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2013高考百天仿真冲刺卷(理科数学试卷六)


2013 高考百天仿真冲刺卷

数 学(理) 试 卷(六)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1. 已知集合 A ? { x ? Z x ? 5} , B ? { x x ? 2 ? 0} ,则 A ? B 等于 (A) ( 2 , 5 ) (B) [ 2 , 5 ) (C) { 2 , 3, 4} 2.下列给出的函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是 (A) y ? 2 3. 设 a ? log
x

(D) {3, 4 , 5} (D) y ? x
3

(B) y ? x ? x
2

(C) y ? 2 x

2

3 , b ? log

4

3 , c ? 0 . 5 ,则

(A) c ? b ? a (B) b ? c ? a (C) b ? a ? c (D) c ? a ? b 4.设向量 a ? (1 , s in ? ) , b ? (3 s in ? ,1 ) ,且 a // b ,则 c o s 2? 等于 (A) ?
? 3

(B) ?

? 3

(C)

? 3

(D)

? 3

5. 阅读右侧程序框图,为使输出的数据为 3 1 ,则①处应填的数字为 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7
n 6.已知函数① y ? sin x ? cos x ,② y ? 2 2 si x cos x ,则下列结论正 确的是

开始

S ? 1,i ? 1

(A)两个函数的图象均关于点 ( ?

? 4

, 0 ) 成中心对称 ? 4

i?







(B)两个函数的图象均关于直线 x ? ? (C)两个函数在区间 ( ?
? 4 , ? 4

成中心对称

S ? S ? 2

i

输出 S

) 上都是单调递增函数

i ? i ?1

(D)两个函数的最小正周期相同 7.已知曲线 C : y ?
1 x ( x ? 0 ) 及两点 A1 ( x 1 , 0 ) 和 A 2 ( x 2 , 0 ) ,其中 x 2 ? x 1 ? 0 .过 A 1 , A 2 分别

结束

作 x 轴的垂线,交曲线 C 于 B 1 , B 2 两点,直线 B 1 B 2 与 x 轴交于点 A 3 ( x 3 , 0 ) ,那么 (A) x 1 ,
x3 2 , x 2 成等差数列

(B) x 1 ,

x3 2

, x 2 成等比数列

(C) x 1 , x 3 , x 2 成等差数列

(D) x 1 , x 3 , x 2 成等比数列

8.如图,四面体 OABC 的三条棱 OA , OB , OC 两两垂直, OA ? OB ? 2 , OC ? 3 , D 为四 面体 OABC 外一点.给出下列命题. ①不存在点 D ,使四面体 A B C D 有三个面是直角三角形 C ②不存在点 D ,使四面体 A B C D 是正三棱锥 ③存在点 D ,使 CD 与 AB 垂直并且相等 ④存在无数个点 D ,使点 O 在四面体 A B C D 的外接球面上 其中真命题的序号是 (A)①② (B)②③ O (C)③ (D)③④ A
-1-

D

B

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 在复平面内,复数
2i 1? i

对应的点到原点的距离为_____.

C O
?

B

P

10.如图,从圆 O 外一点 P 引圆 O 的切线 P A 和割线 P B C ,已知 P A ? 2 2 ,
P C ? 4 ,圆心 O 到 B C 的距离为
3 ,则圆 O 的半径为_____.

A

11.已知椭圆 C : ?

? x ? c o s? , ? y ? 2 s in ?

(? ? R ) 经过点 ( m ,

1 2

) ,则 m ? ______,离心率
3 3 4 3

e ? ______. 12.一个棱锥的三视图如图所示,则这个棱锥的体积为_____. 13.某展室有 9 个展台,现有 3 件展品需要展出,要求每件展品独自占用 1 个展

台,并且 3 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有 ______种;如果进一步要求 3 件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位, 则不同的展出方法有____种. 14.已知数列 { a n } 的各项均为正整数,对于 n ? 1, 2 , 3 , ? ? ? ,有
a n ?1 ? 3a n ? 5, a n为 奇 数 , ? 当 a1 ? 1 1 时 , ? ?a n , a n 为 偶 数 . 其 中 k 为 使 a n ? 1为 奇 数 的 正 整 数 ? k ?2

正(主)视图

侧(左)视图

3 4

俯视图

a 1 0 0 ? ______;
* 若存在 m ? N ,当 n ? m 且 a n 为奇数时, a n 恒为常数 p ,则 p 的值为______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 设 ? ABC 中的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,且 cos B ? (Ⅰ)当 a ?
5 3

4 5

,b ? 2 .

