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中山一中2010-2011学年度第一学期第二次段考理科数学


中山一中 2010-2011 学年度第一学期第二次段考高二级 理科数学
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1.在 ? ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B =( A.-
2 2 3

) C. -
2 2

B.

2 2 3

6 3

D.

6 3

2 2.已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆 ? x ? 3 ? ? y =16 相切,则 p 的值为(

)

B.1 C.2 2 3.已知 a,b 都是正实数,则 x+y>a+b 且 xy>ab 是 x>a 且 y>b 的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 4.已知双曲线
2

A.

1

D.4 )

B.必要不充分条件 D.不充分也不必要条件
2 2

x a

2 2

?

y b

? 1( a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y= 3 x ,它的一个焦点在抛物线

y ? 24 x 的准线上,则双曲线的方程为(
x
2

)
x
2

A.

36 x
2

?

y

2

108 y
2

?1

B.

9 x
2

?

y

2

27 y
2

?1

C.

108

?

36

?1

D.

27

?

9

?1

5.正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中, BB1 与平面 AC D1 所成角的余弦值为(
2 3 3 3
2 3

)
6 3

A.

B.

C.

D.

6.某班设计了一个八边形的班徽(如图) ,它由腰长为 1, 顶角为 ? 的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成, 该八边形的面积为( ) A. 2 sin ? ? 2 cos ? ? 2 ; C. 3 sin ? ? 3 cos ? ? 1 ; B. sin ? ? 3 cos ? ? 3 D. 2 sin ? ? cos ? ? 1 )

7.设{an}是由正数组成的等比数列, S n 为其前 n 项和。已知 a2a4=1, S 3 ? 7 ,则 S 5 ? ( A.
15 2

B.

31 4

C.

33 4

D.

17 2

-1-

8. “若 f(x)在区间 D 上是凸函数,则对于区间 D 内的任意 x1,x2??xn,有 x1+x2+??+xn 1 )”设 f(x)=sinx 在(0,π )上 。 n [f(x1)+f(x2)+??+f(xn)]≤f( n 是凸函数,则在△ABC 中,sinA+sinB+sinC 的最大值是( A.
3 2

) D.
3 2

B.

1 2

C.

3 3 2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是_____;
r r 10..若向量 a =(1,1,x), b =(1,2,1), r r r r c =(1,1,1),满足条件 ( c ? a ) ? (2 b ) =-2,则 x =
2 2

. ;

11.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a ? b ? 则 A= __________ 12.不等式 ax2+bx+1≥0 的解集是[-1,3],a+b=__________;

3bc , sin C ? 2 3 sin B ,

13.已知数列{an}满足条件 a1=0,an+1=an+2n(n∈N*) ,那么的值是 a2010=_______.; 14.设{an}是等比数列,公比 q ?
2 ,Sn 为{an}的前 n 项和。记 Tn ?

17 S n ? S 2 n a n ?1

,n? N .
*

设 Tn0 为数列{ Tn }的最大项,则 n 0 =



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 12 15. (12 分) ? ABC 的面积是 30,内角 A , B , C 所对边长分别为 a , b , c , cos A ? 。 13 ??? ???? ? (Ⅰ)求 AB ?AC ; (Ⅱ)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值。

16.(12 分)已知 ? a n ? 为等差数列,且 a 3 ? ? 6 , a 6 ? 0 。 (Ⅰ)求 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)若等比数列 ? b n ? 满足 b1 ? ? 8 , b2 ? a1 ? a 2 ? a 3 ,求 ? b n ? 的前 n 项和公式。

-2-

圆 17(14 分)已知动圆 M 与 圆 C1 : ( x ? 4) ? y ? 4外 切 , C 2 : ( x- 4) ? y ? 100内 切 ,
2 2 2 2

求动圆圆心 M 的轨迹方程。

18. (14 分)已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥面 ABC,AB⊥AC,PA=AC=?AB,N 为 AB 上一点, AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. (Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小。

