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2014年高一下学期_数学(必修4)期中考试卷(含答案)

第二学期学段调研考试 高中数学(必修④)试卷
说明:本试卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给 出的四个选项

中,只有一项是符合题目要求的。请将正确答案的代号填入答题卡中。 1.已知 P( ?

3 1 , )是角 ? 终边上一点,则 sin ? = ( 2 2
B.

)

A. ?

1 2

3 2

C. - 3

D. ? )

3 3

2.已知 a=(2,3) ,b=(x,-6) ,若 a∥b,则 x 等于 (

A. 9

B .4

C . -4

D . -9

3. sin 15 cos75 ? cos15 sin 105 等于(
? ? ? ?

) C.

A. 0

B.

1 2

3 2

D. 1

4、如图所示,四边形 ABCD 是梯形,AD∥BC,则 OA ? AB ? BC =( A. CD B.

)

OC
).

C.

DA

D.

CO
B

A

D

o
C

5.函数 y ? ? sin 2 x , x ? R 是(

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 2 ? 的奇函数

B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为 2 ? 的偶函数

6. 要得到

y ? sin( 3 x ?

?
3

) 的图象,只要把 y ? sin 3x 的图象 (

)

A. 向左平移

?
3

个单位

B. 向右平移

?
3

个单位

第 1 页 共 8 页

C. 向左平移

?
9

个单位

D. 向右平移

?
9

个单位 ).

7.已知 a 与 b 均为单位向量,它们的夹角为 60? ,那么 | a ? 3b | 等于( A. 7 B. 10 C. 13 D. 4

8. .函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的图象如下,此函数的解 析式为( ).

2? ) 3 x ? C. y ? 2sin( ? ) 2 3
A. y ? 2 sin(2 x ?

? ) 3 ? D. y ? 2 sin(2 x ? ) 3
B. y ? 2 sin(2 x ?

9.已知向量 a ? ? cos?,sin ? ? , b ? ?cos ? ,sin ? ? , 且? ? ? , 则 a 与 b 一定满足 ( A. a 与 b 的夹角等于 ? ? ? B. a ? b C. a / / b D. ( a ? b) ? ( a ? b)

) .

10. 如图,在△ABC 中,设 AB ? a , AC ? b ,AP 的中点为 Q,BQ 的中 点为 R,CR 的中点为 P,若 AP ? ma ? nb ,则 m ? n ? ( A. ) D. 1

1 2

B.

2 3

C.

6 7

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 11、 . sin(?930 ) 的值是 12、

tan 200 ? tan 400 ? 3 tan 200 tan 400 ? _____________
.

| |b ? | a | ? b, | 则 a , b 的夹角为 13. 非 零 向 量 a , b 满 足 | a ?
14、 关 于 函 数 f ( x) ? 4 sin( 2 x ? 表 达 式 可 改 写 为 (1) y ? f ( x)的

?
3

), ( x ? R) ,有下列命题: y ? 4 cos( 2 x ?

?
6

)

(2)y=f(x )是以 2π 为最小正周期的周期函数; (3)y=f(x ) 的图象关于点(— π ,0)对称; 6 π 对称; 6
第 2 页 共 8 页

(4)y=f(x ) 的图象关于直线 x= —

区 间 (? (5) f ( x)在

? ?

, )内 是 增 函 数 6 12

其中正确的命题序号是___________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15、 (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? 3e1 ? e 2 , b ? 2e1 ? e 2 ,其中 e1 ? (1,0) , e2 ? (0,1) ,求: (1) (a ? 2b) ? b 及 | a ? b | 的值; (2) a 与 b 夹角 ? 的余弦值.

16.(本小题满分为 12 分)

?π ? 2cos ? ? ? ? ? sin(2? ? π) ?2 ? 已知 ? f (? ) ? ? ? 4cos sin 2 2
(1)化简 f (? ) ; (2)若 sin ? ?

4 ,且 ? ? (0,π) ,求 f (? ) 的值. 5

17.(本小题满分 14 分)

第 3 页 共 8 页

已知函数 f ( x ) ? tan( 2 x ?

?
4

)

(1)求 f ( x) 的定义域与最小正周期; (2)设 ? ? (0,

?

), 若f ( ) ? 2 cos 2? , 求? 的大小。 4 2

?

18.(本小题满分 14 分) 已知在直角坐标系中( O 为坐标原点) , OA ? (2,5),OB ? (3,1),OC ? ( x,3) (1) 若 A 、 B 、 C 可构成三角形,求 x 的取值范围; (2) 当 x ? 6 时,直线 OC 上存在点 M ,且 MA ? MB ,求点 M 的坐标

19.(本小题满分 14 分) 已知 M (1 ? cos2x,1), N (1, 3 sin 2x ? a) ( x ? R, a ? R, a 是常数) ,且 y ? OM ? ON (其中 O 为坐标原点). (1)求 y 关于 x 的函数关系式 y ? f ( x) ; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (3)若 x ? [0, ] 时, f ( x) 的最大值为 4,求 a 的值.

? 2

第 4 页 共 8 页

20、 (本小题满分 14 分) 已 知 向 量 a ? (cos

3x 3x x x ? ,sin ) , b ? (cos , ? sin ) , 且 x ? [0, ] , 2 2 2 2 2

f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | ( ? 为常数) ,求:
(1) a ? b 及 | a ? b | ; (2)若 f ( x) 的最小值是 ?

3 ,求实数 ? 的值. 2

第 5 页 共 8 页

第二学期学段调研考试 高中数学(必修④)参考答案
一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给 出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。请将正确答案的代号填入答题卡中。 题号 答案 1 B C 2 D 3 B 4 A 5 6 C A 7 A 8 D 9 C 10

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 11、

1 2

12、 3

13、 120 ? (或

2 ) 3?

