ckn? 1 n? m Ckn? 1 1 从而 E ( X ) ? ? ( ? n ) ? n ? ? ,由此能证明 E(X)< . (m ? n)(n ? 1) Cn? m k ?n k k ?1 k Cn ? m

n ?1 Cm n ? n ?1 【解答】解: (1)编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p ? ; ? n Cm ? n m?n

证明: (2)∵X 的所有可能取值为

1 1 1 , ,…, , n n ?1 n?m

?1 1 C n? 1 P( x ? ) ? k ,k=n,n+1,n+2,…,n+m, n k Cm? n n? m ?1 ?1 ?1 1 Ckn? 1 n? m Ckn? 1 n? m Ckn? 1 1 1 ? ? ( ? ) ? ? ? ? ? n n n k C C k C k k ?1 n?m n? m k ?n n? m k ?n

∴ E( X ) ?



1
n Cn ?m

?1 ?2 1 Ckn? 1 n? m Ckn? n?2 n?2 n?2 1 2 ? n ?? ? ? (Cn ?? ? 2 ? Cn ?1 ? ? ? Cn ? m ? 2 ) n Cn? m k ?n n ? 1 (n ? 1)Cn? m k ?n k ? 1 n?m

?

n 1 n ?1 , ? Cn ? m ?1 ? n (m ? n)(n ? 1) (n ? 1)Cn? m n . (m ? n)(n ? 1)

∴ E( X ) <

【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查推理论证能 力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.


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