时,求角 A 的度数; (Ⅱ)求 ? ABC 面积的最大值.

16. (本小题满分 13 分) 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码,已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为
1 1 1 , , p .且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为 . 2 3 4

(Ⅰ)求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率; (Ⅱ)求 p 的值; (Ⅲ)设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望 E X .

-2-

17.(本小题满分 13 分) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, E ? 平面 ABCD , // DE , AF D 0 DE ? 3 AF , BE 与平面 ABCD 所成角为 60 . (Ⅰ)求证: A C ? 平面 B D E ; (Ⅱ)求二面角 F ? BE ? D 的余弦值; (Ⅲ) 设点 M 是线段 B D 上一个动点, 试确定点 M 的位置, 使得 A M // 平面 B E F ,并证明你的结论.

E

F

D

C B

A

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?
a ( x ? 1) x
2

,其中 a ? 0 .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若直线 x ? y ? 1 ? 0 是曲线 y ? f ( x ) 的切线,求实数 a 的值; (Ⅲ)设 g ( x ) ? x ln x ? x f ( x ) ,求 g ( x ) 在区间 [ 1 , e ] 上的最大值. (其中 e 为自然对数的底数)
2

-3-

19. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点为 F ,过 F 的直线交 y 轴正半轴于点 P ,交抛物线
2

于 A , B 两点,其中点 A 在第一象限. (Ⅰ)求证:以线段 F A 为直径的圆与 y 轴相切; (Ⅱ)若 F A ? ? 1 A P , B F ? ? 2 F A ,
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

?1 ?2

?[

1 4

,

1 2

] ,求 ? 2 的取值范围.

20.(本小题满分 13 分) 定义 ? ( a 1 , a 2 , ? , a n ) ? | a 1 ? a 2 | ? | a 2 ? a 3 | ? ? ? | a n ? 1 ? a n |为有限项数列 { a n } 的波动 强度.
n (Ⅰ)当 a n ? ( ? 1) 时,求 ? ( a 1 , a 2 , ? , a 1 0 0 ) ;

(Ⅱ)若数列 a , b , c , d 满足 ( a ? b )( b ? c ) ? 0 ,求证: ? ( a , b , c , d ) ? ? ( a , c , b , d ) ; (Ⅲ)设 { a n } 各项均不相等,且交换数列 { a n } 中任何相邻两项的位置,都会使数列的波 动强度增加,求证:数列 { a n } 一定是递增数列或递减数列.

2013 高考百天仿真冲刺卷

数学(理)试卷(六)参考答案
-4-

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 B 6 C 7 A 8 D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.
2

10. 2

11. ?

15 4



3 2

12. 1 2 13. 60 , 48 14. 6 2 ; 1 或 5 注:11 题,13 题,14 题第一问 2 分,第二问 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标 准给分. 15.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 cos B ? 因为 a ?
5 3

4 5

,所以 sin B ?

3 5
a

.
? b sin B

????????2 分 可得 sin A ?
1 2

, b ? 2 ,由正弦定理

. ???????4 分

sin A

因为 a ? b ,所以 A 是锐角, o 所以 A ? 30 . (Ⅱ)因为 ? ABC 的面积 S ?
1 2 ac sin B ? 3 10 8 5 ac ,

????????6 分 ????????7 分

所以当 ac 最大时, ? ABC 的面积最大. 因为 b ? a ? c ? 2 ac cos B ,所以 4 ? a ? c ?
2 2 2

2

2

ac .

????????9 分 ????????11 分

因为 a ? c ? 2 a c ,所以 2 a c ?
2 2

8 5

ac ? 4 ,

所以 ac ? 10 , (当 a ? c ? 1 0 时等号成立) 所以 ? ABC 面积的最大值为 3 .

????????12 分 ????????13 分

16.(本小题满分 13 分) 解:记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件 A 1 , A 2 , A 3 ,依题意有
P ( A1 ) ? 1 2 , P ( A2 ) ? 1 3 , P ( A 3 ) ? p , 且 A 1 , A 2 , A 3 相互独立.

(Ⅰ)甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为
1 ? P ( A1 ? A 2 ) ? 1 ?

1 2

?

2 3

?

2 3

.

???????3 分

(Ⅱ)设“三人中只有甲破译出密码”为事件 B ,则有
P ( B ) ? P ( A1 ? A 2 ? A 3 ) =

1 2

?

2 3

? (1 ? p ) ?

1? p 3



???????5 分 ????????7 分 ????????8 分

所以

1? p 3

?