19. (14 分)某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳 水化合物, 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合 6 物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营状中至少含 64 个单位的碳水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

20. (14 分) 设 C1 , C 2 , ? , C n , ? 是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半 . 轴上,且都与直线 y ?
3 3

x 相切,对每一个正整数 n ,圆

C n 都与圆 C n ?1 相互外切,以 rn 表示 C n 的半径,已知 { rn }

为递增数列. (Ⅰ)证明: { rn } 为等比数列;
n (Ⅱ)设 r1 ? 1 ,求数列 { } 的前 n 项和. rn

-3-

班 姓 登 分 统考号

级 名 号

中山一中 2010-2011 学年度第一学期第二次段考 高二级 理科数学答题卷
成绩 一、选择题答卡 1 2 题号 答案 二、填空题答案 9、 10、 11、 14、 3 4 5 6 7 8

密 封 线 内 不 要 答 题

12、 13、 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 15. (本小题满分 12 分)

16. (本小题满分 12 分)

-4-

17. (本小题满分 14 分)

18. (本小题满分 14 分)

-5-

19. (本小题满分 14 分)

-6-

20. (本小题满分 14 分) 密 封 线 内 不 要 答 题

-7-

中山一中 2010-2011 学年第一学期第二次段考 高二级 理科数学答案
一、选择题 1 题号 答案 D 一、选择题答卡 2 3 C B 4 B 5 D 6 A 7 B 8 C

二、填空题答案 3 9、 5 12、 3 三、解答题

10、 2

11、 30

0

13、 4038090

14、

4
12 13

15. (12 分) ? ABC 的面积是 30,内角 A , B , C 所对边长分别为 a , b , c , cos A ?
??? ???? ? (Ⅰ)求 AB ?AC ;(Ⅱ)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值。



解:由 cos A ?
1 2

12 13

,得 sin A ? 1 ? (

12 13

) ?
2

5 13

.

?? 2 分 ?? 2 分 ?? 4 分
12 13 ) ? 25 ,



bc sin A ? 30 ,∴ bc ? 156 .

??? ???? ? 12 ? 144 . (Ⅰ) AB ? AC ? bc cos A ? 156 ? 13
2 2 2

(Ⅱ) a ? b ? c ? 2 bc cos A ? ( c ? b ) ? 2 bc (1 ? cos A ) ? 1 ? 2 ? 156 ? (1 ?
2

∴a ? 5 .

?? 4 分

16(12 分)已知 ? a n ? 为等差数列,且 a 3 ? ? 6 , a 6 ? 0 。 (Ⅰ)求 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)若等比数列 ? b n ? 满足 b1 ? ? 8 , b2 ? a1 ? a 2 ? a 3 ,求 ? b n ? 的前 n 项和公式 解: (Ⅰ)设等差数列 { a n } 的公差 d 。 因为 a 3 ? ? 6, a 6 ? 0
? a1 ? 2 d ? ? 6 所以 ? ? a1 ? 5 d ? 0

解得 a1 ? ? 10, d ? 2 ?? 3 分

?? 3 分

所以 a n ? ? 10 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 12 (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 因为 b2 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? 24, b2 ? ? 8 所以 ? 8 q ? ? 24 即 q =3

?? 3 分

-8-

所以 {bn } 的前 n 项和公式为 S n ?
2

b1 (1 ? q )
n

1? q
2

? 4(1 ? 3 )
n

?? 3 分

圆 17. (14 分)已知动圆 M 与 圆 C1 : ( x ? 4) ? y ? 4外 切 , C 2 : ( x- 4) ? y ? 100内 切 ,
2 2

求动圆圆心 M 的轨迹方程。 解:设动圆圆心 M 的半径为 R 则由已知 MC1 ? R ? 2,
MC 2 ? 10 ? R

?? 2 分 ?? 2 分 ?? 2 分

所以 MC1 ? MC 2 ? ( R ? 2) ? (10 ? R ) ? 12 又 C1 ( ? 4, 0), C 2 (4, 0), 所 以 C1C 2 =8 <12

