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三角与平面向量中档题复习(学生版)


高考中档题复习秘籍

三角函数与平面向量 三角函数: 三角函数: 内容:三角函数、三角恒等变换、解三角形 试题特点】 【试题特点】 加强对三角函数图象和性质的考查,重点转移到对基础知识和基本技能的考 查.热点是恒等变换与解三角形,特点是三角形中的三角函数问题要充分重视, 解答题考查内容大致可以分为以下四类: (1)利用三角变换和诱导公式,考查求值、化简问题; (2)转化 f ( x) = A sin(ω x + ? ) 型函数,考查与其图像、性质(如周期性、奇偶 转化为 转化 性、单调性、最值等)有关问题; (3)三角变换及解三角形; (利用正余弦定理和相应的三角变换,考查三角形 的边角关系及解三角形与实际应用问题) ; (4)穿插考查函数概念和性质、向量运算等知识. 试题如下: (1)利用三角变换和诱导公式,考查求值、化简问题; 利用三角变换和诱导公式, 利用三角变换和诱导公式 考查求值、化简问题; 2 π? ? ? π 3π ? 1.(08 天津)已知 cos? x ? ? = ( , x∈? , ? . 4 ? 10 ? ?2 4 ? (Ⅰ)求 sin x 的值;

π? ? (Ⅱ)求 sin ? 2 x + ? 的值. 3? ?
4 5

解: (Ⅰ) sin x =

π? π π 24 + 7 3 ? (Ⅱ) sin ? 2 x + ? = sin 2 x cos + cos 2 x sin = ? 3? 3 3 50 ?
2.如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A ,点 C 、 B 在圆 O 上,且点 C 位于第
4 3 一象限,点 B 的坐标为 ( , ? ) , ∠AOC = α . 5 5

y

(Ⅰ)求圆 O 的半径及 C 点的坐标;
3 (Ⅱ)若 BC = 1 ,求 3 cos ? sin cos ? 的值. 2 2 2 2
2

α

α

α

O

α

C A x B

4 3 解: (Ⅰ)半径 r = OB = ( ) 2 + (? ) 2 = 1 , 5 5
点 C 的坐标为 (cos α ,sin α ) ; (Ⅱ)由(1)可知 OB = OC = BC = 1 ,∴∠BOC =

π
3

1

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3 cos 2

α
2

? sin

α
2

cos

α
2

?

3 2

= sin ∠BOA =

3 5

3.已知 α 为锐角,且 tan( + α ) = 2 . 4 (Ⅰ)求 tan α 的值; sin 2α cos α ? sin α (Ⅱ)求 的值. cos 2α 1 (Ⅰ) tan α = . 解: 3 (Ⅱ)
sin 2α cos α ? sin α 10 = cos 2α 10

π

(2)转化 f ( x) = A sin(ω x + ? ) 型函数,考查与其图像、性质(如周期性 、奇 转化为 型函数,考查与其图像、性质(如周期性、 转化 偶性、单调性、最值等)有关问题 偶性、单调性、最值等)有关问题;
1.已知函数 f ( x ) = A sin (ω x + ? ) , x ∈ R (其中 A > 0, ω > 0, ?

π
2

<? <

π
2

),

其部分图象如图所示.
(I)求 f ( x ) 的解析式; (II)求函数 g ( x) = f ( x +

π

π ? π? ) ? f ( x ? ) 在区间 ?0, ? 上的 4 4 ? 2? π
4

最大值及相应的 x 值. 解: (I) f ( x) = sin( x + (II)当 x =
).

π
4

时, g (x) 取得最大值

1 . 2

2.已知函数 f ( x) = sin(ω x + ? )(ω > 0,| ? |< π ) 的图象如图所示.

