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2013高考百天仿真冲刺卷(文科数学试卷二)


2013 高考百天仿真冲刺卷

数 学(文) 试 卷(二)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 2 1.若 2∈{1,a,a -a},则 a= (A) -1 (B) 0 (C) 2 (D) 2 或-1 2.下列四个命题中,假命题为
x (A) ?x ? R , 2 ? 0 2 (B) ?x ? R , x ? 3x ? 1 ? 0

(C) ?x ? R , lg x ? 0

(D) ?x ? R , x 2 ? 2

1

3.已知 a>0 且 a≠1,函数 y ? log a x , y ? a x 在同一坐标系中的图象可能是

(A) 4.已知数列 {an } 中, a1 ? (A) ?

(B)

(C)

(D)

1 2

3 1 , an ? 1 ? (n ? 2) ,则 a2011 ? 5 an?1 3 2 (B) ? (C) 5 3

(D)

5 2
C B

5.如图所示,已知 AB ? 2 BC , OA ? a , OB ? b , OC ? c ,则下列等 式中成立的是

??? ?

??? ?

??? ?

?

??? ?

?

??? ?

?

3? 1? b? a 2 2 ? ? ? (C) c ? 2a ? b
(A) c ?

?

(B) c ? 2b ? a (D) c ?

?
?

? ?

3? 1? a? b 2 2

A

O

6.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象如图所示,则该函数的解析式可能是

4 4 1 sin( x ? ) 5 5 5 3 1 (B) y ? sin(2 x ? ) 2 5 4 4 1 (C) y ? sin( x ? ) 5 5 5 4 1 (D) y ? sin(2 x ? ) 5 5
(A) y ? 7.已知 x,y 的取值如下表: x 0 1
-1-

y
1

O -1

?

2?

x

3

4

y

2.2

4.3

4.8

6.7

从散点图可以看出 y 与 x 线性相关,且回归方程为 ? ? 0.95x ? a ,则 a ? y (A) 3.25 (B) 2.6 (C) 2.2 (D) 0 8.用 max{a,} 表示 a,b 两个数中的最大数,设 f ( x) ? max{? x2 ? 8x ? 4, log2 x} ,若函 b 数 g ( x) ? f ( x) ? kx 有 2 个零点,则 k 的取值范围是 (A) (0,3) (B) (0,3] (C) (0, 4) (D) [0, 4]

第Ⅱ 卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

1 ? 2i 对应的点位于第 象限. 1? i 2 2 10.圆 C: x ? y ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 的圆心到直线 3x+4y+14=0 的距离是 . 11.若 x ? [0, 2?] ,则函数 y ? sin x ? x cos x 的单调递增区间是 .
9.在复平面内,复数 z ? 12.已知签字笔 2 元一只,练习本 1 元一本.某学生欲购买的签字笔不少于 3 只,练习本不 少于 5 本,但买签字笔和练习本的总数量不超过 10,则支出的钱数最多是___元. 13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 . 1 1
正视图 侧视图

2
0.6

2.4 俯视图 P4

0.6

D P5 P1 A

C AB P2

P3

14.如图所示,已知正方形 ABCD 的边长为 1,以 A 为圆心,AD 长为半径画弧,交 BA 的延长 线于 P1,然后以 B 为圆心,BP1 长为半径画弧,交 CB 的延长线于 P2,再以 C 为圆心,CP2 长 为半径画弧,交 DC 的延长线于 P3,再以 D 为圆心,DP3 长为半径画弧,交 AD 的延长线于 P4, 再以 A 为圆心,AP4 长为半径画弧,?,如此继续下去,画出的第 8 道弧的半径是___,画出 第 n 道弧时,这 n 道弧的弧长之和为___.
-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 sin x cos x ?
2

(Ⅰ)求 f ( ?

?
12

1 . 2

) 的值;

(Ⅱ)若 x ? [0,

?
2

] ,求函数 y ? f ( x) 的最小值及取得最小值时的 x 值.

16.(本小题共 13 分) 已知梯形 ABCD 中, BC // AD , BC ?

1 AD ? 1 , CD ? 3 ,G,E,F 分别是 AD,BC,CD 2

的中点,且 CG ? 2 ,沿 CG 将△CDG 翻折到△ CD?G . (Ⅰ)求证:EF//平面 AD ?B ; (Ⅱ)求证:平面 CD?G ⊥平面 AD?G . D F F G C E A B A G E B C

D?

17.(本小题共 13 分) 某校从高一年级学生中随机抽取 60 名学生,将其期中考试的数学成绩(均为整数)分成 六段: ?40,50? , ?50,60? ,?, ?90,100? 后得到如下频率分布直方图. (Ⅰ)求分数在 ?70,80? 内的频率; (Ⅱ)根据频率分布直方图,估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分;

-3-

(Ⅲ)用分层抽样的方法在 80 分以上(含 80 分)的学生中抽取一个容量为 6 的样本, 将该样本看成一个总体, 从中任意选取 2 人, 求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率.

