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2017-2018学年高中数学(苏教版必修2)同步课件:第2章2.3.2空间两点间的距离


阶 段 一

阶 段 三

2.3.2

空间两点间的距离
学 业 分 层 测 评

阶 段 二

1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.(重点) 2.会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离.(难点)

[ 基础· 初探] 教材整理 1 空间两点间的距离公式 阅读教材 P120~P121,完成下列问题. 1 . 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 两 点 P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) 间 的 距 离 为 P1P2 =
2 2 2 2 ? x - x ? + ? y - y ? x + y 2 1 2 1 _____________________. 特别地,点 A(x,y)到原点距离为 OA=__________.

2 . 空 间 两 点 P1(x1 , y1 , z1) , P2(x2 , y2 , z2) 的 距 离 公 式 是 P1P2 =
2 2 2 ? x - x ? + ? y - y ? + ? z - z ? 2 1 2 1 2 1 _______________________________. 特别地,点 A(x,y,z)到原点的距离公式为 OA 2 2 2 x + y + z =___________________.

1.点 P(-2,-1,1)到原点的距离为________.

【解析】 PO= ?-2?2+?-1?2+12= 6.

【答案】

6

2.点 A(1,0,2),B(-3,4,0),则|AB|=________.

【解析】 |AB|= ?1+3?2+?0-4?2+?2-0?2= 36=6.
【答案】 6

3. 给定空间直角坐标系, 在 x 轴上找一点 P, 使它与点 P0(4,1,2)的距离为 30, 则该点的坐标为__________.

【解析】 设点 P 的坐标是(x,0,0), 由题意得, P0P= 30, 即 ?x-4?2+12+22 = 30,∴(x-4)2=25,解得 x=9 或 x=-1. ∴点 P 的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).
【答案】 (9,0,0)或(-1,0,0)

教材整理 2 空间两点的中点坐标公式 阅读教材 P122,完成下列问题. 连结空间两点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的线段 P1P2 的中点 M 的坐标为 ?x1+x2 y1+y2 z1+z2? ? ? , , ? 2 2 2 ? _____________________________. ? ?

1.若 O 为原点,P 点坐标为(2,-4,-6),Q 为 OP 中点,那么 Q 点的坐标 为________.

2+0 -4+0 -6+0 【解析】 设 Q(x,y,z),则 x= 2 =1,y= 2 =-2,z= 2 =- 3, ∴Q(1,-2,-3).
【答案】 (1,-2,-3)

2.如图 2-3-10,在长方体 OABC-O1A1B1C1 中,OA=2,AB=3,AA1=2, M 是 OB1 与 BO1 的交点,则 M 点的坐标是________.

图 2-3-10

【解析】 ∵OA=2,AB=3,AA1=2, ∴O(0,0,0),B1(2,3,2). 又∵M 为 OB1 的中点,
? ? 3 ∴M?1,2,1?. ? ?

【答案】

? ? 3 ?1, ,1? 2 ? ?

[小组合作型]
空间中两点间距离的计算

如图 2-3-11, 已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a, M为 BD′的中点,点 N 在 A′C′上,且 A′N=3NC′,试求 MN 的长.

图 2-3-11

【精彩点拨】 解答本题关键是先建立适当坐标系,把 M,N 两点的坐标表 示出来,再利用公式求长度.
【自主解答】 以 D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

因为正方体的棱长为 a,所以 B(a,a,0),A′(a,0,a),C′(0,a,a),D′(0,0, a).

由于 M 为 BD′的中点,取 A′C′的中点 O′, 所以
?a a a? ?a a ? M?2,2,2?,O′?2,2,a?. ? ? ? ?

因为 A′N=3NC′, 所以 N 为 A′C′的四等分点, 从而 N 为 O′C′的中点, 故
?a 3a ? N?4, 4 ,a?,根据空间两点距离公式,可得 ? ?

MN=

?a a? ?a 3a? ?a ? 2 2 ? - ? +? - ? +? -a?2= 4 ? ?2 ?2 4? ?2 ?

6 4 a.

利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤: (1)建立适当的坐标系,并写出相关点的坐标; (2)代入空间两点间的距离公式求值.

[ 再练一题] 1.已知△ABC 的三个顶点 A(1,5,2),B(2,3,4),C(3,1,5). (1)求△ABC 中最短边的边长; (2)求 AC 边上中线的长度.