(Ⅰ)求 ω , ? 的值; (Ⅱ)设 g ( x) = f ( x) f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 的单调递增区间.
4

y 1

π

O

π
4

π
2

x

?1
2

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π 2π = 2 , ∴? = ? , T 2 kπ π k π π (Ⅱ)函数 g ( x) 的单调增区间为 [ ? , + ] (k ∈ Z) 2 8 2 8
解: (Ⅰ) ω = 3.已知函数 f ( x) = sin(ω x + ? )(ω > 0,≤ ? ≤ π) 是 R 上的偶函数,其图象关于点 . 0
? 3π ? ? π? M ? ,? 对称,且在区间 ?0, ? 上是单调函数.求 ? 和 ω 的值. 0 ? 4 ? ? 2? 解: cos ? = 0 ∴? =

π
2



3ωπ 3ωπ ? 3π ? ? 3ωπ π ? ∵ f ? ? = sin ? ,∴ cos = 0, + ? = cos 4 2? 4 ? 4 ? ? 4 又 ω > 0 ,得
3ωπ π = + k π , k = 0,2, 1 ? , 4 2 2 ∴ ω = (2k + 1),k = 0,2, 1 ? , 3

当 k = 0 时, ω =

2 π ? ? π? ?2 , f ( x) = sin ? x + ? 在 ?0, ? 上是减函数; 3 2 ? ? 2? ?3

π ? ? π? ? 当 k = 1 时, ω = 2 , f ( x) = sin ? 2 x + ? 在 ?0, ? 上是减函数; 2 ? ? 2? ?
当 k ≥ 2 时, ω ≥
综上可知, ω = 10 π ? ? π? ? , f ( x) = sin ? ω x + ? 在 ?0, ? 上不是单调函数. 3 2 ? ? 2? ?

π 1 4.设函数 f ( x) = 3 sin x cos x ? cos x sin( + x) ? . 2 2
(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ∈ [0, ] 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值. 2 2π 解: (Ⅰ) T = =π , 2 (Ⅱ)当 2 x ? 当 2x ?

2 或ω = 2 . 3

π

π

π

6

=

π

2

,即 x =

π

6

=?

π

3

时, f (x) 有最大值 0 ,

3 ,即 x = 0 时, f (x) 有最小值 ? . 6 2

5.已知函数 f ( x) = a sin x + b cos x 的图象经过点 ( ,0), ( ,1). 6 3 (I)求实数 a、b 的值;

π

π

3

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(II)若 x ∈ [0, ] ,求函数 f (x) 的最大值及此时 x 的值. 2 解: I) a = 3 , b = 1 ( (II)由(I)知: f ( x) = 3 sin x ? cos x = 2 sin( x ?
∵ x ∈ [0, ],∴ x ? ∈ [? , ], 2 6 6 3
∴ 当x ?

π

π
6

)

π

π

π π

π

6

=

π

3

, 即x =

π

2

时, …………12 分

f (x) 取得最大值 3.

6.已知函数 f ( x) = cos(2 x ?

π
3

) + sin 2 x ? cos 2 x.

(I)求函数 f (x) 的最小正周期及图象的对称轴方程; (II)设函数 g ( x) = [ f ( x)]2 + f ( x), 求 g ( x) 的值域. 解: I) T = (
2π =π 2

函数图象的对称轴方程为 x =

1 (II) g ( x) 取得最大值 2,所以 g ( x) 的值域为 [? ,2]. 4 7.已知函数
(I)求 ? 解: I) (
∴? =

kπ π + (k ∈ Z ). 2 3

f ( x) = A sin 2 (ω x + ? )( A > 0, ω > 0, 0 < ? <

π

) 2 ,且 y = f ( x) 的最大值为

2,其图象相邻两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2).

(II)计算 f (1) + f (2) + ... + f (2011)

π
4.

(II)∴ f (1) + f (2) + ... f (2011) = 4 × 502 + 2 + 1 + 0 = 2011 ( 3 )三角变换及解三角形; 利用正余弦定理和相应的三角变换,考查三角 三角变换及解三角形; (利用正余弦定理和相应的三角变换 三角变换及解三角形 (利用正余弦定理和相应的三角变换, 形的边角关系及解三角形与实际应用问题) 形的边角关系及解三角形与实际应用问题)
3 5 C = π sin A = 4 , 5 . 1.在 ?ABC 中,角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,且

(Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)若 c ? a = 5 ? 10 ,求 ?ABC 的面积.
4

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解: (Ⅰ)
sin B = 10 10

(Ⅱ)

S ?ABC =

1 1 10 5 ac sin B = 10 ? 5 ? = 2 2 10 2.

