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上海市徐汇、松江、金山三区2014届高三下学期4月学习能力诊断(二模)数学理试题

上海市徐汇、松江、金山三区 2014 届高三下学期 4 月学习能力诊断(二模)数学理试题 2014.4 一. 填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分) 1 . 已 知 集 合 ? x?2 ? A ? ?x | ? 0 ? , B ? ? x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, x ? R? , 则 ? x?5 ? A ? B ? ____________. 2.直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角的大小是____________. 3.函数 y ? cos ? 2 x ? 4.函数 y ? x ? ? ? ?? ? 的单调递减区间是____________. 4? 2 ? x ? 2 ? 的值域是____________. x 5.设复数 z 满足 i ? z ? 1? ? ?3 ? 2i ,则 z =____________. 6.某学校高一、高二、高三共有 2400 名学生,为了调查学生的课余学习情况,拟采用分层 抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本.已知高一有 820 名学生,高二有 780 名学生,则在 该学校的高三应抽取____________名学生. 7.函数 f ? x ? ? sin x ? cos x cos ?? ? x ? 2sin x cos x ? sin x ?1 的最小正周期 T =____________. 8.已知函数 f ( x) ? arcsin (2 x ? 1) ,则 f ( ) ? ____________. 6 ? 9.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ACB ? 900 , AA1 ? 2, AC ? BC ? 1 ,则异面直 线 A1 B 与 AC 所成角的余弦值是____________. 1 ? ? 10.若 ? 1 ? 2 ? ? n ? N ? , n ? 1? 的展开式中 x ?4 的系数为 an , ? x ? 则 lim ? n ?1 1 ? ? n ?? a ? 2 a3 ? 1? ? =____________. an ? 11.在极坐标系中,定点 A (2, ? 2 ), 点 B 在直线 ? cos? ? ? sin ? ? 0 上运动,则点 A 和点 B 间的最短距离为____________. 12 . 如 图 , 三 行 三列 的方 阵 中 有 9 个数 aij (i ? 1, 2, 3;j ? 1, 2, 3) , 从 中 任 取 三 个 数 , 第 1 页 共 10 页 ? a11 a12 a13 ? ? ? ? a21 a22 a23 ? ?a ? ? 31 a32 a33 ? 则至少有两个数位于同行或同列的概率是____________. (结果用分数表示) 13.如图所示,在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中,动圆 Q 的半径为 1, 圆心在线段 CD (含端点)上运动, P 是圆 Q 上及内部的动点,设向量 ,则 m ? n 的最大值为____________. AP ? m AB ? n AF (m, n 为实数) 14 . 对 于 集 合 A ? {a1 , a2 , ???, an } ( n ? N , n ? 3) , 定 义 集 合 * S ? {x x ? ai ? a j ,1 ? i ? j ? n} ,记集合 S 中的元素个数为 S ( A) .若 a1 , a2 , ???, an 是公差 大于零的等差数列,则 S ( A) =____________. 二.选择题: (本题满分 20 分,每小题 5 分) 15 . 已 知 直 线 l ? 平 面 ? , 直 线 m ? 平 面 ? , 给 出 下 列 命 题 , 其 中 正 确 的 是 -------------( ① ? // ? ? l ? m ③ l // m ? ? ? ? A.②④ B. ②③④ ) ② ? ? ? ? l // m ④ l ? m ? ? // ? C. ①③ D. ①②③ 16 .在 ?ABC 中,角 A 、 B、 C 的对边分别是 a 、 b、 c ,且 ?A ? 2?B ,则 ( ) a A. c sin B 等于 ------sin 3B B. c b C. b a D. b c 17.函数 y ? 1 ? ( x ? 2) 2 图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下 不 .可 .能 .成 为 公 比 的 数 是 ---------------------------------------------------------------------------------( ) A. 3 2 B. 1 2 C. 3 3 D. 3 18.设圆 O1 和圆 O2 是两个相离的定圆,动圆 P 与这两个定圆都相切,则圆 P 的圆心轨迹 可能是 ①两条双曲线;②一条双曲线和一条直线;③一条双曲线和一个椭圆.以上命题正 确的是--( ) 第 2 页 共 10 页 A.① ③ B.② ③ C.① ② D.① ② ③ 三. 解答题: (本大题共 5 题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分,第(1)小题6分,第(2)小题6分) 如图,△ ABC 中, ?ACB ? 90 0 , ?ABC ? 30 0 , BC ? 3 ,在三角形内挖去一个半圆 (圆心 O 在边 BC 上,半圆与 AC 、 AB 分别相切于点 C 、 M ,与 BC 交于点 N ) ,将△ ABC 绕直线 BC 旋转一周得到一个旋转体. (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; (2)求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积. 20. (本题满分 14 分) 如图所示,某旅游景点有一座风景秀丽的山峰,山上有一条笔直的山路 BC 和一条索道 AC, 小王和小李打算不

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