根据椭圆定义知,点 M 的轨迹是以 C1 ( ? 4, 0), C 2 (4, 0) 为 焦 点 , 长轴为 12 的椭圆。? 2 分 因为 a ? 6, c ? 4, 所 以 b ? a ? c ? 20
2 2 2

?? 3 分 ?? 3 分

所以点 M 的轨迹方程是

x

2

36

?

y

2

20

?1

18(14 分)已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=?AB,N 为 AB 上一点, AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. (Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小. 证明:设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x,y,z 轴正向建立空间直角坐标系如 图。 1 1 1 则 P(0,0,1) ,C(0,1,0) ,B(2,0,0) ,M(1,0, ) ,N( ,0,0) ,S(1, ,0).?? 3 分 2 2 2 ???? ? ? 1 ??? 1 1 (Ⅰ) CM ? (1, ? 1, ), SN ? ( ? , ? , 0) , 2 2 2 ???? ??? ? ? 1 1 因为 CM ? SN ? ? ? ? 0 ? 0 , ?? 3 分 2 2 所以 CM⊥SN ?? 1 分 ???? 1 (Ⅱ) N C ? ( ? ,1, 0) , 2 设 a=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,
1 ? ? x ? y ? 2 z ? 0, ? 则? 令 x ? 2, 得 a=(2,1,-2). 1 ? ? x ? y ? 0. ? 2 ? 1 ?1 ? ??? ? 2 ? 2 因为 cos a , SN ? 2 2 3? 2

??4 分

?? 2 分

-9-

所以 SN 与平面 CMN 所成角为 45°。

?? 1 分

19. (14 分)某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳 水化合物, 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物, 6 6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外, 该儿童这两餐需要的营状中至少含 64 个单位 的碳水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并 且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 解:设为该儿童分别预订 x 个单位的午餐和 y 个单位的晚餐,设费用为 F,则 F ? 2 .5 x ? 4 y , ?? 2 分 由题意知:
12 x ? 8 y ? 64 6 x ? 6 y ? 42 6 x ? 10 y ? 54 x ? 0, y ? 0

?? 4 分

画出可行域:
5 8 F 4

变换目标函数: y ? ?

x?

图?? 2 分

?? 6 分 20. (14 分)

- 10 -

解 : ( 1) 将 直 线 y=

3 3

x的 倾 斜 角 记 为 ,则 有 tan ? = rn ? 1 2

3 3

, sin ? ?

1 2

,

设 C n的 圆 心 为 ( ? n, 0) , 则 由 题 意 得 知

?n

, 得 ? n ? 2 rn; 同 理

? n+1 ? 2 rn+1, 从 而 ? n+1 ? ? n ? rn ? rn+1 ? 2 rn+1, 将 ? n ? 2 rn 代 入 ,
解 得 rn+1 ? 3rn 故 rn 为 公 比 q ? 3的 等 比 数 列 。
n ?1

( ? ) 由 于 rn ? 1, q ? 3, 故 rn ? 3 记 Sn ? 1 r1 ? 2 r2
?1

,从而

n rn

? n *3

1? n



? ..... ? ? 3*3
?2

n rn

,则有
1? n

Sn ? 1 ? 2 * 3 Sn 3 ? 1* 3
?1

?2

? ......n * 3

? 2*3

? ...... ? ( n ? 1) * 3

1? n

? n*3

?n

① ? ② ,得 2S n 3 ? ? 1? 3
?n ?1

?3

?2

? ... ? 3 ? 3 2

1? n

? n*3 3 2 )*3

?n

1? 3 2 3

? n*3

?n

? (n ?

?n

,

? Sn ?

9 4

?

1 2

(n ?

3 2

)*3

1? n

?

9 ? (2 n ? 3) * 3 4

1? n

- 11 -


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