3 5 B C ( 在 角 b c 且 sin . 2. 文) ?ABC 中, A , , 所对的边分别为 a , , , C = π , A = 4 5

(Ⅰ)求 cos A , sin B 的值; (Ⅱ)若 ab = 2 2 ,求 a , b 的值. 解: (Ⅰ) cos A = 1 ? sin 2 A =
2 5 . 5

则 sin B = sin( ? A) = sin cos A ? cos sin A 4 4 4
=
2 2 5 2 5 10 ? ? ? = . 2 5 2 5 10

π

π

π

(Ⅱ). a = 2 , b = 2 .
3.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,满足 sin

A 5 = ,且 ?ABC 的面积为 2 5

2.

(Ⅰ)求 bc 的值; (Ⅱ)若 b + c = 6 ,求 a 的值. 解: (Ⅰ) bc = 5 . (Ⅱ) a = 2 5 .
4. ?ABC 中, A , , 所对的边分别为 a , , , a = 1 , = 2 , C = 在 角 B C b c 且 c cos 3 . 4

(Ⅰ)求 sin( A + B) 的值; (Ⅱ)求 sin A 的值; (Ⅲ)求 CB ? CA 的值.

5

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解: (Ⅰ) sin( A + B ) =

7 . 4

(Ⅱ) sin A =

a sin C = c



7 4 = 14 . 8 2
3 3 = . 4 2
B+C 取得 2

(Ⅲ) CB ? CA = CB × CA × cos C = 1× 2 ×

5.已知 △ ABC 的三个内角 A,B,C ,求当 A 满足何值时 cos A + 2 cos
最大值,并求出这个最大值. B+C π? A 解: cos A + 2 cos = cos A + 2 cos 2 2 A A A = cos A + 2sin = 1 ? 2 sin 2 + 2 sin . 2 2 2 ∵ A∈ (0,π) ,∴

A ? π? ∈ ? 0, ? , 2 ? 2?
2

∴令 sin 当t =

A ? 1? 3 = t ,则 t ∈ (0, ,原式可化为 ?t 2 + 2t + 1 = ?2 ? t ? ? + . 1) 2 ? 2? 2

1 A π π 3 ,即 = , A = 时,原式取得最大值 2 2 6 3 2 6.已知点 D 是 Rt ?ABC 斜边 BC 上一点,且 AB = AD ,
∠CAD = α , ∠ABC = β

A



1)证明: sin α + cos 2 β = 0 2)若 AC = 3DC ,求 β 的值 略解:1)易知:

B

D

C

π β =α +( ? β)
2
2)∵ 3 =

∴β =

α
2

+

π
4

∴ cos 2 β = ? sin α

得证

AC sin(π ? β ) sin β = = DC sin α ? cos 2 β

∴ 2 3 sin 2 β ? sin β ? 3 = 0

∴ sin β =

3 2

∴β =

π
3

7.某海岛上一观察哨 A 上午 11 时测得一轮船在海岛北偏东 60°的 C 处,12 时 20 分测得船在海岛北偏西 60°的 B 处,12 时 40 分船到达位于海岛正西方且距 海岛 5 km 的 E 港口,如果轮船始终匀速直线前进,问船速多少? 分析:本题可培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力和灵活运用正、余弦
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定理的能力. 解:轮船从点 C 到点 B 耗时 80 分钟,从点 B 到点 E 耗时 20 分钟,而船始终 匀速行进,∴ BC = 4 EB . 设 EB = x ,则 BC = 4 x . EC AE AE sin ∠EAC 1 在 △ AEC 中,由正弦定理 = .即 sin C = = . sin ∠EAC sin C EC 2x 1 4 xi BC AB BC sin C 2x = 4 3 . = 在 △ ABC 中, 由正弦定理 = 即 AB = sin120 sin C sin120 sin120 3 31 在 △ ABE 中,由余弦定理 BE 2 = AB 2 + AE 2 ? 2 ABi AE cos 30 = . 3
∴ BE =

31 (km) . 3

∴轮船的速度为 υ =

31 20 ÷ = 93(km/h) . 3 60


8. 如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方
向相距 20 海里 的 B 处有一艘渔船遇险等待营救. 甲船立即前往救援, 同时把消 息告知在甲船的南偏西 30 , 相距 10 海里 C 处的乙船. (Ⅰ)求处于 C 处的乙船和遇险渔船间的距离; (Ⅱ)设乙船沿直线 CB 方向前往 B 处救援,其方向与
10 ?C A 20 B ?