【解】 (1)由空间两点间距离公式得 AB= ?1-2?2+?5-3?2+?2-4?2=3, BC= ?2-3?2+?3-1?2+?4-5?2= 6, AC= ?1-3?2+?5-1?2+?2-5?2= 29, ∴△ABC 中最短边是 BC,其长度为 6.

(2)由中点坐标公式得,AC ∴AC 边上中线的长度为 ?2-2? +?3-3?
2 2

? 7? 的中点坐标为?2,3,2?. ? ?

? 7? 2 1 +?4-2? =2. ? ?

[探究共研型]
空间两点间距离公式的应用
探究 1 在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2),B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上, 且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐标是什么?

【提示】

设 M(0 , a,0) , 由 已 知 得 MA = MB , 即

12+a2+22 =

12+?-3-a?2+12,解得 a=-1,故 M(0,-1,0).
探究 2 方程(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=25 的几何意义是什么?

【提示】 依题意 ?x-1?2+?y-2?2+?z-3?2=5, 点(x, y, z)是空间中到点(1,2,3) 距离等于 5 的点,即以点(1,2,3)为球心,以 5 为半径的球面.

已知 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),求 AB 取最小值时 A,B 两 点的坐标,并求此时的 AB 的长度.

【精彩点拨】 解答本题可由空间两点间的距离公式建立 AB 关于 x 的函数, 由函数的性质求 x,再确定坐标.

【自主解答】 由空间两点间的距离公式得 AB= ?1-x?2+[?x+2?-?5-x?]2+[?2-x?-?2x-1?]2 = 14x -32x+19=
2

? 8?2 5 14?x-7? +7, ? ?

8 当 x=7时 ,AB 有最小值 此时

5 35 7= 7 ,

?8 27 9? ? 22 6? A?7, 7 ,7?,B?1, 7 ,7?. ? ? ? ?

解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征,应用空间两点间的距离公式建 立已知与未知的关系,再结合已知条件确定点的坐标.

[ 再练一题] 2.如图 2-3-12 所示,正方形 ABCD,ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD, ABEF 互相垂直, 点 M 在 AC 上移动, 点 N 在 BF 上移动, 若 CM=BN=a(0<a< 2).

(1)求 MN 的长;

图 2-3-12

(2)当 a 为何值时,MN 的长最小. 【导学号:41292121】

【解】

以 B 为坐标原点,BA,BE,BC 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴

建立空间直角坐标系,如图所示.

∵正方形 ABCD,ABEF 的边长都是 1,且 CM=BN=a(0<a< 2), ∴易得点 M,N 的坐标分别为
? M? ? ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ? ? ? , N . a , 0 , 1 - a a , a , 0 ? ? ? 2 2 ? 2 ? 2 ?

1.点 M(4,-3,5)到原点的距离 d1=________,到 z 轴的距离 d2=________.

【解析】 d1= 42+?-3?2+52= 50=5 2 d2= ?4-0?2+?-3-0?2+?5-5?2=5.

【答案】 5 2 5

2.已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,1), 则 BC 边上的中线长为________.
【解析】 ∵B(4,-2,-2),C(0,5,1), ∴BC
? 3 1? 的中点为?2,2,-2?, ? ?

【导学号:41292122】

∴BC 边上的中线长为

【答案】

30 2

3.已知点 A(x,1,2)和点 B(2,3,4),且 AB=2 6,则实数 x 的值是________.
【解析】 由题意得 ?x-2?2+?1-3?2+?2-4?2=2 6,解得 x=-2 或 x=6.
【答案】 -2 或 6

4.在空间直角坐标系中,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A(3,-1,2),其中 心 M 的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长等于__________.

【解析】 ∵AM= ?3-0?2+?-1-1?2+?2-2?2 = 13, ∴正方体的体对角线长为 2 13. ∵3a2=52(a 为正方体的棱长), 2 39 ∴a= 3 .
2 39 【答案】 3

5.已知 A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)为三角形的三个顶点,求证:三 角形 ABC 为直角三角形.

【证明】 由空间两点间的距离公式得 AB= ?4-1?2+?2+2?2+?3-11?2= 89, BC= ?6-4?2+?-1-2?2+?4-3?2= 14, AC= ?6-1?2+?-1+2?2+?4-11?2= 75,∵AB2=BC2+AC2, ∴△ABC 为直角三角形,∠C 为直角.


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