18.(本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 a x ? , (a ? 0) . 2 x (Ⅰ)当 x ? 1 时函数 y ? f ( x) 取得极小值,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间.

19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 C 的长轴长为 2 2 ,一个焦点的坐标为(1,0). (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设直线 l:y=kx 与椭圆 C 交于 A,B 两点,点 P 为椭圆的右顶点. (ⅰ)若直线 l 斜率 k=1,求△ABP 的面积; (ⅱ)若直线 AP,BP 的斜率分别为 k1 , k2 ,求证: k1 ? k2 为定值.

-4-

20.(本小题共 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n2 .数列 {bn } 为等比数列,且 b1 ? 1 , b4 ? 8 . (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {cn } 满足 cn ? abn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,数列 {cn } 中是否存在三项,使得这三项成等差数列?若存在, 求出此三项;若不存在,说明理由.

2013 高考百天仿真冲刺卷

数学(文)试卷(二)参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 1 2 3 4 答案 A B D C 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
-5-

5 A

6 A

7 B

8 C

9.Ⅲ 12.15

10.3 13.12

11. (0, ?) 写成闭区间也给满分 14. 8,

n(n ? 1)? 4

注:两个空的填空题第一个空填对得 2 分,第二个空填对得 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? sin x ? 3 sin x cos x ?
2

? sin(2 x ? ) , 6
∴ f (?

?

1 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2
??????5 分 . ??????7 分

?
12

) ? sin(?2 ?

(Ⅱ)∵ 0 ? x ? ∴?

?
2

? ? 3 ? ) ? sin(? ) ? ? 12 6 3 2

?

∴ 0 ? 2x ? ? .

?

6 6 1 ? 1 ∴ ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 即 ? ? f ( x) ? 1 . ????11 分 2 6 2 1 ? ? ∴ f ( x) min ? ? 此时 2 x ? ? ? ∴ x ? 0 . ??????12 分 2 6 6 1 ∴当 x ? 0 时, f ( x) min ? ? . ??????13 分 2
16. (本小题共 13 分) 证明: (Ⅰ)∵E,F 分别是 BC,CD 的中点,即 E,F 分别是 BC,C D ? 的中点, ∴EF 为△ D?BC 的中位线. ∴EF// D?B . ??????2 分 又∵ EF ? 平面 AD ?B , D ?B ? 平面 AD ?B , ??????4 分 ∴EF // 平面 AD ?B . ??????6 分 (Ⅱ)∵G 是 AD 的中点, BC ?

? 2x ?

?

?

5? . 6

??????9 分

1 AD ? 1 ,即 AD ? 2 , 2 ∴ DG ? 1 . 又∵ CD ? 3 , CG ? 2 , ∴在 ?DGC 中, DG 2 ? GC 2 ? DC 2 ∴ DG ? GC .??????9 分 ∴ GC ? D?G , GC ? AG .
∵ AG ∩ D?G = G , ∴ GC ? 平面 AD?G . 又∵ GC ? 平面 CD?G , ∴平面 CD?G ⊥平面 AD?G . ??????12 分 ??????13 分

17. (本小题共 13 分)

解:(Ⅰ)分数在 ?70,80? 内的频率为:

1 ? (0.010 ? 0.015 ? 0.015 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 1 ? 0.7 ? 0.3 .
(Ⅱ)平均分为:

???3 分

x ? 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 ? 71 .????
6分
-6-

(Ⅲ)由题意, ?80,90? 分数段的人数为: 0.25 ? 60 ? 15 人;

??????7 分 ??????8 分

?90,100? 分数段的人数为: 0.05 ? 60 ? 3 人;

∵用分层抽样的方法在 80 分以上(含 80 分)的学生中抽取一个容量为 6 的样本, ∴ ?80,90? 分数段抽取 5 人,分别记为 A,B,C,D,E;

?90,100? 分数段抽取 1 人,记为 M.

??????9 分

因为从样本中任取 2 人,其中恰有 1 人的分数不低于 90 分,

则另一人的分数一定是在 ?80,90? 分数段,所以只需在分数段 ?80,90? 抽取的 5 人中 确定 1 人. 设 “ 从 样 本 中 任 取 2 人 , 其 中 恰 有 1 人 的 分 数 不 低 于 90 分 为 ” 事 件 A, ??????10 分 则基本事件空间包含的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C), (B,D), (B,E),(C,D),(C,E),(D,E),(A,M),(B,M),(C,M),(D,M),(E,M)共 15 种. 事件 A 包含的基本事件有(A,M),(B,M),(C,M),(D,M),(E,M)5 种.12 分 ∴恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率为 P ( A) ? 18. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 ( ??, 0) ∪ (0, ??) ,

5 1 ? . 15 3

?????13 分

??????1 分 ??????3 分

a . x2 ∵ x ? 1 时函数 y ? f ( x) 取得极小值, ∴ f ?(1) ? 0 . f ?( x ) ? x ?
4分 ∴ a ? 1. 当 a ? 1 时,在 (0,1) 内 f ?( x) ? 0 ,在 (1, ??) 内 f ?( x) ? 0 , ∴ x ? 1 是函数 y ? f ( x) 的极小值点. ∴ a ? 1 有意义. (Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 ( ??, 0) ∪ (0, ??) ,

?????? ??????5 分 ????6 分

??????7 分

a x3 ? a f ?( x) ? x ? 2 ? . x x2 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 3 a . (ⅰ)当 a ? 0 时, 3 x (??, 3 a ) a f '( x) 0 ? f ( x) 极小值 ?
?11 分 (ⅱ)当 a ? 0 时,

??????9 分

( 3 a ,0) ? ?