CA 成 θ 角,
2 2 求 f ( x ) = sin θ sin x + cos θ cos x (x∈ R )的值域.

解: Ⅰ)BC=10 7 . (

sin θ sin 120° = 10 7 , (Ⅱ)∵ 20

3 ∴sin θ = 7 4 7
3 4 5 sin x + cos x = sin ( x + ?) 7 7 7

∵ θ 是锐角,∴
2

cos θ =

f ( x ) = sin θ sin x + cos θ cos x =
2

? 5 5? ?? , ? ∴ f ( x ) 的值域为 ? 7 7 ? . 9. 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯
7

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塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面
C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与
0

0

0

另外哪两点间距离相等,然后求 B , D 的距离(计算结果精确到 0.01km ,

2 ≈ 1.414, 6 ≈ 2.449)
解: 在△ABC 中, DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30, ∠ 所 以 CD=AC=0.1 又 ∠ BCD=180 ° - 60 ° - 60 °
=60°,

故 CB 是 △ CAD 底 边 AD 的 中 垂 线 , 所 以
AB AC = , sin ∠BCA sin ∠ABC

BD=BA,

在△ABC 中,

即 AB=

ACsin60 3 2+ 6 = , sin 15 20
3 2+ 6 ≈ 0.33km。 20

因此,BD=

故 B,D 的距离约为 0.33km。 (4)穿插考查函数概念和性质、向量运算等知识. 穿插考查函数概念和性质、向量运算等知识. 穿插考查函数概念和性质
1. , ? 在直角坐标系 xOy 中, 已知点 P (2 cos x + 1 2 cos 2 x + 2) 和点 Q (cos x, 1) , 其中 .若向量 OP 与 OQ 垂直,求 x 的值.

x ∈ [ 0,π]
x=

解: 2.

π π x= 2或 3.

0) 3) sin 已知 A(3, , B (0, , C (cos α, α ) . (1)若 AC i BC = ?1 ,求 sin 2α 的值; (2)若

OA + OC = 13
sin 2α = ? 5 9;

,且 α ∈ (0,π) ,求 OB 与 OC 的夹角.

解: 1) (

π ∴θ = 6. (2)设 OB 与 OC 的夹角为 θ ,则
8

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3. 设函数

f ( x) = a ? b

,其中向量

a = ( 2 cos x,1)


? π π? x ∈ ?? , ? ? 3 3 ? ,求 x ; 且 (Ⅱ)

b = cos x, 3 sin 2 x , x ∈ R

(

)

. (Ⅰ)若

f ( x) = 1? 3

π? ? c = ( m, n ) ? m < ? 2 ? 平移后得到函数 y = f ( x ) 的 ? 若函数 y = 2sin 2 x 的图象按向量 图象,求实数 m 、 n 的值.
解: (Ⅰ)
x=?

π
4.

∵ m < ,∴ m = ? , n = 1 2 12 (Ⅱ) . 4. 已知向量 a = (cos x, sin x) , b = (cos x,? sin x) . π f( ) (Ⅰ)若 f ( x) = a ? b ,求 8 ;

π

π

(Ⅱ) g ( x) = f ( x) + 2 sin x cos x ,求 g (x) 的周期和最小值.

π π 2 f ( ) = cos = 4 2 解: (Ⅰ) 8

(Ⅱ)

T=

2π =π 2 ) = ?1



sin(2 x +

π
4

时,函数 g (x) 有最小值 ? 2

5. 在△ ABC 内, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边, a, b, c 成等差数列,且 a = 2c .
S?ABC = 3 15 4 ,求 b 的值.