14、 (1) ( 3) (5)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15、 (本小题满分 12 分) 解:由已知, a ? (3,?1),b ? (2,1) , (1) (a ? 2b) ? b ? [(3,?1) ? 2(2,1)]? (2,1) ? (7,1)(2,1) ? 15 , a ? b ? (1,?2) ? (2) | a |? 10 , | b |? ∴ cos? ?

5.

5,
? 2 2

a ?b a?b

?

5 10 ? 5

16、 (本小题满分 12 分)

π ,? ? ? kπ . 2 2 2 2sin ? ? sin 2? 2sin ? ? 2sin ? cos ? 2sin ? (1 ? cos ? ) ? ? ? ? 1 ? cos ? (? ? kπ) 2sin ? 2sin ? 2sin ? 4 3 2 (2) sin ? ? ? 0 ,且 ? ? (0,π) ,? cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? . 5 5 2 8 ? f (? ) ? 或 f (? ) ? 5 5
解: (1)

?

? kπ 且

?

? kπ ?

17.、本小题满分 14 分)

使 f ( x) ? tan( 2 x ? 解: (1) 要 解 得x?

?
4

)有 意 义 ,可 得 2x ?

?
4

?

?
2

? k?

? k ? ? (k ? z ) ,最小正周期 T ? 2 8 2 ? k ? 定 义 域 是 {x | x ? ? ? (k ? z )} , 最 小 正 周 期 T? 所以 f ( x)的 8 2 2
第 6 页 共 8 页

?

于 f ( ) ? 2 cos 2? , 可 得 tan(? ? (2)由 2

?

?
4

) ? 2 cos 2?

sin ? cos? ? 2(cos2 ? ? sin 2 ? ) 4 ? 2 cos 2? , ? sin ? 1 ? tan? tan 1? 4 cos? cos ? ? sin ? ? 2(cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) cos ? ? sin ? ? 1 ? ? ? (0, ), ? sin ? ? cos ? ? 0, 可 得 ? 2(cos ? ? sin ? ) 4 cos ? ? sin ? 1 1 1 (cos ? ? sin ? ) 2 ? ,1 ? 2 sin ? cos ? ? , sin 2? ? 2 2 2 ? ? ? ? ? ? (0, ), ? 2? ? , 即? ? 4 6 12
tan? ? tan

?

1?

18.、本小题满分 14 分) 解: (1)因为 A,B,C 可构成三角形,所以 A,B,C 三点不共线,即 AB与BC不 共 线

而AB ? ( 1,? 4), BC ? ( x ? 3,2),则 有1 ? 2 ? 4 ? ( x ? 3) ? 0, 5 即x的 取 值 范 围 是 x ? R且x ? 2
(2) ? OM与OC共 线, 故 设 OM ? ? OC ? (6? ,3? ), 又? MA ? MB ? MA ? MB ? 0 即( 6? ? 2,3? ? 5) ? (6? ? 3,3? ? 1) ? 0
1 11 即45?2 ? 48? ? 11 ? 0, 解 得 ? ? 或? ? 3 15 22 11 22 11 ? OM ? ( 2, 1), 或OM ? ( , ) ? 点M坐 标 为 (2, 1)或( , ). 5 5 5 5
19、本小题满分 14 分) 解: (1) y ? OM ? ON ? 1 ? cos2x ? 3 sin 2x ? a , 所以 f ( x) ? cos2x ? 3 sin 2x ? 1 ? a . (2)由(1)可得 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 由 2k? ?

?
6

) ?1? a ,

(k ? Z ) ; 2 3 6 ? ? 3? ? 2? (k ? Z ) , 由 2k ? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? , 解得 k? ? ? x ? k? ? 2 6 2 6 3 2 6
第 7 页 共 8 页

?

? 2x ?

?

? 2 k? ?

?

, 解得 k? ?

?

? x ? k? ?

?

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [k? ?

, k? ? ](k ? Z ) , 3 6 ? 2? ](k ? Z ) . 单调递减区间为 [k? ? , k? ? 6 3

?

?

(3) f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 当 2x ?

?

?
6

?

?
2

6

) ? 1 ? a ,因为 0 ? x ?

?

,即 x ?

?
6

2



所以

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? , 6

时, f ( x) 取最大值 3 ? a ,

所以 3 ? a ? 4 ,即 a ? 1 .

20.、本小题满分 14 分)解: (1) a ? b ? cos

3x x 3x x cos ? sin sin ? cos 2 x , 2 2 2 2

| a ? b |? (cos

3x x 3x x ? cos ) 2 ? (sin ? sin ) 2 ? 2 ? 2 cos2 x ? 2 cos2 x , 2 2 2 2

∵ x ? [0,

?
2

],

∴ cos x ? 0 ,
2 2

| a ? b |? 2 cos x .

(2) f ( x) ? cos2x ? 4? cos x ? 2(cosx ? ? ) ? 1 ? 2? , ∵ x ? [0,

?
2

],

∴ 0 ? cos x ? 1 ,

①当 ? ? 0 时,当且仅当 cos x ? 0 时, f ( x) 取得最小值 ? 1 ,这与已知矛盾;
2 ②当 0 ? ? ? 1 ,当且仅当 cos x ? ? 时, f ( x) 取得最小值 ? 1 ? 2? ,

由已知得 ? 1 ? 2? ? ?
2

3 1 ,解得 ? ? ; 2 2

③当 ? ? 1 时,当且仅当 cos x ? 1 时, f ( x) 取得最小值 1 ? 4? , 由已知得 1 ? 4? ? ? 综上所述, ? ?

5 3 ,解得 ? ? ,这与 ? ? 1 相矛盾. 8 2

1 为所求. 2

第 8 页 共 8 页


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