(0, ??)

? ?
( 3 a , ??) ? ?

x f '( x) f ( x)
综上所述:

(??, 0)

? ?

(0, 3 a ) ? ?

3

a
0

极小值 ??????13 分

当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 的单调递减区间为 (??, 3 a ) ,单调递增区间为 ( 3 a , 0) ,
-7-

(0, ??) ;
当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 的单调递减区间为 ( ??, 0) , (0, 3 a ) ,单调递增区间为

( 3 a , ??) .??????14 分
19. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)依题意椭圆的焦点在 x 轴上,且 c ? 1 , 2a ? 2 2 , ??????1 分

b ? a ? c ?1. x2 ? y 2 ? 1. ∴椭圆 C 的标准方程为 2 2 2 ?x ? 2 y ? 2 (Ⅱ) (ⅰ) ? ?y ? x

∴a ?

2,

2

2

2

??????2 分 ??????4 分 ??????5 分

? ? 6 6 ?x ? ? ?x ? ? ? 3 , 3 ∴ ? 或 ? ?y ? ? 6 ?y ? 6 ? ? 3 3 ? ? 6 6 6 6 即 A( , ) , B(? ,? ) , P( 2,0) . 3 3 3 3 1 2 6 2 3 所以 S?ABP ? ? 2 ? . ? 2 3 3 (ⅱ)证明:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .
椭圆的右顶点为 P( 2,0)

??????7 分

??????9 分

? x2 ? 2 y 2 ? 2 , 消 y 整理得 (2k 2 ? 1) x2 ? 2 , ? ? y ? kx
不妨设 x1>0>x2, ∴

x1 ? 2
2

2 2k ? 1
2



x2 ? ?

2 2k ? 1
2



y1 ? k

2 2k ? 1
2



y2 ? ?k

2k ? 1

.?????12 分 ??????13 分

y1 y2 y1 y2 ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 x2 ? (x1 ? x2 ) ? 2 2 2 ?k 2 2 ?2k 2 1 2k ? 1 ? ?? ? 2 2 ?2 ? 4k ? 2 2 2? 2 2k ? 1 1 ∴ k AP ? kBP 为定值 ? . 2 k AP ? kBP ?
20. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)∵ 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n2 , ∴ 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? (n ?1)2 ? 2n ?1.

??????14 分

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 亦满足上式,故 an ? 2n ? 1, (n ? N*) .???3 分 又 数列 {bn } 为等比数列,设公比为 q ,
-8-

∵ b1 ? 1 , b4 ? b1q3 ? 8 , ∴ q ? 2 . ∴

bn ? 2n?1 (n ? N*) .

??????6 分

(Ⅱ) cn ? ab ? 2bn ?1 ? 2n ?1. n

Tn ? c1 ? c2 ? c3 ??cn ? (21 ?1) ? (22 ?1) ? ? ? (2n ?1) ? (21 ? 22 ? ?2n ) ? n
2(1 ? 2n ) ?n. 1? 2 所以 Tn ? 2n?1 ? 2 ? n . ??????9 分 (Ⅲ)假设数列 {cn } 中存在三项 cm , ck , cl 成等差数列,不妨设 m ? k ? l (m, k , l ?N*) ?
因为 cn ? 2n ?1 , 所以 cm ? ck ? cl ,且三者成等差数列. 所以 2ck ? cl ? cm ,即 2(2k ?1) ? (2m ?1) ? (2l ?1) ,

2 ? 2k ? 2m ? 2l , 即 2 ? 2m?k ? 2l ?k .
(方法一) 因为 m ? k ? l (m, k , l ?N*) , 所以 l ? k ? 1 , m ? k ? 0 .
l ?k 所以 2 ? 2 , 2
m?k l ?k

?2 所以 2 所以数列 {cn } 中不存在成等差数列的三项.
k m l (方法二) 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2m (1 ? 2l ?m )

? 0, ? 2 与 2 ? 2m?k ? 2l ?k 矛盾.
??????13 分

m? k

2k ?1 ? 1 ? 2l ? m , 即 2k ?1?m ? 1 ? 2l ?m . 所以 m 2 k ?1? m ? 2l ?m ? 1 . 所以 2 因为 m ? k ? l (m, k , l ?N*) , k ?1? m l ?m 所以 2 , 2 均为偶数,而 1 为奇数,
所以等式不成立. 所以数列 {cn } 中不存在三项,使得这三项成等差数列. ??????13 分

-9-


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