(I)求 cos A 的值; cos A = ? 1 4

(II)若

解: I) (

(II) b = 3 , ,
. 平面向量
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平面向量概念较多,容易混淆,建议复习时从考查的重点内容(向量概念、 线性运算、数量积运算及其几何意义)入手,不仅要强化对知识的准确掌握,还 要从数形等多种角度去认识重点内容. 试题特点】 【试题特点】 纵观近几年与平面向量有关的试题, 可以发现: 北京卷坚持在选择填空题中, 考查平面向量的基础知识、基本方法,难度不大,05-09 年试题呈现出来的考查 内容仅限于平面向量本身,10 年则是以逻辑为载体,试图将向量、函数和简易 逻辑进行横向的结合,虽然有所创新,但是考察基础,难度不大的主线不变.而 以平面向量知识为背景,与三角函数、数列、解三角形、解析几何知识相结合的 综合性问题,在北京卷中尚未出现. 利用平面向量知识解决一些以平面几何图形为背景的问题 一.利用平面向量知识解决一些以平面几何图形为背景的问题 一方面平面向量的几何特性为解决这类问题提供的便利的条件,另一方面把 几何图形放到适当的坐标系中,就赋予了有关点与向量具体的坐标,这就能进行 相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决. 1. 在 △ ABC 中,已知
求 sin A 的值. 解:以 B 为坐标原点, BC为x 轴正向建立直角坐标系,且不妨设点 A 位于 第一象限.

AB =

4 6 6 cos B = 3 , 6 , AC 边上的中线 BD = 5 ,

由sin B =

30 4 6 4 6 4 4 5 , 则BA = ( cos B, sin B) = ( , ), 6 3 3 3 3 4 + 3x 2 5 4 + 3x 2 2 5 2 , ). 由条件得 | BD |= ( ) +( ) = 5. 6 3 6 3

设 BC = ( x, 0), 则BD = (
从而x = 2, x = ?

14 (舍去). 故CA = (? 2 , 4 5 ), 3 3 3
= 8 80 + 3 14 9 9 = , 14 16 80 4 80 + + 9 9 9 9 ?

于是 cos A =

BA ? CA | BA || CA |

∴ sin A = 1 ? cos 2 A =

70 . 14

二 . 关注以向量的线性运算、平面基本定理为背景的一类问题 关注以向量的线性运算、 的线性运算 1. (2009 安徽卷理) 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB , 它们的夹角为 120 .如图所示, C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 点 上变动.若 OC = xOA + yOB, 其中 x, y ∈ R ,求 x + y 的最大值.
10
o

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法 1 设 ∠AOC = α 1 ? ?cos α = x ? 2 y ? ?OC ? OA = xOA ? OA + yOB ? OA, ? ? ?cos(1200 ? α ) = ? 1 x + y ? OC ? OB = xOA ? OB + yOB ? OB, ? ? 2 ? ,即 ?
x + y = 2[cos α + cos(120 ? α ] = cos α + 3 sin α = 2 sin(α + 5 <α < π 6 ∴6

π
6



)

2 0<α < π 3 ∵

π

∴当

α+

π
6

=

π
2即

α=

π
3 时,x+y 有最大值,其最大值为 2.
1 3

OC =(cosα ,sinα )=x(1,0)+y ( - , ) 2 2 法 2 建系略,设 C(cosα ,sinα ) ,则

1 ? ?cos α = x ? 2 y ? ? ?sin α = 3 y ? ? 2

,经整理得到 x + y = cos α + 3 sin α ,后略

三. 关注与模、数量积相关的一类问题 关注与模、
1. 0) 3) sin 已知 A(3, , B (0, , C (cos α, α ) .
(1)若 AC i BC = ?1 ,求 sin 2α 的值; (2)若 OA + OC = 13
sin 2α = ? 5 9;

,且 α ∈ (0,π) ,求 OB 与 OC 的夹角.

解: 1) (

π ∴θ = 6. (2)
2.