1 4

,p ?

1 4

.

(Ⅲ) X 的所有可能取值为 0 ,1, 2 , 3 .

-5-

所以 P ( X ? 0 ) ?

1 4



P ( X ? 1) ? P ( A1 ? A 2 ? A 3 ) ? P ( A1 ? A 2 ? A 3 ) ? P ( A1 ? A 2 ? A 3 )

?

1 4

?

1 2

?

1 3

?

3 4

?

1 2

?

2 3

?

1 4

?

11 24



P ( X ? 2 ) ? P ( A1 ? A 2 ? A 3 ) ? P ( A1 ? A 2 ? A 3 ) ? P ( A1 ? A 2 ? A 3 )

?

1 2

?

1 3

?

3 4

?

1 2

?

2 3

? 1 2

1 4 ?

? 1 3

1 2 ?

? 1 4

1 3 ?

? 1

1 4

?

1 4

, ????????11 分

P ( X ? 3 ) = P ( A1 ? A 2 ? A 3 ) =

.

24

X 分布列为:
X
P
0
1 4

1
11 24

2
1 4

3
1 24

????????12 分 所以, E ( X ) ? 0 ?
1 4 ? 1? 11 24 ? 2? 1 4 ? 3? 1 24 ? 13 12

.

????????13 分 z E

17.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明: 因为 D E ? 平面 A B C D , 所以 DE ? AC . ????????2 分 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD , 从而 A C ? 平面 B D E . ????????4 分 (Ⅱ)解:因为 DA , DC , DE 两两垂直, 所以建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所示. 因为 BE 与平面 ABCD 所成角为 60 ,即 ? D B E ? 6 0 ,??5 分
0
?

所以

ED DB

F A x

D M B

C y

?

3 .
6 .

由 AD ? 3 可知 D E ? 3 6 , A F ?
???? ????

???6 分 ???7 分

则 A (3, 0 , 0 ) , F ( 3 , 0 , 6 ) , E ( 0 , 0 , 3 6 ) , B (3, 3, 0 ) , C ( 0 , 3, 0 ) , 所以 B F ? ( 0 , ? 3 , 6 ) , E F ? ( 3 , 0 , ? 2 6 ) ,
???? ??3 y ? ?n ? BF ? 0 ? ? 设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则 ? ???? ,即 ? ?n ? EF ? 0 ?3 x ? 2 ? ?

6z ? 0 6z ? 0



令z ?

??? ? ??? ? 因为 A C ? 平面 B D E ,所以 C A 为平面 B D E 的法向量, C A ? ( 3 , ? 3 , 0 ) , ??? ? ??? ? n ?CA 6 13 ? 所以 c o s ? n , C A ? ? . ???????9 分 ??? ? ? 13 3 2 ? 26 n CA

6 ,则 n ? ( 4 , 2 ,

6)

.

???????8 分

因为二面角为锐角,所以二面角 F ? BE ? D 的余弦值为 (Ⅲ)解:点 M 是线段 B D 上一个动点,设 M ( t , t , 0 ) . 则 A M ? (t ? 3, t , 0 ) ,
-6???? ?

13 13

.??????10 分

因为 A M // 平面 BEF , 所以 A M ? n ? 0 , 即 4 ( t ? 3) ? 2 t ? 0 ,解得 t ? 2 . 此时,点 M 坐标为 ( 2 , 2 , 0 ) , B M ? 18. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ? ( x ) ?
a (2 ? x) x
3

???? ?

???????11 分 ???????12 分
1 3 B D ,符合题意.

???????13 分

, x?0) ( ,

?????3 分

在区间 ( ? ? , 0 ) 和 ( 2 , ? ? ) 上, f ? ( x ) ? 0 ;在区间 ( 0 , 2 ) 上, f ? ( x ) ? 0 . 所以, f ( x ) 的单调递减区间是 ( ? ? , 0 ) 和 ( 2 , ? ? ) ,单调递增区间是 ( 0 , 2 ) .???4 分
a ( x 0 ? 1) ? y ? 2 ? 0 x0 ? ? (Ⅱ)设切点坐标为 ( x 0 , y 0 ) ,则 ? x 0 ? y 0 ? 1 ? 0 ? a (2 ? x0 ) ? ?1 3 x0 ? ?