π π 已知向量 a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),- <θ< . 2 2 (Ⅰ)若 a⊥b,求 θ; (Ⅱ)求|a+b|的最大值. 解: (Ⅰ) π θ=-4
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(Ⅱ)|a+b|= (sinθ+1)2+(1+cosθ)2= 3+2(sinθ+cosθ) = π 3+2 2sin(θ+ ) 4

π π 当 sin(θ+ )=1 时,|a+b|取得最大值,即当 θ= 时,|a+b|最大值为 2+1. 4 4 3. 已知向量 a = (sin θ ,?2) 与 b = (1, cos θ ) 互相垂直,其中 (1)求 sin θ 和 cos θ 的值 (2)若 5 cos(θ ? ? ) = 3 5 cos ? , 0 < ? < 2 ,求 cos ? 的值

π θ ∈ (0, )
2

π

【解析】 (1)
(2)

π 2 5 5 cos θ = θ ∈ (0, ) ∴ sin θ =
2 5 , 5

又 0 <? < 2 , ∴

π

cos ? =

2 2

4. 设向量 a = (4 cos α ,sin α ), b = (sin β , 4 cos β ), c = (cos β , ?4 sin β )

(1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(α + β ) 的值; (2)求 | b + c | 的最大值; (3)若 tan α tan β = 16 ,求证: a ∥ b . 解: 1) tan(α + β ) = 2; ( (2)b + c = sin 2 β + 2 sin β cos β + cos 2 β + 16 cos 2 β ? 32 cos β sin β + 16 sin 2 β
2

= 17 ? 30 sin β cos β = 17 ? 15 sin 2β , 最大值为32,所以 b + c 的最大值4 2.
(3)由 tan α tan β = 16得 sin α sin β = 16 cos α cos β ,即
4 cos α ? 4 cos β ? sin α sin β = 0, a // b 5. 已知ΔABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m = ( a, b) ,
n = (sin B,sin A) , p = (b ? 2, a ? 2) .

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(1) 若 m // n ,求证:ΔABC 为等腰三角形;

π
(2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = 3 ,求ΔABC 的面积 .
u v v Q m // n,∴ a sin A = b sin B, 证明: 1) (



a?

a b = b? 2R 2 R ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a = b ∴?ABC 为等腰三

1 1 π ab sin C = ? 4 ? sin = 3 2 2 3 四. 对向量和其它知识的综合考查 主要是依据平面向量的模、数量积、夹角等公式,通过数与形的转化,实现 与其他知识的有机结合, 同时考查综合应用知识的能力. 三角函数与向量的交汇, 通过考查向量的概念与运算,来考查三角恒等变形和求值等问题.
∴S =

角形 解(2)

1.

, ? 在直角坐标系 xOy 中, 已知点 P (2 cos x + 1 2 cos 2 x + 2) 和点 Q (cos x, 1) , 其中 .若向量 OP 与 OQ 垂直,求 x 的值. π π x= 2或 3.

x ∈ [ 0,π]
解: ∵

x ∈ [ 0,π]

,∴

x=

2.

在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 = 0 相切.

(1)求圆 O 的方程; (2) O 与 x 轴相交于 A、B 两点, O 内的动点 P 使 圆 圆
求 PA ? PB 的取值范围. 解: 1) x 2 + y 2 = 4 ( (2) ∴ PA ? PB ∈ [?2, 0)

PA , , PO PB

成等比数列,

3.已知两定点

F1 ? 2, 0 , F2

(

) (

2, 0

) ,满足条件 PF

2

? PF1 = 2

的点 P 的轨迹是

曲线 E ,直线 y = kx ? 1 与曲线 E 交于 A, B 两点 (Ⅰ)求 k 的取值范围;

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(Ⅱ)如果

AB = 6 3
S?

,且曲线 E 上存在点 C ,使 OA = OB = mOC ,求 m 的值

和 ?ABC 的面积

解: (Ⅰ)

? 2 < k < ?1

(Ⅱ) m = ±4 ,但当 m = ?4 时,所得的点在双曲线的右支上, 不合题意 ∴ m = 4 ,点 C 的坐标为 1 1 S = ×6 3× = 3 2 3
4.

(? (

5, 2

) ) 和 F ( 0, 3 ) 为焦点、离
2

在平面直角坐标系 xOy 中, 有一个以

F1 0, ? 3

3 心率为 2 的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线 C,动点 P 在 C 上,C 在点 P 处的切线与 x、y 轴的交点分别为 A、B,且向量 OM = OA + OB 。求:
(Ⅰ)点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)

OM

的最小值。

.解:点 M 的轨迹方程为: 1 4 + =1 (x>1,y>2) x2 y2
→ (Ⅱ)| OM|2= x2+y2,

y2=

4 1 1- x2

=4+

4 , x2-1

→ ∴| OM|2= x2-1+

4 4 +5≥4+5=9.且当 x2-1= ,即 x= 3>1 时,上式取等 x2-1 x2-1

→ 号. 故|OM|的最小值为 3.

5.

→ → 已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,A、B 是抛物线上的两动点,且AF=λFB(λ

> 0) .过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.

→ → (Ⅰ)证明FM·AB为定值;
(Ⅱ)设△ABM 的面积为 S,写出 S=f(λ)的表达式,并求 S 的最小值. 解:(Ⅰ)由已知条件,得 F(0,1),λ>0.
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高考中档题复习秘籍

→ → 设 A(x1,y1),B(x2,y2).由AF=λFB, 即得 (-x1,1-y)=λ(x2,y2-1), ① ?-x1=λx2 ? ?1-y1=λ(y2-1) ② 1 1 将①式两边平方并把 y1= x12,y2= x22 代入得 y1=λ2y2 ③ 4 4 1 解②、③式得 y1=λ,y2= ,且有 x1x2=-λx22=-4λy2=-4, λ 1 1 抛物线方程为 y= x2,求导得 y′= x. 4 2 所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 1 1 y=2x1(x-x1)+y1,y=2x2(x-x2)+y2, 1 1 1 1 即 y=2x1x-4x12,y=2x2x-4x22. x1+x2 x1x2 x1+x2 解出两条切线的交点 M 的坐标为( 2 , 4 )=( 2 , -1). 4分 x1+x2 1 1 1 → → 所以FM·AB=( ,-2)·(x2-x1,y2-y1)= (x22-x12)-2(4x22- 2 2 4 x12)=0 → → 所以FM·AB为定值,其值为 0. ……7 分 ……

1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中,FM⊥AB,因而 S=2|AB||FM|. |FM|= ( x1+x2 )2+(-2)2= 2 = = 1 2 1 2 1 x + x2 + x1x2+4 4 1 4 2

1 y1+y2+2×(-4)+4 1 1 λ+λ+2= λ+ . λ

因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y=-1 的距离,所以 1 1 |AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ+λ+2=( λ+ )2. λ 1 1 于是 S=2|AB||FM|=( λ+ )3, λ 1 由 λ+ ≥2 知 S≥4,且当 λ=1 时,S 取得最小值 4. λ
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高考中档题复习秘籍

6. 已知点 M (?2, 0), N (2, 0) ,动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |= 2 2 .记动点 P 的轨迹为

W .(Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A, B 是 W 上的不同两点, O 是坐标原点,求 OA ? OB 的
最小值. (Ⅰ)由|PM|-|PN|= 2 2 知动点 P 的轨迹是以 M , N 为焦点的双曲线的右支,实 半轴长 a =

2
c2 ? a2 = 2

又半焦距 c=2,故虚半轴长 b = 所以 W 的方程为

x2 y 2 ? = 1, x ≥ 2 2 2

(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) 当 AB⊥x 轴时, x1 = x2 , 从而 y1 = ? y2 , 从而 OA ? OB = x1 x2 + y1 y2 = x1 ? y1 = 2.
2 2

当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y = kx + m ,与 W 的方程联立,消去 y 得

(1 ? k 2 ) x 2 ? 2kmx ? m 2 ? 2 = 0.
故 x1 + x2 = 所以

2km , 1? k 2

x1 x2 =

m2 + 2 , k 2 ?1

OA ? OB = x1 x2 + y1 y2
= x1 x2 + (kx1 + m)(kx2 + m)
= (1 + k 2 ) x1 x2 + km( x1 + x2 ) + m 2 = (1 + k 2 )(m 2 + 2) 2k 2 m 2 + + m2 2 2 k ?1 1? k 2k 2 + 2 4 = 2+ 2 . 2 k ?1 k ?1
2

=

又因为 x1 x2 > 0 ,所以 k ? 1 > 0 ,从而 OA ? OB > 2. 综上,当 AB⊥ x 轴时, OA ? OB 取得最小值 2.

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