?????7 分(1 个方程 1 分)

解得 x 0 ? 1 , a ? 1 . (Ⅲ) g ( x ) ? x ln x ? a ( x ? 1) , 则 g ? ( x ) ? ln x ? 1 ? a , 解 g ? ( x ) ? 0 ,得 x ? e 所以,在区间 ( 0 , e 在区间 ( e 当e 当e
a ?1
a ?1 a ?1

?????8 分 ???????9 分 , ?????10 分 ??????11 分 ??????12 分

a ?1

) 上, g ( x ) 为递减函数,

, ? ? ) 上, g ( x ) 为递增函数.

? 1 ,即 0 ? a ? 1 时,在区间 [ 1, e ] 上, g ( x ) 为递增函数,

所以 g ( x ) 最大值为 g ( e ) ? e ? a ? a e .
a ?1

? e ,即 a ? 2 时,在区间 [ 1, e ] 上, g ( x ) 为递减函数,

所以 g ( x ) 最大值为 g ( 1 ) ? 0 . 当1 < e
a ?1

< e ,即 1 ? a ? 2 时, g ( x ) 的最大值为 g ( e ) 和 g ( 1 ) 中较大者;

g ( e ) ? g ( 1 ) ? a ? e ? a e ? 0 ,解得 a ?

e e ?1

, ???????13 分 ???????14 分
e e ?1

所以, 1 ? a ?
e e ?1

e e ?1

时, g ( x ) 最大值为 g ( e ) ? e ? a ? a e ,

? a ? 2 时, g ( x ) 最大值为 g ( 1 ) ? 0 .

综上所述,当 0 ? a ? 的最大值为 g ( 1 ) ? 0 . 19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知 F ( 圆心坐标为 (
p 2

e e ?1

时, g ( x ) 最大值为 g ( e ) ? e ? a ? a e ,当 a ?

时, g ( x )

, 0 ) ,设 A ( x 1 , y 1 ) ,则 y 1 ? 2 p x 1 ,
2

2 x1 ? p 4

,

y1 2

) ,圆心到 y 轴的距离为

2 x1 ? p 4



???????2 分

-7-

圆的半径为

FA 2

?

1 2

? x1 ? ( ?

p 2

) ?

2 x1 ? p 4



???????4 分 ???????5 分

??? ? ??? ??? ? ? ??? ? (Ⅱ)解法一:设 P ( 0 , y 0 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,由 F A ? ? 1 A P , B F ? ? 2 F A ,得
( x1 ? p 2 , y 1 ) ? ? 1 ( ? x1 , y 0 ? y 1 ) , ( p 2 p 2 ? x 2 , ? y 2 ) ? ? 2 ( x1 ? p 2

所以,以线段 F A 为直径的圆与 y 轴相切.

, y 1 ) , ???????6 分

所以 x 1 ?
p 2

? ? ? 1 x1 , y 1 ? ? 1 ( y 0 ? y 1 ) , p 2 ) , y 2 ? ? ? 2 y1 ,

? x 2 ? ? 2 ( x1 ?

???????8 分

2 2 2 由 y 2 ? ? ? 2 y 1 ,得 y 2 ? ? 2 y 1 . 2 2 又 y1 ? 2 p x1 , y 2 ? 2 p x 2 , 2 所以 x 2 ? ? 2 x 1 .

???????10 分
p 2 ) ,得 p 2 ? ? 2 x1 ? ? 2 ( x1 ?
2

代入

p 2

? x 2 ? ? 2 ( x1 ?
p 2?2

p 2

),

p 2

(1 ? ? 2 ) ? x 1 ? 2 (1 ? ? 2 ) ,

整理得 x 1 ? 代入 x 1 ? 所以 因为
1


p 2?2 ? p 2 ? ?

???????12 分
?1 p
2?2

p 2

? ? ? 1 x 1 ,得

, ???????13 分
4 3 , 2] .

?2 ?1 ?2

?1? 1 4

?1 ?2
, 1 2


] ,所以 ? 2 的取值范围是 [

?[

???????14 分

解法二:设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) , A B : x ? m y ? 将x ? my ?
p 2
2 所以 y 1 y 2 ? ? p (*) ,

p 2


2

代入 y ? 2 p x ,得 y ? 2 p m y ? p ? 0 ,
2 2

???????6 分

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 由 F A ? ? 1 A P , B F ? ? 2 F A ,得
( x1 ? p 2 , y 1 ) ? ? 1 ( ? x1 , y 0 ? y 1 ) , ( p 2 p 2 ? x 2 , ? y 2 ) ? ? 2 ( x1 ? p 2 , y 1 ) ,???????7 分

所以, x 1 ?
p 2

? ? ? 1 x1 , y 1 ? ? 1 ( y 0 ? y 1 ) , p 2 ) , y 2 ? ? ? 2 y1 ,

? x 2 ? ? 2 ( x1 ?

???????8 分 ???????10 分 ???????12 分

将 y 2 ? ? ? 2 y 1 代入(*)式,得 y 1 2 ? 所以 2 p x 1 ? 代入 x 1 ?
p 2

p

2

?2



p

2

?2

, x1 ?

p 2?2 1

.
?1?

? ? ? 1 x 1 ,得

?1 ?2

?2

.

???????13 分

-8-

因为

?1 ?2

?[

1 4

,

1 2

] ,所以 ? 2 的取值范围是 [

4 3

, 2] .

???????14 分

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: ? ( a 1 , a 2 , ? , a 1 0 0 ) ? | a 1 ? a 2 | ? | a 2 ? a 3 | ? ? ? | a 9 9 ? a 1 0 0 |
? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 99 ? 198 .

??????1 分 ??????3 分

(Ⅱ)证明:因为 ? ( a , b , c , d ) ? | a ? b | ? | b ? c | ? | c ? d | ,
? (a , c, b , d ) ?| a ? c | ? | c ? b | ? | b ? d | ,

所以 ? ( a , b , c , d ) ? ? ( a , c , b , d ) ? | a ? b | ? | c ? d | ? | a ? c | ? | b ? d | 因为 ( a ? b )( b ? c ) ? 0 ,所以 a ? b ? c ,或 a ? b ? c . 若 a ? b ? c ,则

.

??4 分

? (a, b, c, d ) ? ? (a, c, b, d ) ? a ? b ? | c ? d | ? a ? c ? | b ? d | ? c ? b ? | c ? d | ? | b ? d |

当 b ? c ? d 时,上式 ? c ? b ? c ? d ? ( b ? d ) ? 2 ( c ? b ) ? 0 , 当 b ? d ? c 时,上式 ? c ? b ? d ? c ? ( b ? d ) ? 2 ( d ? b ) ? 0 , 当 d ? b ? c 时,上式 ? c ? b ? d ? c ? ( d ? b ) ? 0 , 即当 a ? b ? c 时, ? ( a , b , c , d ) ? ? ( a , c , b , d ) ? 0 . 若a ? b ? c , 则? ( a , b , c , d ) ? ? ( a , c , b , d ) ? b ? a ? | c ? d | ? c ? a ? | b ? d | , ??????6 分

? b ? c ? | c ? d | ? | b ? d |? 0 .(同前)

所以,当 ( a ? b )( b ? c ) ? 0 时, ? ( a , b , c , d ) ? ? ( a , c , b , d ) 成立. ?????7 分 (Ⅲ)证明:由(Ⅱ)易知对于四个数的数列,若第三项的值介于前两项的值之间,则 交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.(将此作为引理) 下面来证明当 a 1 ? a 2 时, { a n } 为递减数列. (ⅰ)证明 a 2 ? a 3 . 若 a 1 ? a 3 ? a 2 ,则由引理知交换 a 2 , a 3 的位置将使波动强度减小或不变,与已知矛盾. 若 a3 ? a1 ? a 2 ,则
? ( a 1 , a 2 , a3 ) ? | a 1 ? a 2 | ? | a 2 ? a3 | ? | a 1 ? a 2 | ? | a 1 ? a3 | ? ? ( a 2 , a 1 , a3 ) ,与已知矛盾.

所以, a 1 ? a 2 ? a 3 . (ⅱ)设 a 1 ? a 2 ? ? ? a i ( 3 ? i ? n ? 2 ) ,证明 a i ? a i ? 1 .

??????9 分

若 a i ? 1 ? a i ? 1 ? a i ,则由引理知交换 a i , a i ? 1 的位置将使波动强度减小或不变,与已知矛 盾. 若 a i ? 1 ? a i ? 1 ? a i ,则 ? ( a i ? 2 , a i ? 1 , a i , a i ? 1 ) ? ? ( a i ? 2 , a i , a i ? 1 , a i ? 1 ) ,与已知矛盾. 所以, a i ? a i ? 1 . (ⅲ)设 a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 ,证明 a n ? 1 ? a n . 若 a n ? a n ? 1 ,考查数列 a n , a n ? 1 , ? , a 2 , a 1 , 则由前面推理可得 a n ? a n ? 1 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 ,与 a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 矛盾. 所以, a n ? 1 ? a n . 综上,得证. 同理可证:当 a 1 ? a 2 时,有 { a n } 为递增数列. ?????12 分 ??????13 分 ????11 分

-9-


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